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Catalogue de figures presque...

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Réponses

  • On parle bien de la même suite. Qu'elle croisse n'est pas contradictoire avec le fait qu'elle ait une limite. Et puis, on ne peut pas conclure de la convergence d'une suite à partir de ses trois premiers termes..
  • Bonsoir, Ludwig,
    Je pensais que dans toute suite convergente, la suite |(Si+1 - Si)| des écarts (en valeur absolue) entre deux termes successifs est monotone, strictement décroissante ...
    Est-ce faux ? Oui, si je comprends bien ta dernière phrase ...
    Bien amicalement
    JLB
  • Bonjour Jelobreuil.

    Pense à la suite 1,0,1/2, 0,1/3,0,1/4,0,...
    Et on peut même créer des suites croissantes ayant une limite finie et telles que la valeur absolue de la différence entre deux termes successifs ne soit pas décroissante.

    Cordialement.
  • Merci Gérard, je reconnais bien volontiers que mon inculture en analyse est plus profonde qu'en géométrie !
    Bien cordialement
    JLB
  • Bonjour,

    voici une petite construction directement inspirée par le problème de Ludwig traitant de deux triangles équilatéraux dans le forum Géométrie.

    Cela doit pouvoir se traiter en collège ou en lycée .

    Tracer le triangle ABC rectangle en C tel que AC = 28 mm et AB = 33 mm .
    Tracer le triangle équilatéral BCD , D étant à l'extérieur du triangle ABC .
    Mesurer AD .

    Après, on peut broder autour de cette figure (calcul de côtés, calcul d'aires, mesure d'angles, etc... ).

    AD = 44 mm est la réponse attendue.
    Le calcul donne : 43,99967129 mm.

    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Merci kolotoko. La figure (valeur exacte $AD=\sqrt{28 \; \sqrt{915} + 1089}$) :117498
    44.jpg 115.8K
  • Bonjour,
    un exercice niveau collège.

    Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on place A(0, 55) ; B(-89, 0); C(34, -199), D(123, -144), E(34, 0) ; F(0, -144).
    Tracer les segments AB, BC, CD, DA, AF, BE, EC et FD.
    Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
    Quelle est la nature de l'hexagone ABFCDE ?
    Calculer l'aire de ABCD et celle de ABFCDE.

    Bien cordialement.
    kolotoko.
  • Bonjour kolotoko,

    Ton exercice est plus approprié pour le niveau seconde je pense : calculs de distances dans un repère orthonormé, équations de droites, etc. Mais il est très bien aussi pour le collège, pour expliquer aux élèves qu'il faut se méfier de ce que l'on voit et éviter de conclure précipitamment. Avec GeoGebra on peut leur demander de construire la figure, de tracer la droite $(BC)$ par exemple, puis de zoomer. Et là, surprise !122152
  • Bonjour,

    merci pour la figure.

    Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme dont un angle vaut 89°, 99531.. ; presque rectangle donc.

    L'hexagone convexe ABFCDE a ses côtés opposés parallèles et égaux puisque A + C = B + D = E + F = M( 34, -144).

    L'aire du quadrilatère ABCD vaut 24476; l' aire de l' hexagone ABFCDE vaut 24477; on en déduit que la distance de E à AD (ou de F à BC ) vaut 0,004274519..

    Les droites AE et BF se coupent à 1 145 251, 602 de l'origine O(0,0) du repère.

    De plus la somme des angles ABF et BFE vaut 135° et la somme des angles BAE et AEF vaut 225°.

    On peut aussi faire démontrer aux élèves que EF2 = 2 x AB2.

    Oui, je suis bien d'accord que cet exercice conviendrait mieux au lycée et qu'on pourrait s'en servir en utilisant Géogébra et ses fonctionnalités.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Modifié (15 Jan)
    Autre possibilité, en utilisant des triangles semblables.
    L'unité est le centimètre. $A$, $C$ et $D$ sont alignés.
    Question : a-t-on $BD=13?$

