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Notions avec définition sans unanimité

Pour essayer d'avoir quelque chose de plus "constructif" (parce que là on s'amuse mais bon... :-D), on pourrait dresser une liste des termes qui posent problème, au moins en français.

En ouvrant Bourbaki pour les besoins du jour (Algèbre, chapitre IX, Formes sesquilinéaires et formes quadratiques), voici que je tombe sur l'avertissement suivant au tout début du livre :
Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont supposés admettre un élément unité noté 1 ; tous les modules sont supposés unitaires ; pour tout homomorphisme $f$ d'un anneau $A$ dans un anneau $B$ on suppose que $f(1) = 1$.

En plus des anneaux, toutes les structures algébriques qui sont construites sur cette celle-ci sont impactées : modules, algèbres, ... Mais aussi, par voie de conséquence, la définition même des applications qui préservent la structure !
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Réponses

  • Je suppose que "module unitaire" veut dire que $1m=m$ pour tout $m$ du module ?

    Je pense que cet extrait est un vestige du passé. Il y a maintenant un consensus quasi unanime pour dire qu'un anneau a un élément neutre pour sa multiplication (et puisque cet élément neutre fait partie de la structure, on demande bien sûr qu'il soit préservé par homomorphisme d'anneaux !).
    En anglais les anciens "anneaux sans 1" sont quelquefois appelés "rng" (ring without identity).
  • Puisque tu parles de formes sesquilinéaires, de quel côté est le demi ? À gauche ou à droite ?
  • Comment se prononce ce « rng » (avec les initiales ? r.n.g ?) dont la construction m’enchante ?
    Je l’ai même comprise, moi et mon franGLÉ pourri de chez pourri.
  • Pourtant, la précision "dans cet ouvrage, les anneaux sont supposés unitaires" n'est pas rare, même pour des ouvrages édités au XXIe siècle ou à la fin du XXe...
  • Oui, vestige du passé disais-je.
    Mais as-tu beaucoup de références du 21e siècle où on appelle "anneaux" des pseudo-anneaux (ou rngs) ?
  • Ces histoires de terminologie dépendent des auteurs. Il n'y a pas même en France (pays du centralisme à tous les niveaux par excellence) un décret au Journal Officiel qui impose l'utilisation de tel ou tel terminologie en mathématiques.

    Deux facteurs entrent en jeux, d'une part l'inertie culturelle du corps enseignant (certains voient dans les Bourbaki la fin de l'histoire pour ce qui est de la terminologie d'autres non). Il faut noter non sans ironie que les membres de Bourbaki dans leurs propres ouvrages ne s'attenaient pas toujours à la terminologie de Bourbaki (qui est une oeuvre de consensus). C'est le comble non ? Non c'est tout à fait naturel.

    Et puis d'autre part les maths c'est une science vivante la terminologie change. Il fût un temps où on lisait dans les livres de corps et corps gauche/corps non commutatif. Aujourd'hui on préfère parler de corps et anneau à division. Ce n'est pas un délit de parler de corps et corps gauche pourvu que l'on soit clair de quoi en parle.
    Dans certains de mes livres d'algèbre on définit un anneau sans faire mention de l'unité multiplicative. Si on a besoin d'anneau avec unité on le précise. Est-ce un délit ? Non il suffit d'être clair.

    C'est désolant de voir la quantité d'encre qu'on fait encore couler pour cet argument, on se croirait à la cour de Byzance en discutant du sexe des anges.
  • "Mais as-tu beaucoup de références du 21e siècle où on appelle "anneaux" des pseudo-anneaux (ou rngs) ? "

    Non, mais si le doute subsiste au point qu'on se sente obligé de le préciser dans un ouvrage édité aujourd'hui, c'est que ce n'est toujours pas si évident que ça (à mon sens en tout cas). Il n'y a qu'à voir sur ce forum et bien d'autres (également en langue anglaise) : même pour des étudiants "jeunes" qui n'ont pas connu Bourbaki personnellement, la question de l'unité dans les anneaux n'est pas claire (mais c'est sans doute parce qu'ils lisent des livres un peu vieillots ;-)).

