Coefficient binomial

OShine

Bonjour,

Je n'arrive pas à simplifier $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}$ pour $i \in [|2,p|]$ et $j \in [|1,p|]$

J'ai écrit $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}= \dfrac{(n+i-1)!}{(n+i-j)! (j-1)!} - \dfrac{(n+i-2)!}{(n+i-j-1)! (j-1)!}$

Et après je sèche.

YvesM

Bonjour,

$C_a^b-C_a^{b-1}$ ne se simplifie pas. Avec une addition au lieu d’une différence, on peut simplifier.

Pareil pour $C_a^b-C_{a-1}^b$.

Philippe Malot

Bonsoir YvesM,

Je me demande si tu n'as pas inversé les notations : $\binom nk=C^k_n$.

OShine

Voici l'énoncé

gerard0

Cours de quatrième : Somme ou différence de fractions = réduction au même dénominateur.

OShine

Je ne trouve pas de simplification en mettant au même dénominateur, j'ai une soustraction de factorielles.

jandri

On peut aussi utiliser la formule de Pascal : $${n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}$$

[Utilisateur supprimé]

Tu sais que les factorielles sont des produits, et donc que tu peux en réalité les factoriser par leurs facteurs communs ?!
Ne dis pas que tu ne sais pas quoi écrire en partant de ça, je ne te croirais pas !

$$\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}=\frac{(n+i-1)!-(n+i-j) \cdot (n+i-2)!}{(j-1)!(n+i-j)!}$$

@jandri : Oui, mais soit on la connait parce qu'on sait faire le calcul (auquel cas, on peut faire le calcul), soit on sait la démontrer en raisonnant de façon combinatoire (ce qui est plus difficile, à mon avis). Et même dans le dernier des cas, on doit pouvoir la retrouver par le calcul.

Rescassol

Bonsoir,

OShine a écrit:

Je ne trouve pas de simplification en mettant au même dénominateur, j'ai une soustraction de factorielles.

Il y a des factorielles divisibles par d'autres, donc ça se factorise.

Cordialement,

Rescassol

OShine

Bien vu Jandri !

Polka si je sais, je ne suis pas nul en calcul, je ne peux pas être mauvais partout (:P)

$(n+i-1)!-(n+i-j)(n+i-2)! = (n+i-2)! (j-1)$

Or $\dfrac{j-1}{(j-1)!} = \dfrac{1}{(j-2)!}$ ce qui donne le résultat.

[Utilisateur supprimé]

Qu'est-ce qui t'empêchait décrire ça depuis ton tout premier post ?

OShine

Je ne pensais pas que ça se simplifierait.

Homo Topi

Ben, fallait essayer au lieu de croire que ça ne marche pas. Si on te pose une question dans un exercice, c'est rare que la réponse soit "on ne peut pas répondre à cette question".

OShine

J'ai encore un souci de compréhension je ne comprends pas pourquoi $\Delta_{n,1}=1$ je n'arrive pas à visualiser $\Delta_{n1}$

[Utilisateur supprimé]

Au fait, petit exercice annexe: sais-tu retrouver la relation de Pascal (cf messages plus haut) sans calculs, mais avec un raisonnement combinatoire ?

Quant à ta question (j'imagine que tu as fait des combinaisons linéaires des lignes $L_{i} \leftarrow L_{i}-L_{1}$ et utilisé la formule de Pascal), par convention (enfin, je le comprends comme la façon de choisir zéro éléments parmi n) on a $\binom{n}{0}=1$. Ce qui est d'ailleurs compatible avec la formule des factorielles.

Homo Topi

On te donne la forme de $\Delta_{n,p}$, écris ce déterminant quand $p=1$.

OShine

Je ne vois pas qui est le déterminant quand $p=1$ :-(

Polka j'ai déjà lu la preuve dans mon ancien livre mais j'ai du mal avec la combinatoire. Je vais retravailler ça.

Math Coss

Pas si dur à écrire : $\Delta_{n,1}=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}$. Reste à calculer.

OShine

Math Coss vous avez de l'humour :-D

Merci.