Super-nombres de Poulet particuliers

Mounir

Bonjour
Je suis en train d'étudier les "super-nombres de Poulet", c'est-à-dire les entiers naturels non-nuls, composés, dont chaque diviseurs $d$ vérifie : $\quad d \mid 2^d-2.$

On remarque que c'est a priori une condition assez forte et on pourrait conjecturer qu'ils sont assez "rares". On en connaît pourtant pas mal et des pas si grands que ça https://oeis.org/A050217.

On sait que pour $p$ premier, $\ p \mid 2^p-2,\ $ or il existe certains nombres premiers tels que la condition plus forte $$p \mid 2^{\frac{p-1}{2}}-1$$ est vérifiée. Il existe même des nombres composés vérifiant cette dernière propriété.

J'ai déjà vérifié qu'il existe des nombres tels que chacun de leurs diviseurs $d$ vérifient $\ d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ comme par exemple de $2047 = 23\times 89$, on a bien $1 \mid 2^0-1$, $23 \mid 2^{11}-1$, $89 \mid 2^{44}-1$ et $2047 \mid 2^{1023}-1.$

La question que je me pose est la suivante :
existe-t-il des nombres ayant 3 diviseurs premiers distincts et dont chaque diviseur $d$ vérifie $d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ ?
J'ai fait beaucoup de test mais mon ordi n'est pas assez puissant pour aller bien loin...
Si quelqu'un connaît un théorème, une piste (ou même la réponse tant qu'on y est !), je lui serai très reconnaissant de m'éclairer.
Merci d'avance.

Mounir

J'ai oublié de mettre le lien wikipédia sur les super-nombres de Poulet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_et_supernombre_de_Poulet

Math Coss

Si j'ai bien compris la question et que je ne me suis pas trompé en programmant, $7\times23\times89$, $7\times31\times151$ et $7\times127\times337$ fonctionnent.

PS : d'autres :

• $7\times23\times89$
• $7\times31\times151$
• $7\times127\times337$
• $7\times151\times601$
• $23\times151\times601$
• $31\times151\times601$
• $89\times151\times601$
• $7\times257\times641$
• $17\times257\times641$
• $23\times257\times641$
• $73\times257\times641$
• $79\times257\times641$
• $89\times257\times641$
• $97\times257\times641$
• $193\times257\times641$
• $199\times257\times641$
• $241\times257\times641$
• $7\times97\times673$
• $17\times97\times673$
• $31\times97\times673$
• $41\times97\times673$
• $7\times137\times953$
• $17\times137\times953$
• $31\times137\times953$
• $41\times137\times953$
• $97\times137\times953$
• $103\times137\times953$
• $7\times233\times1103$
• $127\times233\times1103$
• $7\times577\times1153$
• $17\times577\times1153$
• $23\times577\times1153$
• $31\times577\times1153$
• $41\times577\times1153$
• $71\times577\times1153$
• $73\times577\times1153$
• $89\times577\times1153$
• $97\times577\times1153$
• $113\times577\times1153$
• $127\times577\times1153$
• $151\times577\times1153$
• $193\times577\times1153$
• $199\times577\times1153$
• $241\times577\times1153$
• $257\times577\times1153$
• $271\times577\times1153$
• $281\times577\times1153$
• $337\times577\times1153$
• $353\times577\times1153$
• $433\times577\times1153$
• $449\times577\times1153$
• $463\times577\times1153$
• $7\times601\times1201$
• $31\times601\times1201$
• $41\times601\times1201$
• $73\times601\times1201$
• $151\times601\times1201$

Mounir

Tout d'abord, merci pour ta réponse Math Coss.
Les nombres que tu as donné ont tous 3 diviseurs premiers distincts: ça c'est ok.
Ils vérifient que chaque diviseurs premier $p$ est tel que $p | 2^{\frac{p-1}{2}}-1$: ça c'est ok.

Cependant, les nombres que je recherche doivent vérifier: pour tout diviseur $d$ (pas forcément premier!) $d | 2^{\frac{d-1}{2}}-1$.

Si je prend ton premier exemple, $7\times 23$ est un diviseur de $7\times 23\times 89$, donc on devrait avoir $7\times 23|2^{\frac{7\times 23-1}{2}}-1$, et en particulier $7|2^{80}-1$.

Or, $2^3 \equiv 1 \pmod 7$, donc $2^{3\times 26} \equiv 1 \pmod 7$, donc $2^{80} \equiv 4 \pmod 7$, donc ça ne marche pas...

Je n'ai pas vérifié pour les autres exemples mais j'imagine que c'est pareil (ou pas!) .

Math Coss

En effet, désolé, les méfaits du copier-coller et de la non-relecture.

Rectification faite, il n'y a aucun triplet dont le plus grand facteur premier est $\le1223$. Je regarde un peu plus loin.

Mounir

De façon plus explicite, si on note $n=p_1p_2p_3$ où $p_1,p_2$ et $p_3$ sont premiers et distincts, il faut qu'on ait :

$p_1\mid 2^{p_1}-1$
$p_2\mid 2^{p_2}-1$
$p_3\mid 2^{p_3}-1$

$p_1p_2\mid 2^{p_1p_2}-1$
$p_1p_3\mid 2^{p_1p_3}-1$
$p_2p_3\mid 2^{p_2p_3}-1$

$p_1p_2p_3\mid 2^{p_1p_2p_3}-1$

[$\LaTeX$ fournit la commande $\mid$ (\mid) pour l'opérateur 'divise', qui gère les espacements. AD]

Mounir

Ok merci Math Coss!

Math Coss

Same player, shoot again!

• $151\times601\times1801$
• $601\times1201\times1801$
• $233\times1103\times2089$
• $313\times1249\times3121$
• $673\times2017\times3361$
• $1297\times2593\times3889$
• $1831\times2441\times4271$
• $1553\times3881\times4657$
• $1129\times4513\times5641$
• $479\times1913\times5737$
• $577\times1153\times6337$
• $409\times2857\times6529$
• $937\times6553\times7489$

J'ai juste, cette fois ?

Mounir

Yes! le premier est bon (selon Wolfram Alpha), merci de ton aide.
Une autre conjecture qui tombe à l'eau...

Chaurien

C'est plutôt $p_1\mid 2^{\frac {p_1-1}2}-1$, etc., non ?
D’ailleurs, il n'existe pas d'entier $n>1$ tel que $n\mid 2^n-1$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Mounir

Ah oui Chaurien, au temps pour moi, il faut rajouter un "-1" dans chaque puissance de deux, merci.

JRManda

Bonjour
À propos de supernombres de Poulet particuliers, je partage ci-dessous quelques séquences pouvant contenir un carré d'un nombre premier de Wieferich :

• $1093^{2}$, $4733$, $112\hspace{3pt}901153$, $23140\hspace{3pt}471537$, $4929\hspace{3pt}763073\hspace{3pt}019247\hspace{3pt}417933\hspace{3pt}318805\hspace{3pt}085713$ ;
• $1093^{2}$, $21841$, $503413$, $1\hspace{3pt}948129$, $23140\hspace{3pt}471537$ ;
• $1093^{2}$, $21841$, $26209$, $279553$, $1\hspace{3pt}948129$, $15\hspace{3pt}790321$, $23140\hspace{3pt}471537$, $84159\hspace{3pt}375948\hspace{3pt}762099\hspace{3pt}254554\hspace{3pt}456081$ ;
• $3511^{2}$, $1\hspace{3pt}969111$;
• ...