    Pour passer à autre chose, la notion d'algèbre elle-même pose problème. On utilise le même mot (algèbre) pour désigner deux structures qui peuvent être différentes : l'une qu'on définit en général dès la licence en partant d'une structure linéaire et en ajoutant une loi interne faisant office de produit, l'autre en partant d'un morphisme d'anneaux dont l'image est contenue dans le centre de l'anneau d'arrivée. Le problème vient essentiellement de ce que la structure définie en licence est en général quelconque, alors que la seconde est "par définition" (par construction disons) associative et unitaire, sans que les auteurs mentionnent forcément ces mots et parlent simplement d'algèbre...
    Il s'agit d'un point de vocabulaire apparemment anodin, mais le fait que les deux constructions soient assez différentes conduisent à pas mal de confusion, alors qu'on montre au final et de façon fort simple qu'une algèbre type licence qui est associative et unitaire ou une algèbre définie par morphisme d'anneaux, eh bien c'est complètement la même chose. Des discussions ont déjà eu lieu sur ce forum pour clarifier les choses pour des intervenants qui avaient des difficultés avec ce point.
    Bref, algèbre, ou algèbre associative unitaire... il faut parfois choisir !

    Je citerai d'autres problèmes ayant trait à la terminologie dans la suite (en attendant les remarques contradictoires à ce que je viens de dire ;-)), il y en a dans à peu près tous les domaines...
  • On trouve des divergences (c’est beaucoup dire) sur

    -« fonctions »
    -« applications »
    -« corps non commutatifS » (Comme déjà rappelé)

    Faut-il aussi rappeler les abus de langage ou de notation (sans les critiquer)

    -$\mathbb N$ (juste l’ensemble) à la place de $(\mathbb N,+,\times)$ (ici, muni des lois usuelles)
    -idem pour d’autres ensembles...
  • "Ces désolant de voire la quantité d'encre qu'on fait encore couler pour cet argument, on se croirait à la cour de Byzance en discutant du sexe des anges. "

    Je ne sais pas qui est SERGE_S et ce qu'il a écrit, mais je trouve dommage qu'il ne voie pas que derrière ces questions se cache un vrai problème pédagogique ! Un étudiant qui lit tantôt que trucmuche c'est A, puis B, puis C... et qui croyait débarquer au royaume de la rigueur, eh bien il fait demi-tour et s'en va voir ailleurs en se disant que ce n'est pas mieux ici que dans un amphi de sciences très molles...
    Oui, j'exagère un peu (;-)), mais ce que je veux pointer, c'est que ces problèmes terminologiques font perdre beaucoup de temps et peuvent décourager à la longue des étudiants qui ont déjà bien autre chose à faire (concentrer leur énergie sur des concepts difficiles par exemple !). On pensait avoir compris, et puis on a l'impression qu'on n'a en fait rien compris ! Alors pour des chercheurs qui ont fait Ulm, X, ou qui baignent là-dedans depuis 20, 30 ou 50 ans, ce n'est sans doute pas grand chose de plus que le sexe des anges, mais pour les milliers d'étudiants qu'on prétend élever un peu de leur médiocrité télévisuelle (et sur ce forum on croit beaucoup à cette élévation :-D), c'est difficile ! On ne peut pas dire d'un côté qu'il faut tout faire pour aider les étudiants à réussir en maths pour améliorer leur "autonomie" (l'apprentissage de la rigueur, de la façon de penser, ne pas être dupe des statistiques, des fausses déductions, ne pas tomber dans tous les biais possibles, etc.), et d'un autre balayer d'un revers de la main dès qu'on pointe une défaillance du système, parce qu'on a soi-même oublié (ou peut-être jamais connu) tous ces problèmes...

    Bon, on dévie un peu, mais tout cela pour dire que j'estime que ce n'est pas si "masturbation mathématique" que ça de pointer quelques pièges, ou du moins difficultés du vocabulaire et de la présentation des mathématiques.
    Et sinon, le : "Non il suffit d'être clair.", c'est exactement ce que j'ai écrit à plusieurs reprises sur un autre fil ces jours-ci, donc on est d'accord sur la conduite à tenir au final...
  • En vrac:
    * les anneaux ont une unité vs les anneaux n'ont pas d'unité
    * les corps sont commutatifs vs les corps ne sont pas nécessairement commutatifs
    * limite pointée vs limite épointée
    * distinction entre fonction et application vs fonction = application
    * dénombrable = bijection avec $\mathbb N$ vs dénombrable = fini ou bijection avec $\mathbb N$

    Sachant que j'ai l'impression que la balance penche de plus en plus vers les anneaux ont toujours une unité, les corps toujours commutatifs, fonction = application, dénombrable = fini ou bijection avec $\mathbb N$. Pour les limites c'est moins clair...

    Si je pense à d'autres exemples, j'éditerai mon post. Il me semble aussi qu'il y a des exemples en topologie avec certains types d'espaces dont les définitions peuvent varier selon les auteurs, mais je ne m'y connais pas vraiment.
  • Salut curiosity.

