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Ensemble de p-listes

$\def\card{\mathrm{card\,}}$Bonsoir,

Il y a un détail de la démonstration qui me tracasse.
Soient $E$ et $F$ 2 ensembles. Si l'élément $x$ peut prendre $m$ valeurs dans l'ensemble $E$ et si, pour chaque valeur de $x$, l'élément $y$ peut prendre $n$ valeurs dans l'ensemble $F$ alors le nombre total de valeurs que peut prendre le couple $(x,y)$ est $m \times n$.

Démonstration :
On note $\{a_1, \cdots a_m \}$ les valeurs prises par $x$. L'ensemble $G$ de tous les couples $(x,y)$ possibles peut s'écrire $G=G_1 \cup G_2 \cup \cdots G_m$ où $G_i$ est l'ensemble des couples $(a_i,y)$.
Pour tout $i$ il y a autant d'éléments dans $G$ que de $y$ c'est-à-dire $n$. Alors $G$ est fini, car réunion d'ensembles finis, et comme la réunion est disjointe, on obtient :

$\card G=\displaystyle \sum_{i=1}^m \card \ G_i = \displaystyle \sum_{i=1}^m n =n \times m$.

Je ne comprends pas pourquoi les $G_i$ sont disjoints alors qu'il ont en commun l'élément $y$.

Puis je ne comprends pas pourquoi pour tout $i$ il y a $n$ éléments dans $G_i$ je dirais $n+1$ en comptant $a_i$

Réponses

  • Une fois de plus, tu n'as pas compris ce que sont les éléments des ensembles considérés. Pourtant c'est écrit clairement.
    OShine a écrit:
    Je ne comprends pas pourquoi les $G_i$ sont disjoints alors qu'il ont en commun l'élément $y$.

    Les éléments de $G_i$ sont des couples $(a_i,y)$. L'élément $y$ n'est dans aucun $G_i$.

    OShine a écrit:
    Puis je ne comprends pas pourquoi pour tout $i$ il y a $n$ éléments dans $G_i$ je dirais $n+1$ en comptant $a_i$

    Il y a $n$ valeurs possibles pour $y$. Les $a_i$ sont des valeurs prises par $x$.
  • Prenons $m=3$ et $n=2$.
    $E=\{a_1,a_2,a_3\}$, $F=\{b_1,b_2\}$.
    Peux-tu écrire explicitement l'ensemble $G$ et chaque ensemble $G_i$ ?
  • OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,2020180,2020180#msg-2020180
    > Soient $E$ et $F$ 2 ensembles. Si l'élément $x$ peut prendre $m$ valeurs dans
    > l'ensemble $E$ et si, pour chaque valeur de $x$, l'élément $y$ peut prendre $n$ valeurs dans
    > l'ensemble $F$ alors le nombre total de valeurs que peut prendre le couple $(x,y)$ est $m \times n$.


    Bonjour
    Il faut vraiment une démonstration pour ça ?
  • Pas dur : on considère la « première projection » $p_1:E\times F\to E$, $(x,y)\mapsto x$. Chaque élément de $E$ admet $|F|$ antécédents. Par le lemme des bergers, le cardinal de $E\times F$ est $|F|$ fois celui de $E$.

    C'est bien sûr beaucoup plus chic que de compter des carrés de chocolat. Pourtant, je suis sûr que tu sais résoudre l'exercice ci-dessous, tiré de ce fichier.

    PS : je n'avais pas lu le début du fil donc j'ai répété la démonstration qui y est donné avec d'autres mots : $G_i$ est l'ensemble des antécédents de $a_i$ par $p_1$.103310
  • Michael

    Soit $y \in F$ alors $G_1=\{ (a_1,y) , y \in \{b_1,b_2\} \}=\{ (a_1,b_1) , (a_1,b_2) \}$
    $G_2=\{ (a_2,y) , y \in \{b_1,b_2\} \}=\{ (a_2,b_1) , (a_2,b_2) \}$
    $G_3=\{ (a_3,y) , y \in \{b_1,b_2\} \}=\{ (a_3,b_1) , (a_3,b_2) \}$

    On voit bien que les $G_i$ sont disjoints, ils n'ont aucun élément en commun.


    Math Coss
    Je sais que le résultat est évident mais c'est la démonstration théorique qui m'a posé souci.
  • C'est du grand n'importe quoi. On te demande le nombre de couples (x,y) où x prend n valeurs possibles et y m valeurs possibles. N'importe quel Quidam connait la réponse et n'a pas besoin de démonstration.
    De plus parler de démonstration théorique c'est une vaste blague. Quand on commence à formaliser pour démontrer quelque chose et bien il faut qu'il y ait quelque chose à démontrer.
    Alors je peux te rassurer au Capes on ne te demandera de démontrer un tel truc.
    Par ailleurs si un enseignant s'amuse à démontrer ce genre de truc au lycée à ses élèves, alors ils vont fuir les maths à grands pas.
  • C'est mon bouquin qui le démontre, et je suis d'accord je ne comprends pas trop l'intérêt.
  • @bd : pas tout à fait d'accord avec toi. Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement. Si c'est évident, alors ça doit être facile à démontrer. Parfois, ce n'est pas du tout le cas. Il est vrai qu'un tableau à $m$ lignes et $n$ colonnes à $mn$ cases... ou qu'un arbre à $m$ branches avec $n$ feuilles chacunes possède $mn$ feuilles. Et on peut continuer les illustrations comme ça sans cesse et pour des lycéens, c'est très bien.

    Mais dans le supérieur, on essaye de faire les choses proprement et rigoureusement. Pour le CAPES, ça ne lui sert à rien, on est d'accord donc je lui suggère de laisser tomber. Mais démontrer que $\card(E\times F)=\card(E) \times \card(F)$ mérite une vraie démonstration. A priori, pour montrer des égalités de cardinaux, il faut trouver une bijection, en l'occurence ici entre le produit cartésien $E\times F$ et un ensemble de cardinal $\card(E) \times \card(F)$. Ou utiliser d'autres propriétés ou lemme comme l'a fait Math Coss. Mais dire "évident" donc pas besoin de démontrer, ça n'est pas un argument mathématique. C'est souvent quand on ne sait pas démontrer le résultat que l'on recourt à cette facilité rhétorique.

    Dans le même genre, $\card(A\cup B)=\card(A)+\card(B)-\card(A\cap B)$ est évident sur un dessin. Mais ça mérite démonstration (en cherchant une partition de $A\cup B$ etc...)
  • Ces démonstrations ne sont pas trop difficiles je n'ai pas laissé tombé j'ai compris.

    Après je ne suis pas sûr de savoir les refaire dans 10 jours.
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