Mélanger des éléments de manière homogène

Gaet87

Bonjour.
C'est mon premier message sur ce forum et même si j'ai de bonnes bases en mathématique mes connaissances en proba sont très limitées. Je m'excuse si je l'ai posté dans une mauvaise thématique, je ne sais pas si il s'agit de probabilités ou plutôt de logique.

Cela fait plusieurs mois que je cherche une méthode pour m'aider dans ma pratique professionnelle quotidienne en tant que coach pour mélanger des éléments de manière logique et homogène. N'ayant pas trouvé de solution ou de formule je fais donc à chaque fois à tâtons, mais c'est loin d'être idéal. Voila pourquoi je me tourne vers vous.

Voici ma question :
Dans ma pratique j'ai régulièrement un nombre de joueur défini à faire jouer ensemble. Je souhaiterais trouver une méthode pour que chaque joueur joue avec tous les autres par équipes d'un nombre défini. Je souhaiterais également que chacun joue, le plus possible, de manière équitable avec chacun.

Par exemple : Si mon nombre de joueur est de 10 et que je fais des équipes de 5, sur le premier match A, B, C, D, E vont être dans une équipe, et jouer contre F, G, H, I, J.
Dans le second match A, C, E, G, I seront contre B, D, F, H, J. et ainsi de suite...
De cette manière et en tâtonant j'arrive à faire jouer tout le monde avec tout le monde en 5 matchs. Mais dans ce cas je n'arrive pas à avoir quelque chose d'homogène.

Existerait-il une manière logique de faire ces mélanges, quel que soit le nombre total de joueur, et le nombre de joueur par équipe ?
Merci pour vos réponses, j'espère que ce petit "problème" trouvera une réponse pour que je puisse m'endormir en paix.

Math Coss

Est-ce que cette page peut aider ?

lourrran

La page en question (table de Berger) est une page d'un problème très courant, où on a des matches à 1 contre 1 et chacun doit rencontrer tous les adversaires (un championnat comme la ligue 1 de foot, typiquement).
La demande de Gaet87 est beaucoup moins classique.

Quelques question complémentaires pour que le problème soit bien formulé.
- Si tu as par exemple 20 joueurs, tu feras des matches 10 contre 10, ou bien des matches 5x5 et donc 2 matches en même temps.
Idem pour 12 joueurs, tu fais des matches 6 contre 6, ou 2 matches en même temps, 3 contre 3.
- Avec 10 joueurs, tu as commencé un recensement... On peut faire ce recensement complet Si je compte bien, ça fait 126 possibilités. Et avec ces 126 journées de championnat, tu auras couvert tous les cas ; chaque match 5x5 qu'on peut imaginer avec 10 joueurs aura été joué.
Donc c'est parfaitement homogène, parfaitement symétrique.
Et avec moins de 126 journées, c'est forcément un peu dissymétrique.
Ce que tu veux, c'est donc un outil pour recenser ces 126 combinaisons, ou alors tu acceptes de faire des impasses, et tu veux un nombre beaucoup plus limité de journées.

- Probablement, pour certains cas (12 joueurs, 14 joueurs ... à voir) ; on va trouver des cas où ça tombe bien : au bout de 4 ou 5 journées, chaque joueur aura joué exactement X fois contre chaque autre joueur. Sans avoir à faire toutes les combinaisons possibles et imaginables.
Mais il faut des nombres de joueurs très particuliers.

Voilà qui va permettre de mieux cerner le besoin.

Gaet87

Merci pour vos réponses.

- Les équipes que je compose sont toujours soit de 5 personnes soit de 7. Quel que soit le nombre de joueurs présents. Je peux laisser des joueurs de coté pendant un match mais je dois quand même les intégrer à la tournante finale.

- Recensement, voila le terme exact ! J'aurais effectivement voulu un nombre plus limité de journées. J'accepte qu'il y ai des disparités même si j'aimerais éviter qu'elle soient trop importantes.