    Les exemples qui me viennent à l'instant.
    • Les anneaux principaux sont-ils intègres par définition ?
    • Une partie multiplicative $S$ d'un anneau vérifie-t-elle $0\notin S$ ?
    • Est-ce que les corps sont des anneaux de Dedekind ?
    Dans l'ordre, j'aurais dit oui, non et oui. On me l'a enseigné comme ça, en tout cas.
  • ces problèmes terminologiques font perdre beaucoup de temps

    Alors pourquoi contribuer à cette perte de temps ?
    Il me semble bien que, dans la pratique mathématique, la terminologie converge, et dans l'enseignement aussi. C'est une bonne chose.

    Revenons aux questions importantes : dans sesqui, le demi est à droite ou à gauche ? Je n'ai pas eu de réponse, mais j'ai ma petite idée là-dessus.
  • Le petit anneau des nombres pairs a-t-il encore droit de cité en maths ou est-ce qu'on l'élimine pour obsolescence terminologique ? :-D
  • Oh, un anneau sans unité, on pourrait appeler ça un "annea" !
  • J'ai souvent entendu "pseudo-anneau" pour qualifier un anneau sans élément unité, un anneau étant avec unité, dans la tradition bourbakiste qui a raison en l'espèce car un pseudo-anneau n'est jamais qu'un idéal bilatère d'un anneau, avec quelques trucs en plus non anodins qu'on détaille ci-dessous.

    $\newcommand{\ca}{\mathcal A}$
    $\newcommand{\cp}{\mathcal P}$
    $\newcommand{\uo}[1]{{#1}^u}$
    $\newcommand{\Hom}[3]{\text{Hom}_{#1} \left ( #2,#3\right )}$
    $\newcommand{\i}[1]{\mathbf i _{#1}}$
    $\newcommand{\ucan}[1]{\overline {#1}}$
    $\newcommand{\um}[1]{{#1}^u}$
    Ci-dessous $\ca$ désigne la catégorie des anneaux et $\cp$ celle des pseudo-anneaux.

    1°) Soit $R$ dans $\cp$. On pose $\uo R:=\Z \times R$. Pour tous $(p,x)$, $(q,y) \in \uo R$ on pose $(p,x)+(q,y):=(p+q,x+y)$ et on pose $(p,x) \cdot (q,y):= (pq, py+qx+xy)$. Il est alors routinier de vérifier que $\uo R$ est un anneau unitaire. Si on pose $\i R (x):=(0,x)$, on voit que $\i R$ est un morphisme de pseudo-anneaux entre $R$ et $\uo R$.

    2°) D'autre part, soit $S$ un second anneau et $\varphi:R \to S$ un morphisme de pseudo-anneaux. Alors il existe un unique morphisme d'anneaux $\ucan{\varphi}$ entre $\uo R$ et $S$, tel que $\ucan{\varphi} \circ \i R = \varphi$. Ce morphisme est donné par $\ucan{\varphi}(n,x):= n\cdot 1_S + \varphi(x)$ pour tous $n\in \Z$ et $x\in R$ (calculs d'une ligne).

    3°) On en déduit tout de suite que le foncteur d'oubli $B\mapsto B$ de $\cp$ dans $\ca$ admet un adjoint à gauche. Pour cette raison, la manière de rajouter une unité à un pseudo-anneau est essentiellement unique. Cet adjoint n'est rien d'autre que $(R\mapsto \uo R,f\mapsto \um f)$ où, si $\varphi \in \Hom {\cp} A B$, $\um \varphi$ désigne $\ucan{\i B \circ \varphi}$. Noter que l'on a pour tout $(n,x)\in \uo A$, $\left ( \ucan{\i B \circ f} \right )(n,x)=n\cdot 1_{\uo B} + \i B \circ f (x) = (n,0) + \left ( 0,f(x)\right ) = \left (n,f(x) \right )$ ce qui donne une expression simple pour $\um{\varphi}$.

