Tant la question que la réponse ressortent à la métamathématique, et non à la mathématique. Il va de soi qu'il faut bien distinguer la vérité de la démonstrabilité d'un énoncé. Historiquement parlant, les choses n'étaient pas vraiment claires à l'époque de Gödel. Et l'on doit en grande partie ce distinguo à Gödel lui-même.
Pour tout le reste, voir ce qu'a écrit Bruno à cet effet.
Avec tout mon respect,
Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Dites moi si je me trompes mais en (très) gros, le travail de Godel a été de codifier un raisonnement complet: En gros (ça remonte à loin donc je vais dire des anneries), on considère un codage des caractères mathématiques x->1 =->2, etc... puis les suite des nombres premiers. Une phrase peut être coder par $p_i^{c_i}$ où $p_i$ est le ième nombre premier et $c_i$ le ième caractère de la phrase. Un raisonnement P montre Q se code Q:P donc l'entier codant Q divise un codage d'une démonstration de Q:P. En gros, cela transforme les problèmes logiques en problèmes arithmétiques avec un ensemble d'entier précis qui code les raisonnements valides RV . P montre Q si codage(Q) divise codage(P). P est non démontrable si codage(P) ne divise aucun codage des raisonnements valides RV. Si V est l'ensemble des codages des énoncés vrais, le théorème de Godel devient il existe v dans V ne divisant aucun élément de RV. Godel a par des propriétés simples (!) de son codage et un procédé similaire au procédé diagonal montré que ceci ne pouvait être que vrai. L'amusant est que «la fameuse propriété vraie mais non démontrable est la propriété arithmétique correspondant au codage du fait qu'il existe une propriété arithmétique vraie mais non démontrable». L'intérêt (du moins à mes yeux) du travail de Godel sur ce théorème (il a fait autre chose) est dans cette projection des raisonnements logiques sur l'arithmétique.
Maintenant il faudrait que quelqu'un corrige les nombreuses anneries que je viens de dire sans doute.
Hello, je ne comprend pas trop pourquoi ce post est remonté : sur la page d'acceuil, le dernier message indiqué est aujourd'hui à 15h52, et le dernier que je vois est celui de prof le 23 sept 2005... mettons que ce soit un signe du destin.
J'avais écrit un peu plus haut, qu'un jour il faudrait que je me penche la-dessus sérieusement parce y'en a marre. Il se trouve justement que je suis en vacances et que j'ai envie de faire des maths qui n'aient rien à voir avec ma thèse, et que ce genre de sujet irait bien.
Alors par ou commencer mes lectures? Est-il envisageable en quelques semaines ( etrelativment motivé) d'espérer comprendre la démonstration d'un resultat important (genre les thm de Gödel, l'indécidabilité de AC, de HC, ou de l'axiome de Solovay ou un truc comme ça)?
Reste que même sans signe du destin, j'ai toujours envie de profiter de mes vacances pour regarder un peu ça, et que je reste donc ouvert à tout conseil de lecture sérieuse sur le sujet.
J'en profite pour demander à Bruno quelques précisions :
tout d'abord, j'aime beaucoup la vision « à coups de modèles » de la logique, mais je n'y connais à peu près rien (vite fait, les modèles de Kripke, quoi). Je me demandais juste si l'intérprétation à coup de modèles des résultats de Gödel était un apport ultérieur, ou si Gödel voyait déjà les choses comme ça.
Ensuite, si c'était possible, j'adorerais connaître des références de bons bouquins qui font de la théorie des modèles pour un matheux nul en logique, et qui éventuellement parlent de modèles non standard de l'arithmétique.
Si j'étais un robot spammeur je ne ferais pas remonter les mêmes sujets mais , le hasard faisant parfois bien les choses et la nostalgie aidant , on finit par trouver un peu d'intérêt à ces machins .
Dire comment Gödel concevait les choses, c'est sans aucun doute s'avancer beaucoup pour quelqu'un qui n'a jamais saisi la profondeur des conceptions et un grand nombre de ses méthodes. Je ne m'y risquerait donc pas !
Gödel connaissait bien entendu la notion de modèle qui remonte au début du XXème siècle (et même peut-être au dernier tiers du XIXème avec les modèles des géométries non euclidiennes).
Son théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre (sa thèse me semble-t-il) le prouve amplement. Je crois qu'il a été l'initiateur de la méthode des {\it modèles internes} qui consiste à partir d'un modèle de $ZF$ puis à le faire "maigrir" tout en conservant la relation d'appartenance intacte. Cette méthode lui a permis coup sur coup de montrer que si $ZF$ est non contradictoire, alors $ZF + V = L$, $ZF + HGC$ et $ZF + AC$ sont également non contradictoires. L'axiome $V = L$ signifie "pour tout ensemble il existe une formule $\phi(x)$ à une variable libre $x$ et à paramètres qui caractérise l'ensemble en question" ; par exemple, si la constante $a$ désigne un ensemble, $x \subset a$ est une formule à une variable libre $x$, à un paramètre $a$ qui caractérise $\mathfrak P(a)$. L'axiome $HGC$ c'est l'hypothèse généralisée du continu :pour tout ordinal $\alpha,\ \aleph_{\alpha+1} = 2^{\aleph_\alpha}$. Quant à $AC$...