    Une fois la figure construite à mon avis beaucoup d'élèves vont tomber dans le panneau ($BD=\sqrt{168} \approx 12,96$). Comme la preuve est assez facile c'est un exercice efficace pour les inciter à ne pas conclure juste à partir du dessin.
  • DomDom
    Modifié (15 Jan)
    Amusant : les nombres choisis sont « fibonacciens ». 
  • Et on peut calculer la valeur exacte de $BD$ au collège !  :)
    Deux fois Pythagore, En considérant la hauteur issue de $B$ dans le triangle $ABC$. 
  • Oui ou alors dire « s’ils sont semblables, alors… contradiction ». 
  • Ben oui c'est comme ça que je le voyais. Après on contruit la figure avec GGB, qui nous précise que $BD\approx 12,96148..$, ça alors ! Mais qu'est-ce que c'est que cette valeur ?? Et on enchaîne avec Pythagore qui donne la valeur $BD=\sqrt{168}$... imparable ! 
  • Oui. Ça fait un exercice plutôt riche et dont l’énoncé est assez court. 
    Construction, raisonnement qui conduit à une contradiction (rare en collège) et démonstration directe du calcul de la mesure. 
  • Modifié (18 Jan)
    Ah oui, en effet j'ai choisi les longueurs à partir de la suite de Fibonacci, je crois d'ailleurs qu'il faut prendre de tels nombres pour que ça marche. Je n'ai pas regardé mais en général, si $AB=BC=CD=F_{n+1}$ et $AC=F_{n}$, alors on doit avoir quelque chose comme $BD^2=F_{n+2}^2 \pm 1$. Si aucun élève ne trouve comment calculer $BD$, pourquoi ne pas utiliser un inverseur pour leur faire voir qu'il propose $\sqrt{168}$ comme forme close ?
    edit : c'est bien ça, on a $BD^2=F_{n+2}^2 + (-1)^n$

  • Modifié (18 Jan)
    Une proposition de suite pour cet exercice : soit $C'$ le symétrique de $C$ par rapport à $D$.
    Question : a-t-on $BC'=20$ ?
    On place $C'$.. évidemment on mesure, on trouve environ $20$, hum.. cette fois on va dire que c'est pas sûr que ça fasse vraiment $20$... sauf que ça fait $20$ pile !
    Ou alors : soit $E$ le point de la demi-droite $[CA)$ tel que $AE=4$. A-t-on $BE=10$ ?
  • Modifié (18 Jan)
    oui.
    Bien cordialement
    kolotoko
  • Une remarque d'ordre général : lorsqu'on a sous la main une formule liée à la figure cible où apparaît un nombre irrationnel, on peut utiliser les réduites de ce nombre pour construire une figure presque. Ces réduites étant les meilleures approximations rationnelles possibles, cette figure presque sera elle aussi la meilleure possible (pour les besoins du dessin on se limite à des dimensions pas trop grandes et avec un seul chiffre après la virgule).

    Un exemple : on veut construire un triangle presque équilatéral. La hauteur $h$ d'un triangle équilatéral est liée à son côté $c$ par la formule : $$h=\frac{c \sqrt{3}}{2}.$$ Les premières réduites de $\sqrt{3}$ sont $2$, $5/3$, $7/4$, $19/11$, $26/15$, $71/41$, $97/56$ et $265/153$. $26,5$ c'est trop grand pour une feuille au format A4, on prendra donc un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $BC= 11,2$ et dont la hauteur issue du sommet principal mesure $9,7$. Question : est-il équilatéral ? Non, mais $AB=AC=\sqrt{125,45}\approx 11,2004$. Et pour cette consigne on ne peut pas faire une meilleure approximation compte tenu des contraintes liées au dessin.
  • Modifié (23 Jan)
    Génial le triangle isocèle de base 8 et de hauteur 7; ça fait longtemps que je cherchais un triangle dans les nœuds du quadrillage qui paraisse équilatéral bien que ce soit impossible (puisque $\sqrt3\notin \mathbb Q$ ) : voilà, je l'ai. Merci.
    Remarque
    : (1) si au lieu de prendre le cm comme unité, on prend les carreaux de $8$mm, on lit $6.4 cm$ partout : c'est encore plus bluffant; et le triangle est rapidement construit avec le quadrillage ;
    (2) le côté est $\sqrt{65}$ ; la variation par rapport au triangle équilatéral est $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{64}}\approx 1+\frac12.\frac{1}{64}$ soit plus petite que $1\%$.