    4°) Soit $(M,+)$ un groupe abélien. Pour tout pseudo-anneau $A$, une structure de $A$-module n'est rien d'autre qu'un morphisme $\rho_M$ de pseudo anneau entre $A$ et l'anneau $End(M)$ des endomorphismes de groupe abélien de $M$.
    On en déduit aussitôt une structure de $\uo A$-module sur $M$ en prenant $\ucan {\rho_M} : \uo A \to End(M)$.
    Si $N$ est un second $A$-module, un morphisme de $A$-modules est un morphisme $g$ de groupes abéliens entre $M$ et $N$ tel que pour tout $a\in A$, $\rho_N (a) \circ f = f \circ \rho_M (a)$. On voit par un calcul que cela se produit si et seulement si pour tous $b \in \uo A$, $\ucan{\rho_N (b)} \circ f = f \circ \ucan{\rho_M (b)}$, autrement dit si $f$ est un morphisme de $A$-modules au sens usuel entre $M$ et $N$. Ainsi la catégorie des modules sur le pseudo-anneau $A$ et la catégorie des modules sur l'anneau $\uo A$ sont une seule et même chose. D'autre part compte tenu du paragraphe 2°), toute structure de $A$-module sur un groupe abélien peut être obtenue à l'aide d'une unique structure de module sur $\uo A$.
  • "Alors pourquoi contribuer à cette perte de temps ? "

    Parce qu'il ne s'agit pas de perdre son temps ! Il s'agit de prendre conscience de cet écueil et d'éviter, quand on est enseignant, de le faire "subir" à ses élèves/étudiants (de façon très simple : "J'introduis maintenant la notion de... qu'on appelle aussi... dans certains coins ou par certains, et qui diffère de celle que je présente en ces points : ..., la raison étant : ... Donc faites gaffe si vous ouvrez des bouquins ou suivez des cours ici ou là...").
    Un exemple très simple : la question qui est à l'origine de ce fil sur la manière de traduire, question qui n'a pas de réponse simple parce que, justement, il y a des divergences sur le vocabulaire et, à mon avis, sur des choses plus profondes (notamment le fait que nous ne voyons pas les mêmes notions de la même façon et ne mettons pas l'accent tous au même endroit...). C'est outre-Atlantique, certes, mais le but est aussi de voir que ça arrive ici aussi.

    Pour ce qui est du sesqui-, je n'ai pas de réponse. J'ai bien noté qu'il y avait une question là-dessous mais je n'ai pas encore réfléchi à la manière de la classer : problème de définition / problème de notation / problème plus profond ;-).
  • Merci aux contributeurs qui proposent des exemples. J'aimerais en dire quelques mots à chaque fois, sinon ça n'a aucun intérêt de faire une liste de courses (gardons ça pour le déconfinement !).

    Pour ce qui est du couple application/fonction, on a effectivement des problèmes (là encore qui remontent régulièrement sur les forums mathématiques, dont celui-ci). "On" confond souvent plus ou moins les deux termes, et souvent dans les livres on trouve aussi bien l'un que l'autre. Pas de problème en général, le contexte permettant de savoir où l'on est, sauf lorsqu'on fait de l'algèbre "de base" (ou ensembliste).
    De mémoire, il me semble que la palme revient étonnamment à Bourbaki qui est d'un flou artistique sur la question au début de son volume "Théorie des ensembles". Je vérifierai cette affirmation quand je pourrai remettre la main sur le livre, mais j'avais gardé le souvenir (et même rédigé quelques phrases sur la question) que ce n'était pas dans ce livre qu'il fallait chercher des définitions claires et rigoureuses sur le sujet...
  • SERGE_S écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,2013210,2013502#msg-2013502

    Ça, si je peux me permettre, c'est vraiment une remarque idiote (sauf le respect dû à SERGE_S). Ce n'est pas parce qu'on appelle $2\Z$ un idéal de $\Z$ plutôt qu'un sous-anneau de $\Z$ (quelle horreur ! Je frémis en écrivant cela ;-)) qu'on l'élimine des mathématiques.
  • C’est même respectueux « idéal » par rapport à « sous-machin ».
  • Sinon, pour la question de GaBuZoMeu, vu que curiosity n'a pas d'avis là-dessus, j'aurais suggéré de répondre semi-linéaire à gauche parce que je préfère écrire un changement de base de la forme $^{t}\overline{P}AP$ plutôt que $^{t}PA\overline{P}$.
  • Au début de mon enseignement en Spé ,c'était semi-linéarité à droite dans le programme . Une année ,je ne sais plus exactement quand , c'est devenu semi-linéarité à gauche .On s'est adaptés et j'ai préferé la nouvelle définition très vite .
  • Si l'on te prévient, c'est déjà ça ! Imagine que d'une année sur l'autre, on ait fait comme si c'était toujours pareil que l'année dernière... mais de façon inversée ! Eh bien c'est ainsi que ça se passe avec les définitions incohérentes ! L'idéal aurait sans doute (et ça a peut-être été le cas ?) de dire dès la première année : "Ici on convient que la semi-linéarité est à droite, mais dans d'autres cours/livres/écrits de concours/universités/pays/univers parallèles, on peut adopter la convention inverse. Il faut donc comprendre avant tout l'idée sous-jacente, ensuite s'entraîner suffisamment pour être à l'aise avec une convention, et enfin (si on a encore le temps :-D), essayer de tout changer pour voir si l'on si retrouve toujours..."


