EMV uniforme discrète

Quanter0

Bonjour

Je cherche l’estimateur du maximum de vraisemblance pour l’échantillon X1, ..., Xn à valeurs dans {1, 2, ..., théta} avec théta >=2

Après avoir fait argmax de la log vraisemblance en théta, je tombe sur -n/théta = 0 ...

Pour la continue je sais que c’est le max Xi mais discret aucune idée...

marsup

C'est la même chose que pour le cas à densité.

$$P_\theta\left(\bigcap_{i=1}^n[X_i = x_i]\right) =
\begin{cases}
\dfrac{1}{\theta^n} & \text{ si } \max(x_i) \le \theta \quad \text{(décroissant avec $\theta$)} \\[3mm]
0 & \text{sinon} \\
\end{cases}
$$

Donc le maximum de vraisemblance est pour $\theta = \max(x_i)$.

Quanter0

D’accord merci!

Quanter0

j'ai trouvé la loi du max mais je ne trouve pas comment calculer l'esperance et la variance du max...

je suis passé par la fonction de répartition:
P(max(x1,...,xn)<=x) = P({x1<=x}.....intersection...{xn<=x} ) = (independance)P(x1<=x) X...XP(xn<=x) = ( Fx1(x) )^n




j'ai trouvé pour la fonction de repartition du max entre 1 et téta ( x/téta)^n
puis pour p(max =x) j'ai trouvé P(max<=x) - P(max<x) = ( x^n - (x-1)^n )/(téta)^n

ensuite je bloque pour calculer l’espérance et la variance ...si quelqu'un a une idée

marsup

Je crois que trouver des formules exactes fermées, ce n'est pas évident.

Je mets en pièce jointe un exercice où je parle un tout petit peu de ça.

En gros, pour la version discrète, il se passe la même chose que pour la version continue, mais avec des sommes finies à la place des intégrales, donc les calculs sont plus compliqués.