    Je l'ai expérimenté avec mes élèves de 6è; ça marche du tonnerre en lien avec ce document par exemple.
  • Modifié (22 Jan)
    Tu prends les triplets pythagoriciens et tu fais de très légères variations d'un ou deux entiers composant le triplet : je m'amusais ainsi à obtenir des angles de 90.004° avec la formule d'Al Kashi traçables par des élèves. Record à battre ;)
  • Modifié (23 Jan)
    Oui, ou tu dessines un triangle rectangle sur une feuille et tu mesures ses côtés au mm près. Une question en lien avec ton record : en raison des contraintes liées au dessin avec les instruments on considère les triangles non rectangles dont les dimensions sont mettons comprises entre 5 et 12 cm et qui ont au plus un chiffre après la virgule. Quels sont parmi ces triangles ceux dont un angle est le plus proche de 90° ? Un programme devrait rapidement venir à bout de cette question.
  • Modifié (23 Jan)
    J'obtiens comme record $(148,88,119)$ (en millimètres), pour un angle de $90{,}0027^\circ$.
    sage: d=1.
    sage: for a in range(30,151):
    ....:     for b in range(30,151):
    ....:         for c in range(abs(b-a)+1,a+b):
    ....:             u = (a^2-b^2-c^2)/2/b/c
    ....:             if abs(u)>1e-8 and abs(u)
  • Modifié (23 Jan)
    Merci Math Coss. J'aime bien ces exercices où plane un autre savoir, savoir inexplicable aux élèves car hors-programme ou trop compliqué, mais qu'on peut présenter comme une énigme et énerver les curieux : il se trouve, chers élèves, qu'on peut calculer les angles de ce triangle (quoi, comment ?? se demande l'élève qui aime explorer)..., et cet angle-là mesure environ $90,0027°$... Oui mais bien sûr ! s'amuse une autre élève qui adore mener l'enquête, car un truc aussi proche d'un angle droit il y a forcément du voulu là-dedans, mais alors.. comment est-ce possible... etc etc..
  • Modifié (23 Jan)
    L'irrationalité de $\sqrt{3}$ rappelée par stfj permet aussi de montrer qu'une construction relative au célèbre puzzle de Dudeney n'est qu'approchée, une figure presque elle aussi.
  • Bonjour,
    Soit  le triangle ABC avec  (a = 148 , b = 119 , c = 88 ) où b^2 + c^2 = 1 + a^2.
    En appliquant Al-Kashi (règle du cosinus), je trouve pour mesure d'angle en degré .
    A = 89,99726433
    B  = 53,51899865
    C = 36,48373701
    B  + C = 90,0273566
    il est clair que ce triangle ne peut pas être rectangle car a est pair alors que b et c sont impair et pair.
    Bien cordialement.
    kolotoko
     
  • D'accord. Apparemment, j'ai fait une erreur de signe dans la formule d'Al Kashi (définition de $u$ ci-dessus). Je refais un essai pour copier le code (en rectifiant l'erreur).
    sage: d = 1.
    sage: for a in range(30,151):
    ....:     for b in range(30,151):
    ....:         for c in range(abs(b-a)+1,a+b):
    ....:             u = (b^2+c^2-a^2)/2/b/c
    ....:             if abs(u)>1e-8 and abs(u)

  • Pour un triangle plus petit, par exemple avec des côtés entre 3 et 8 cm, j'ai demandé à Chat GPT d'écrire un programme en python : 

    import math

    # une fonction pour calculer l'angle A dans un triangle ABC
    def angle_A(a,b,c):
        cos_A = (b**2 + c**2 - a**2) / (2*b*c)
        return math.acos(cos_A)

    # liste pour stocker les triangles et leur angle A
    triangles = []

    # parcourez toutes les combinaisons possibles de côtés
    for a in range(30, 81):
        for b in range(30, 81):
            for c in range(30, 81):
                if (a+b)>c and (a+c)>b and (b+c)>a: #condition pour un triangle valide
                    A = angle_A(a,b,c)
                    if math.degrees(A) != 90:
                        triangles.append((a,b,c, math.degrees(A)))

    # trouver le triangle avec angle A le plus proche de 90
    min_diff = float('inf')
    best_triangle = ()
    for triangle in triangles:
        diff = abs(90 - triangle[3])
        if diff < min_diff:
            min_diff = diff
            best_triangle = triangle

    print("Le triangle avec l'angle le plus proche de 90 degrés est : ", best_triangle)

    Puis j'ai utilisé un compilateur en ligne pour trouver : $(78, 46, 63, 89.99011459975893)$.
  • Modifié (25 Jan)
    Voici la figure du $(78,46,63)$ obtenue avec geogebra (chatGPT est une puissante aide pour un prof)
     