    Je confirme que Bourbaki n'est pas très clair sur les distinctions entre application et fonction. Il confond un peu les deux, mais sans définir l'une des deux de façon très explicite pour autant et semble donner un subtil sens différent aux deux termes. Plus précisément, pour lui la différence résiderait dans le fait qu'une application est définie indirectement par un triplet en donnant son ensemble de départ (donc son ensemble de définition s'agissant d'une application) et son ensemble d'arrivée. Plus précisément, il définit ce qu'est "une application de A dans B", alors que la fonction est définie par rapport à un graphe de relation...

    Le problème avec Bourbaki (mais on voit cela dans bien d'autres livres) est qu'il ne délimite pas toujours les définitions ou les résultats qu'il énonce, par un classique retour à la ligne suivi du mot adéquat ("Définition : " ou "Théorème : "), de l'énoncé auto-suffisant de ce qui est défini ou affirmé, avant de revenir à la ligne de façon distincte pour faire comprendre qu'on continue...


    Concernant les corps, c'est très connu comme problème il me semble, et également déjà discuté aussi sur ce forum et d'autres à maintes reprises. Et pour ce qui est des "abus de notation", ça ne rentre pas dans le cadre que j'ai fixé... (Mais merci quand même pour la proposition ;-).)

    Changeons de domaine un peu : comment définissez-vous les "coefficients de Fourier" ?
  • Pour les coefficients de Fourier, à part la gueguerre entre coefficients réels et coefficients complexes (les premiers n'intéressant que les profs de prépa je pense), il n'y a pas d’ambiguïté de définition. Si $f$ est $T$-périodique, alors si on veut une décomposition de la forme $$f(x) \sim \sum_{n \in \mathbb Z} c_n(f) e^{in x},$$ la seule bonne définition est $$c_n(f) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i \frac{2\pi n x}{T}} \,\mathrm{d}x.$$
  • J’ai toujours entendu la petite musique « bon, parfois la notation est plutôt ça, parfois on ajoute ça comme hypothèse, parfois patati patata ».
    A l’époque, je n’entendais pas ce discours mais il rentrait quand même dans ma tête puisque je m’en rappelle.

    L’important a été dit : on dit explicitement en préambule de quoi on parle.

    Tiens, il me vient le truc suivant : en théorie des nombres, $p$ est un nombre premier (je pense aux indices dans les sommes ou les produits).
    Ça aussi, si on n’est pas au courant, tout devient vite n’importe quoi.
    C'est une convention proposée au début d’un bouquin ou d’un cours et même sur ce forum, au début d’un message.

    C’est ici que j’ai appris cela d’ailleurs en me rappelant l’avoir entendu pour un exercice, jadis.
  • Travaillant en théorie analytique des nombres, ça va tellement de soi pour moi qu'une indexation sur $p$ désigne une indexation sur les nombres premiers. :-D Mais je comprends que ça puisse choquer lorsqu'on ne fréquente pas ce milieu.
  • C'est plutôt sur la transformation de Fourier qu'il y a débat, et pour le coup il n'y a aucune définition vraiment satisfaisante, on finit toujours par avoir des constantes pas agréable dans une des formules (inversion, Plancherel, dérivation, etc.).
  • Exact. Pour la formule sommatoire de Poisson aussi, ce qui est assez fatiguant.
  • Ah oui ? Vous n'avez jamais vu des cours où l'on omettait la période et où l'on disait de la rajouter devant les coefficients pour obtenir la série ? Ou bien où l'on prend 1/2 pour le premier terme $a_0$ pour "faire comme les autres", et qu'ensuite on s'en débarrasse en multipliant par 2 dans la somme ?
  • curiosity a écrit:
    Vous n'avez jamais vu des cours où l'on omettait la période et où l'on disait de la rajouter devant les coefficients pour obtenir la série ?

    Pas compris.
    curiosity a écrit:
    Ou bien où l'on prend 1/2 pour le premier terme a0 pour "faire comme les autres", et qu'ensuite on s'en débarrasse en multipliant par 2 dans la somme ?