- Effectivement la plupart du temps je fais ce système avec 10 ou 14 joueurs. Avec 14 ça colle plutot bien.

J'espère que ça t'aidera.

lourrran

Avec 10 joueurs, je pense qu'on peut trouver une solution très équilibrée avec 9 journées.
9 journées, donc chaque joueur joue 9 fois. Il a 4 partenaires à chaque fois, donc il a eu 36 partenaires en tout (36 partenaires ... pas forcément différents bien sûr !)
Et comme il y a 9 personnes autres que le joueur en question, si on se débrouille bien, il peut être partenaire de chacun d'eux 4 fois.
Et idem, en 9 journées, si on se débrouille bien, il sera opposé à chacun des 9 autres joueurs exactement 5 fois.

Le nombre de journées doit être un multiple de 9 pour un équilibre quasi-parfait.

Et idem, pour 14 joueurs et 2 équipes de 7, le nombre de journées doit être un multiple de 13.
Reste à trouver une disposition qui respecte ça.

A suivre.

PS : La discussion serait certainement mieux dans le sous-forum combinatoire.

Gaet87

Merci pour la piste ! J'ai compris la logique. Ne reste plus qu'à trouver les combinaisons. J'en ai déjà une moitié !
Et merci d'avoir remis la discussion dans un endroit plus approprié.
Je vais me pencher la dessus.

lourrran

Continuons à décortiquer la bête, dans le cas où on a 10 joueurs, et on décide de faire 9 matchs.

A doit avoir B comme partenaire 4 fois, et il sera opposé à B 5 fois. C'est ce qu'on a vu précédemment.

Pour les 4 matchs où A et B seront associés, ils auront à chaque fois 3 autres partenaires. Soit 4x3=12 partenaires en tout. 12 partenaires à choisir parmi les 8 joueurs C D E F G H I J.
Donc, pour un jeu le plus équilibré possible, on fera en sorte que AB jouent avec chacun des 8 autres comme partenaire soit 1 fois, soit 2 fois. Mais pas 0, ni 3 fois, ce serait déséquilibré.
Et en poussant un peu plus.
ABC seront donc associés soit 1, soit 2 fois. S'ils sont associés 2 fois , pour choisir les 4ème et 5ème joueurs, on ne prendra pas les mêmes joueurs.
En d'autres mots, le 1er match oppose ABCDE à FGHIJ
Au 2ème match, on peut remettre A, B et C dans la même équipe, pas de problème, de toutes façons, des cas où 3 joueurs restent partenaires, il y en aura forcément.
Mais il ne pourra pas y avoir ni D ni E dans cette équipe.
2ème match = ABCFG contre DEHIJ
3ème match, on continue à avoir A et B dans la même équipe, puisqu'il faut avoir exactement 4 matchs avec A et B dans la même équipe. Mais ils ne peuvent plus avoir C comme partenaire : 3 joueurs ne peuvent pas être associés plus de 2 fois, pour l'équilibre.
Donc ABDFH contre les 5 autres
Puis ABGIJ contre les 5 autres.
La paire AB a été associée à C(2fois) D(2) E(1) F(2) G(2) H(1) I(1) J(1) : Il y a bien 4 joueurs qui ont été associés à cette paire 2 fois, et 4 joueurs qui lui ont été associés 1 fois. C'est un bon départ.

AC ont été associés 2 fois, il faut maintenant lancer 2 autres matchs avec A et C dans la même équipe, sans B bien sûr. Etc etc etc.

depasse

Bonjour

je n'ai pas trouvé de méthode systématique, même dans le cas très particulier de 5 contre 5 en 9 matches.
Voici cependant une répartition "assez équilibrée".
Je numérote les joueurs de 0 à 9 et donne les partenaires de 0:

1234
2356
3489
5689
1679
2479
2578
1457
1368

Cordialement
Paul

depasse

Il y a plus simple!

1235
2346
3457
4568
5679
6781
7892
8913
9124