Dans les années 1950, M.Morley a fondé la {\it théorie des modèles} qui s'occupe des cardinalités des modèles d'une théorie admettant un modèle infini.
Pour un bouquin, tu peux regarder l'argus de la logique, à savoir le Cori-Lascar qui a un chapitre réservé aux modèles. Pour le non standart, je ne connais que "Non-standart analysis" de Robinson, mais c'est faute de m'être vraiment intéressé à la question et il y a des ouvrages plus récents que j'ignore.
Réponses
Tant la question que la réponse ressortent à la métamathématique, et non à la mathématique. Il va de soi qu'il faut bien distinguer la vérité de la démonstrabilité d'un énoncé. Historiquement parlant, les choses n'étaient pas vraiment claires à l'époque de Gödel. Et l'on doit en grande partie ce distinguo à Gödel lui-même.
Pour tout le reste, voir ce qu'a écrit Bruno à cet effet.
Avec tout mon respect,
Thierry
Maintenant il faudrait que quelqu'un corrige les nombreuses anneries que je viens de dire sans doute.
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J'avais écrit un peu plus haut, qu'un jour il faudrait que je me penche la-dessus sérieusement parce y'en a marre. Il se trouve justement que je suis en vacances et que j'ai envie de faire des maths qui n'aient rien à voir avec ma thèse, et que ce genre de sujet irait bien.
Alors par ou commencer mes lectures? Est-il envisageable en quelques semaines ( etrelativment motivé) d'espérer comprendre la démonstration d'un resultat important (genre les thm de Gödel, l'indécidabilité de AC, de HC, ou de l'axiome de Solovay ou un truc comme ça)?
Reste que même sans signe du destin, j'ai toujours envie de profiter de mes vacances pour regarder un peu ça, et que je reste donc ouvert à tout conseil de lecture sérieuse sur le sujet.
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<BR><a href=" http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten.html"> http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten.html</a><BR>
tout d'abord, j'aime beaucoup la vision « à coups de modèles » de la logique, mais je n'y connais à peu près rien (vite fait, les modèles de Kripke, quoi). Je me demandais juste si l'intérprétation à coup de modèles des résultats de Gödel était un apport ultérieur, ou si Gödel voyait déjà les choses comme ça.
Ensuite, si c'était possible, j'adorerais connaître des références de bons bouquins qui font de la théorie des modèles pour un matheux nul en logique, et qui éventuellement parlent de modèles non standard de l'arithmétique.
Merci pour d'éventuelles précisions.
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<BR>plus precisement, ca se passe ici -> <a href=" http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten/math_logik/mathlogik_lit.pdf"> http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten/math_logik/mathlogik_lit.pdf</a>
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<BR>ne pas s'affoler, il reprend toute la table des matieres, mais juste derriere ya la liste de bouquin, dont un "models of peano arithmetics" qui pourrait interresser curieux...<BR>
Domi
Dire comment Gödel concevait les choses, c'est sans aucun doute s'avancer beaucoup pour quelqu'un qui n'a jamais saisi la profondeur des conceptions et un grand nombre de ses méthodes. Je ne m'y risquerait donc pas !
Gödel connaissait bien entendu la notion de modèle qui remonte au début du XXème siècle (et même peut-être au dernier tiers du XIXème avec les modèles des géométries non euclidiennes).
Son théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre (sa thèse me semble-t-il) le prouve amplement. Je crois qu'il a été l'initiateur de la méthode des {\it modèles internes} qui consiste à partir d'un modèle de $ZF$ puis à le faire "maigrir" tout en conservant la relation d'appartenance intacte. Cette méthode lui a permis coup sur coup de montrer que si $ZF$ est non contradictoire, alors $ZF + V = L$, $ZF + HGC$ et $ZF + AC$ sont également non contradictoires. L'axiome $V = L$ signifie "pour tout ensemble il existe une formule $\phi(x)$ à une variable libre $x$ et à paramètres qui caractérise l'ensemble en question" ; par exemple, si la constante $a$ désigne un ensemble, $x \subset a$ est une formule à une variable libre $x$, à un paramètre $a$ qui caractérise $\mathfrak P(a)$. L'axiome $HGC$ c'est l'hypothèse généralisée du continu :pour tout ordinal $\alpha,\ \aleph_{\alpha+1} = 2^{\aleph_\alpha}$. Quant à $AC$...
Dans les années 1950, M.Morley a fondé la {\it théorie des modèles} qui s'occupe des cardinalités des modèles d'une théorie admettant un modèle infini.
Pour un bouquin, tu peux regarder l'argus de la logique, à savoir le Cori-Lascar qui a un chapitre réservé aux modèles. Pour le non standart, je ne connais que "Non-standart analysis" de Robinson, mais c'est faute de m'être vraiment intéressé à la question et il y a des ouvrages plus récents que j'ignore.
Bruno