    Même ressort que la distinction entre coefficients réels et complexes, tout au plus une manie de prof de prépa.
  • Euh... c'est évacuer la question d'une façon un peu rapide ! Si des profs ont cette manie, c'est qu'ils l'ont apprise quelque part, tu ne crois pas ;-) ?
    C'est vrai aussi que je n'ai pas de référence de livre, et je n'ai pas travaillé ce chapitre depuis un bail, mais si j'ai le temps, je jetterai un œil prochainement.

    Par contre, pourriez-vous en dire un peu plus sur ce qui vous a posé problème dans le domaine (en référence aux messages ci-dessus) ?
  • Voici trois définitions de la transformée de Fourier d'une fonction $f \in L^1(\mathbb R)$ :

    $$x \mapsto \int_{\mathbb R} f(t) e^{-ixt} \,\mathrm{d}t,$$ $$x \mapsto \int_{\mathbb R} f(t) e^{-2i\pi x t} \,\mathrm{d}t$$ et $$x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} f(t) e^{-i x t} \,\mathrm{d}t.$$

    La première est telle que la transformée de Fourier est une isométrie de $L^2(\mathbb R)$ dans lui-même (théorème de Plancherel).

    La deuxième est telle que la formule sommatoire de Poisson prend la forme facile à retenir $$\sum_{n \in \mathbb Z} f(n) = \sum_{n \in \mathbb Z} \hat{f}(n).$$

    La troisième a l'avantage que la formule d'inversion ne fait pas intervenir de constante.
  • Merci, c'est intéressant ! Il vaut mieux bien définir ce que l'on entend par transformée de Fourier quand on l'utilise, donc...

    Pour ce qui est des coefficients de Fourier, l'article de Wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_de_Fourier renvoie à deux livres (*) qui utilisent effectivement les deux "définitions" : $a_0$ ou $a_0/2$ en quelque sorte. Je ne pense pas du tout que ce soit "anecdotique".

    (*) Analyse et algèbre: cours de mathématiques de deuxième année avec exercices ... de Stéphane Balac et Laurent Chupin (INSA) ; Analyse PC de Daniel Guinin, Bernard Joppin (Bréal).

    Allons-y pour du plus croustillant encore ;-).

    Quelle est votre énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass ? Du théorème de Borel-Lebesgue ?
  • Bonjour,
    Poirot : C'est plutôt la troisième définition de la transformée de Fourier qui donne une isométrie de $L^2$. Bref, c'est compliqué... ^^

    Pour moi, théorème de Bolzano-Weierstrass est "toute suite réelle ou complexe bornée possède une valeur d'adhérence". Corollaire : les compacts de $\Bbb R$ sont exactement les fermés bornés. Inverser le corollaire et le théorème n'est pas très grave, ces énoncés étant équivalents.

    Je ne suis pas sûr pas de ce que désigne le théorème de Borel-Lebesgue. Peut-être "de tout recouvrement de $[0,1]$ par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini".
  • Bonjour.

    Pour les $a_0$ et $\frac{a_0} 2$; ce n'est qu'une question de notation, et n'importe comment, passé bac+2, on travaille systématiquement avec les coefficients complexes, donc avec $c_0$. Bien entendu les formules de calcul sont différentes suivant la notation, ainsi que l'interprétation. Donc ce n'est pas anecdotique pour celui qui apprend, ça l'est pour les utilisateurs confirmés. C'est la même chose avec les équations de droites notées y=ax+b en France et y=A+Bx dans d'autres pays. "C'est quoi a(A) ?". On est au niveau chocolatine vs pain au chocolat.

    Cordialement.
  • J’ai encore en tête le théorème donné à Jussieu, en DEUG MIAS dans un des groupes :
    « De toutes suites bornées, on peut extraire une sous-suite convergente ».

    Remarque : on parlait de suites réelles, là.

    Je m’aperçois le manque de quantificateur et le « on peut » qui n’est pas la meilleure chose à utiliser.
    Par contre, quel était l’axiome phare utilisé dans la preuve ? je ne m’en souviens pas...
  • "On est au niveau chocolatine vs pain au chocolat."
    Tu n'imagines pas le nombre de candidats qui ont cru acheter un pain au chocolat et ont acheté une chocolatine dans les concours, ce qui leur a fait perdre du temps, et surtout des points donc des places et de possibles admissibilités/admissions dans des écoles d'ingénieurs (:P) !

