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Un dénombrement (probas)

J'essaie d'expliquer un truc pour compenser un polycop de probas qui dit en gros "pour la combinatoire, débrouillez-vous tous seuls". La situation est la suivante : une urne contient $N$ boules, $m$ rouges et $N-m$ vertes. On tire $n$ boules avec remise dans l'urne, et on veut savoir combien de tirages avec exactement $k$ boules rouges sont possibles.

On est censé trouver $\displaystyle \binom{n}{k}m^k(N-m)^{n-k}$.

Alors.

D'abord, on veut choisir $k$ boules rouges parmi les $m$, ce qui revient à choisir une application $\{1,...,k\} \longrightarrow \{1,...,m\}$. Notons $A$ l'ensemble de ces applications, alors $\text{Card}(A)=m^k$.

Ensuite, pareil, on veut choisir $n-k$ boules vertes parmi les $N-m$, ce qui revient à choisir une application $\{1,...,n-k\} \longrightarrow \{1,...,N-m\}$. Notons $B$ l'ensemble de ces applications, alors $\text{Card}(B)=(N-m)^{n-k}$.

Pour choisir les boules qui iront dans mon $n$-uplet, il faut que je choisisse une application dans $A$ et une dans $B$, ce qui revient à choisir un élément de $A \times B$, donc j'ai $m^k(N-m)^{n-k}$ choix possibles. On n'est pas loin de la formule, c'est bon signe.

Pour finir, il faut choisir les positions des boules dans le $n$-uplet. Pour moi, on devrait avoir $n!$ façons de faire ça. C'est là que mon résultat s'éloigne du poly, donc au moins l'un parmi le prof qui a écrit le poly et moi dit quelque chose de faux.

La première boule rouge de mon $k$-uplet de boules rouges, j'ai $n$ choix. La deuxième, j'ai $n-1$ choix, etc. A la fin, ça me donnera $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ façons de positionner mes $k$ boules rouges dans mon $n$-uplet. La première boule verte, j'ai $n-k$ choix. La deuxième, j'ai $n-k-1$ choix, etc. Au final, j'aurai $(n-k)!$ choix pour placer mes boules vertes. Encore une fois, on est dans une situation de produit cartésien, donc je trouve $\dfrac{n!}{(n-k)!} \times (n-k)! = n!$ façons de positionner les boules dans le $n$-uplet. Je retombe sur mes pattes, mais pas sur celles du poly.

Où est l'erreur ?

EDIT : C'est forcément moi qui dis un truc faux, puisque le poly utilise cette expérience pour "construire" la loi Binomiale. Mais dans la dernière étape, je ne comprends pas ce que je fais de faux !

Réponses

  • Bonjour.

    Tu as imposé un ordre sur les boules rouges, puis un ordre sur les boules vertes. Donc il ne te reste qu'à intercaler tes boules. Ce qui se fait en choisissant non pas le placement des n boules, mais seulement le placement des rouges, sans tenir compte de l'ordre puisque tu l'as déjà choisi.

    Si tu tiens absolument à utiliser des nombres d'applications, tu me sembles mal parti, puisque tu as déjà trop d'information avec tes deux premiers choix.

    Cordialement.

    NB : J'ai horreur du dénombrement, mais comme j'ai enseigné les probas en terminale C autrefois, il me reste quelques habitudes.
  • Ben figure-toi que je n'ai jamais eu le moindre cours de combinatoire, que ce soit au lycée ou à la fac.

    Effectivement, pour chaque couple d'applications de $A \times B$, j'ai juste à choisir "les emplacements" des $k$ boules rouges, mais c'est même plus que ça : je n'ai qu'à choisir le nombre d'espaces que je mets entre les boules rouges (sans les permuter), puis je remplis ces espaces en vidant mon $(n-k)$-uplet de boules vertes dans l'ordre dans ces espaces.

    Du coup, je cherche le nombre d'injections croissantes (ou d'applications strictement croissantes, c'est pareil ici) de $\{1,...,k\}$ dans $\{1,...,n\}$. Je sais de mémoire que c'est bien $\displaystyle \binom{n}{k}$, j'en chercherai une démonstration.
  • Le nombres d'applications strictement croissantes de $\{1,...,k\}$ dans $\{1,...,n\}$ est égal au nombre de possibilités de choisir $k$ objets parmi $n$ (le nombre de sous-ensembles de $\{1,...,n\}$ ayant $k$ éléments quoi).
  • Nan mais ça je sais, la question c'est pourquoi !
  • On définit une bijection en associant à toute application strictement croissante $f : \{1,\dots,k\} \to \{1,\dots,n\}$ son image $\{f(1),\dots,f(k)\}$.
  • Le nombre d'applications strictement croissantes de {1...k} dans {1...n} est égal au nombre de façons de choisir k éléments parmi n..
    Pourquoi ?

    On tire k éléments parmi n (tirages sans remise). Je peux tirer par exemple (1,4,5) ou (1,5,4) ... Parmi les k! tirages contenant les mêmes éléments, il y en a 1 seul qui contient les éléments en ordre croissant.

    - On compte tous les tirages possibles sans remise ( 1,4,5 ou 1,5,4, ce sont 2 tirages différents) . Donc n possibilités pour le 1er élément tiré, (n-1) pour le 2ème etc etc
    - Tous ces tirages, je peux les regrouper en 'classes d'équivalences' (1,5,4)=(1;4;5)
    Et donc le nombre de tirages possibles, je le divise par k!
  • C'est le premier chapitre de Terminale Spécialité, en septembre à la rentrée. (:D
  • Figure-toi que je trouve ça très bien !

    Dans mon cursus, la combinatoire, ça manquait. Au lycée, il n'y en avait pas. A la fac, en rétrospective je trouve affligeant qu'il n'y a pas un cours de Logique+Ensembles+Dénombrement en première année (ils disent qu'il y en a un, mais niveau contenu c'est plus un gag qu'un cours) tellement c'est fondamental. Et je sais que dans d'autres facs, ils le font, à raison.

    J'ai eu un cours en L3 qui s'appelait "algèbre et combinatoire". On faisait peu de choses dans ce cours par rapport à ce qu'on aurait pu y faire vu le titre. Quelques formules de dénombrement, une brève incursion dans les séries formelles, et des colorations de cubes avec des actions de groupe. C'était peu, pour un semestre. Et sinon, la seule combinatoire que j'ai eue, c'était au tout début des cours de probas, à chaque semestre où on avait un cours de probas. Ils faisaient 2h de combinatoire, 3-4 exercices, et partaient du principe que ça suffisait pour comprendre rapidement toutes les constructions de lois discrètes. Spoiler : non, ça ne suffisait pas.

    Ce n'est pas si compliqué que ça, la combinatoire, il faut juste le faire bien une fois. Pas comme dans mon cursus.
  • Des exercices du genre d'application directe du cours sur les probabilités il y en avait des dizaines dans mon bouquin de MPSI tout en un.

    Prends un cours de MPSI il y a un chapitre dénombrement, puis c'est appliqué aux probabilités.
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