  • bonjour,
    l'angle presque droit mesure 89,990114... degrés et non 90,06 degrés .
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Pour ce problème d'optimisation il semble que la solution vérifie toujours $a^2+b^2=c^2 +1$. Pourquoi ?
    Si on cherche le triangle optimal pour des longueurs comprises entre $1$ et $n$ le côté le plus long $c$ est très proche de la borne supérieure, et on doit avoir $c/n\underset{\infty}{\sim}1$.
    Et la solution correspond au maximum du produit $ab$, puisqu'il s'agit de minimiser $(a^2+b^2-c^2)/(2ab)$. On est amené à étudier la fonction $x \sqrt{n^2-x^2}$ pour trouver qu'il y a sans doute convergence vers le triangle isocèle rectangle $a=b=n \sqrt{2}/2$.
  • Modifié (26 Jan)
    Bonjour,
    une simple remarque : le triangle de Math Coss ( a =148; b = 119; c = 88 ) et le triangle de Ludwig ( a = 78; b = 63; c = 46 ) sont obtenus en faisant n = 29 et n = 15 dans les formules a = 5n + 3; b = 4n + 3; c = 3n +1.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Modifié (26 Jan)
    Malheureusement tes formules ne marchent pas pour par exemple $n= 210$. Existe-t-il seulement des formules simples pour déterminer les longueurs des côtés du triangle solution ? Possible que la contrainte de maximalité l'emporte sur celles liées aux entiers, pour $n$ assez grand. Et qu'on ait quelque chose du genre partie entière d'une division... un truc modulo $4$... oula.. je fais beaucoup trop dans l'approximatif !
  • Modifié (26 Jan)
    Bonsoir,
    les triangles  a = 5n + 3; b = 4n + 3; c = 3n +1 tendent vers la forme du triangle rectangle (5, 4, 3) quand n tend vers l'infini et on a a^2 +1 = b^2 + c^2 quelque soit la valeur de n.
    Pour n = 210 l'angle A vaut 89,9999461 degrés.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Modifié (26 Jan)
    Je me suis mal exprimé, désolé. On ne parle pas de la même chose, je voulais parler des triangles dont les longueurs des côtés sont plus petites ou égales à $210$. Si tu prends les triangles dont les côtés sont plus petits ou égaux à $5 \times 210 + 3$ alors je crois que ton triangle n'est pas optimal. Peut-être faut-il considérer des familles de triangles.
  • Modifié (27 Jan)
    Bonsoir,
    pour le catalogue de Ludwig, je propose ce petit exercice de niveau collège.
    Soit le trapèze rectangle ABCD suivant :
    g
    rande base AB = 34 mm ; petite base AC = 14 mm ; hauteur AD = 31 mm.
    Construire le trapèze.
    Mesurer les diagonales.
    Calculer les diagonales.
    Le triangle ABC est-il isocèle ?
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Modifié (27 Jan)
    Bonsoir à tous,
    @kolotoko : la petite base est CD et non pas AC.
    Autrement, c'est pas mal ! le calcul donne 34,0147 mm pour la diagonale BC ...
    Bien cordialement, JLB
  • DomDom
    Modifié (27 Jan)
    Ce n’est pas tout à fait dans ce fil mais ça peut être intéressant. 
    L’exercice se fait bien. Mais si on va un peu plus loin, et que l’on demande de coder les angles de même mesure, on trouve qu’il y a un truc qui cloche : K appartient à [IL]. 
    Pour rentrer dans le fil, on pourrait faire tracer cette figure en vraie grandeur et la question serait de savoir si des points sont ou non alignés. 
    Autre idée : la figure peut aussi être une représentation d’une pyramide de sommet K. Dans ce cas, pas de problème. 
    Ces discussions m’apparaissent intéressantes.  
    C’est dans Transmath Cycle 4

    Une remarque typographique : dans beaucoup de manuels, une police similaire à de l’ARIAL a été adoptée. Mais pour le « i Majuscule », ils ont dû changer la police et prendre un genre « Times New Roman ». Le « i » droit peut être confondu parfois avec un « L minuscule ».
    En effet : voici un I et voici un l .
    Je crois que les polices avec empattements gênent certains lecteurs comme des dyslexiques. 
  • C'est la raison pour laquelle le symbole international pour le litre est L et pas l. En pratique, cela devrait inciter à éviter certaines lettres.
  • Bonjour,

    je remercie jelobreuil pour avoir signalé et corrigé l'erreur dans mon précédent message.
    On a bien AC = 34,0147...
    On a aussi BD = 46,0108...
    On pourrait, pour les amoureux de la trigonométrie, proposer l'exercice suivant.
    Soit ABCD un quadrilatère vérifiant : AB = AC = 34; BD = 46; DC = 14; et AD = 31.
    Calculer BC.
    Bien cordialement.
    kolotoko
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