    Mais bon, comme je le disais à un autre intervenant, c'est toujours "négligeable" ou "pacotille" ou "discussions de bas niveau" quand on n'est pas/plus concerné...
  • Une fois j’ai composé en croyant que « norme multiplicative » voulait dire $||A\times B||=||A||.||B||$ et évidemment ça ne marchait pas très bien... mais là c’était lié à mon ignorance.

    Je lis parfois « sous-multiplicative » au lieu de « multiplicative » qui m’apparaît plus ”intuitif”.
  • "Remarque : on parlait de suites réelles, là."

    Oui ! C'est un des problèmes de l'exposition de la topologie : on commence par IR, puis on fait un peu d'e.v.n. ou de métrique, ensuite de la topologie générale, et à chaque fois, on a un énoncé différent, qui est équivalent dans certaines conditions à d'autres plus restrictifs, mais qui ne se généralise pas forcément tout le temps. C'est ce que je voulais pointer...
    C'est pour ça que c'est intéressant (enfin... quand on n'a rien d'autre à faire parce qu'on n'est pas abonné à Netflix, on est d'accord ;-)) de demander aux intervenants ce qu'ils ont appris sous le nom "théorème de machin-chose ou truc-bidule".

    Pour les normes sous-multiplicatives, c'est prévu, j'ai une question là-dessus, ne brûlons pas les étapes :-) !
  • Je ne vois pas ce que l'on peut trouver à redire à l'énoncé :
    « De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente ».
  • Bonsoir tout le monde,

    @GaBuZoMeu : Je te cite : "Il y a maintenant un consensus quasi unanime pour dire qu'un anneau a un élément neutre pour sa multiplication (et puisque cet élément neutre fait partie de la structure, on demande bien sûr qu'il soit préservé par homomorphisme d'anneaux !)." Il me semble indispensable que tu expliques pourquoi l'on en est arrivé à ce fameux "consensus quasi-unanime". Serait-ce le même qui a fait considérablement progresser la Mathématique au point de passer des "corps gauches" aux "anneaux à division" ? Il est vrai que le célébrissime théorème "tout corps gauche fini est commutatif" était vraiment problématique, notamment du côté agrégatif, me semble-t-il.

    Pour ton questionnement sur ce "sesqui-" , je peux t'apporter une réponse, à condition de te montrer plus clair.

    Bien cordialement,

    Thierry
  • Chaurien :
    Il existe beaucoup d’énoncés avec « on peut » qui sont très malheureux.
    Ce « on peut » cache un quantificateur « il existe » dans le langage mathématique.
    Le « on peut » se mélange au « on peut » du langage courant. C’est un « mélange des langages » et cela peut créer des confusions.
    Je ne déposerais pas cette formulation dans un cours. Je formulerais plutôt « quelle que soit la suite ... il existe une sous-suite... ».
    Par contre, à l’oral ou en remarque, ce n’est pas gênant de mon point de vue.

    Un exemple de 6e :
    J’ai déjà vu ça dans un cours : « Un nombre décimal est un nombre que l’on peut écrire en écriture décimale. »
    Je ne dis pas que c’est le meilleur exemple...
  • Edit : ceci est une réponse à T.P.

    Pourquoi indispensable d'expliquer ? Je constate, c'est tout. C'est sans doute que ça semble raisonnable à une très grande majorité de matheux, dont je fais partie. Donc tout est pour le mieux. Que par ailleurs on prenne la peine d'expliquer que dans certains ouvrages plus ou moins anciens on définit les anneaux sans élément neutre de la multiplication, très bien.

    Ce qui était problématique pour l'agrégation, c'était plutôt qu'un candidat fasse tout un plan sur les propriétés des corps et propose en développement que "tout corps fini est commutatif" sans se rendre compte qu'il avait utilisé dans son plan qu'un corps est nécessairement commutatif, si on veut par exemple les belles propriétés de l'anneau de polynômes décrites dans le plan.
    Wedderburn d'ailleurs parlait d'algèbres à division, et Steinitz, fondateur de la théorie axiomatique des corps, demandait bien la commutativité de la multiplication. Que la multiplication des corps soit commutative n'a donc vraiment rien d'une révolution.

    Pour la sesquilinéarité, apporte une réponse si tu veux, personne ne te force. Moi, je penche à gauche pour le demi, essentiellement pour la raison évoquée par b.b..
  • Pour moi l'explication pour les anneaux et les corps est très simple: c'est parce que c'est la situation la plus courante donc on ne veut pas s'embêter avec une terminologie qui inclut des cas généraux qu'on passe sa vie à exclure...

    Pour les corps c'est vraiment clair. Dans l'immense majorité des mathématiques, on utilise des corps commutatifs, en analyse on utilise $\R$ et $\C$, en théorie des nombres on va également utiliser les corps finis $\mathbf F_q$ et $\Q$, dans beaucoup de branches de l'algèbre on va également utiliser ces corps ainsi que plein de corps $\K(x)$ et compagnie (avec $\K$ corps commutatif bien sûr)... Bref pour tomber sur un corps non commutatif, il faut vraiment le vouloir, ce sont vraiment des cas particuliers par rapport à l'immense majorité des cas où les corps sont commutatifs, c'est logique que la terminologie le reflète.

    Pour les anneaux, c'est la même chose, la plupart des anneaux rencontrés en algèbre sont des anneaux unitaires, les anneaux non unitaires sont plutôt l'exception que la règle. C'est un peu moins vrai en analyse où les anneaux non unitaires sont assez courants (typiquement n$\mathcal C^0_{\to 0}(\R)$ l'anneau des fonctions continues nulles à l'infini, l'espace de Schwartz, $L^1(\R)$ avec la convolution...) mais comme on utilise finalement assez peu ces structures en tant que telles...

    Je précise avant de lancer les polémiques, je ne suis pas en train de dire que les corps non commutatifs ou les anneaux non unitaires sont inutiles ou pas importants, je dis juste qu'ils sont minoritaires par rapport au reste dans beaucoup de domaine des maths, c'est normal que la terminologie finisse par représenter cet état de fait.
  • @GaBuZoMeu : Je te remercie pour ta réponse claire. J'y reviendrai plus tard.

    Voici la définition bourbakiste d'une application sesquilinéaire, où l'on remarque que $\mathrm{F}$ est un $\mathbf{B}$-module à gauche (là, je vais me coucher !) :102758
    as.PNG 29.3K
  • C'est très précisément les pages que je suis en train d'éplucher en ce moment !
    J'ai même cru voir quelques erreurs – plutôt style typo/notation, quand on s'est un peu emmêlé les pinceaux et qu'on n'a pas fait relire sa prose ! – page suivante, définition 5 et paragraphe qui suit. Mais je vais encore me laisser encore un peu de temps avant de déclarer ici ou là qu'il y a des erreurs dans Bourbaki :-D (même si je crois en avoir déjà trouvé une dans le livre de topologie d'ailleurs).
  • http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,2013210,2014330#msg-2014330
    Je suis d'accord avec Dom pour critiquer le "on peut". Quand on a déjà rencontré cette expression et/ou qu'on connaît déjà le résultat mathématique énoncé, sa signification est évidente. Mais quand on n'a jamais entendu ce "on peut" et qu'il faut deviner son sens en même temps que celui du théorème énoncé, il est possible qu'on soit un peu confus. Donc ce "on peut" permet des reformulations sans lourdeur quand le théorème est déjà connu, mais il vaut mieux donner un énoncé propre la première fois.
    Dans le même genre, j'avais un exercice à faire en début de spé avec "lorsque" que je n'ai pas compris. C'était quelque chose comme "montrer que A est vrai lorsque B est vrai". Je ne savais si c'était une implication ou une équivalence. Qu'est-ce que vous comprenez, vous ?

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,2013210,2014358#msg-2014358 (tu)
  • Curiosity,

    "Tu n'imagines pas le nombre de candidats qui ont cru acheter un pain au chocolat et ont acheté une chocolatine dans les concours".
    C'est bien pour cela que les concours dont le programme est peu détaillé donnent des indications de signification des notations au début. Tu n'imagines pas le nombre de candidats qui ont cru gagner du temps en ne les lisant pas ...

    Et les maths, ce n'est pas les concours. D'ailleurs, dans la préparation des concours, apprendre qu'il y a des définitions différentes, des notations diverses, ... fait partie de la préparation. Je suis souvent un peu effrayé du peu de connaissances de l'histoire de leur discipline des candidats à des concours.

    Cordialement.
  • Calli,

    en français, "lorsque" à approximativement le sens de "à chaque fois que". Donc c'est que B implique A.

    Cordialement.
  • Lorsque = Si, en effet.
  • C'était effectivement une implication, mais le fait de placer l'hypothèse avant la conclusion la conclusion avant l'hypothèse m'a perturbé.
    Gérard a écrit:
    "lorsque" a approximativement le sens de "à chaque fois que". Donc c'est que B implique A.

    Le problème réside dans le "approximativement". Après, une fois qu'on est au courant de ce que ça veut dire, ça va.
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