Comprendre la logique des mathématiques

Amathoué

Tes calculs sont faux.

Remarque tout simplement que $\overline{AB+ \overline{A} \space \overline {B}}=\overline{A}B+A\overline {B}$.
Ensuite tu distribues correctement avec $C$ ou $\overline{C}$ suivant le cas.
Bon courage.

christophe c

Je souhaite juste présenter des excuses pour ma tendance à l'absence actuelle, j'ai pété un câble, loué une voiture à crédit et me suis barré de Paris pour aller me réfugier en cambrousse (Cantal).

De mon téléphone j'arrive parfois à capter, mais c'est rare, je suis ce que tu fais OShine, mais vue la rareté de connexion pour moi, je réagirai "en un seul post" bien réfléchi ultérieurement. Merci à tous pour l'aide apportée.

Alexique

@Amathoué : oui, bien sûr, c'est corrigé. Inattention à force de remodifier mon message.
@Oshine : C'est le moment où tu nous montres que tu es en fort en calcul, comme tu dis...

OShine

Christophe bon courage.

gebrane

Pourquoi les logiciens n' adoptent les notations des electroniciens car plus simple à écrire et à
manier!

gai requin

Salut gebrane,

Amathoué fait du calcul booléen initié par le mathématicien George Boole !
Ouf ! :-)

gebrane

Gai Requin Je trouve les notations avec + , × ...plus simples que v .... des logiciens

christophe c

@gebrane et GR, il y a des raisons de fond mais ils utilisent AUSSI Boole, faut pas dire jamais.

Les raisons de fond sont la polarité *** pour laquelle le signe $ \iff $ pose de GROS PROBLEMES.

*** $\to$ est décroissante à gauche et croissante à droite, $et, ou$ sont croissantes partout, etc. Si $P(x,y)$ est une tautologie, l'occurrence de $x$ étant négative, on peut remplacer $x$ par $faux$ les yeux fermés. Ca (ces monotonies) rend de nombreux services et clarifie les choses.

christophe c

@ OShine

Un grand bravo d'encouragement pour http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2029486#msg-2029486

Une fois de plus, je constate que quand tu es sûr, ça se voit dans ta typographie.

Je t'invite donc une fois de plus à ne pas "poster" trop des choses à la suite desquelles tu dis "j'ai écrit ça, mais bof".

On en est tous là!!!!! Mais tu as l'air d'attribuer beaucoup trop de valeur "de sortie" à des "idées non certaines". Je te le decommande. Il y a un gain réel à accepter la très grande différence entre un "je vais vous prouver ça, regardez ma preuve et applaudissez" et un "voyez ma sphère privée, je n'ai rien à cacher, ok, ok, je n'ai rien prouvé"


Si tu produis trop de choses de la seconde espèce tu contribues à rapprocher ces deux démarches alors que mes propositions présentes dans ce fil sont de t'adier à en éradiquer une et encenser l'autre.

Je continue de te suivre de mon téléphone, même si je ne peux pas poaster souvent.

OShine

D'accord merci. Je m'attaque au 13.
Ce passage est faux donc je l'ai mis en vert. Ma solution finale est ci-dessous.

Montrons que $f : x \mapsto \dfrac{1}{3+x^2}$ n'est pas polynomiale.
Supposons par l'absurde que $f$ est polynomiale. Alors $\exists n \in \N \ \exists (a_0 , \cdots a_n) \in \R^{n+1} \ \forall x \in \R \ f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k$
Ce qui donne $\forall x \in \R \ (3+x^2) \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (3x^k+x^{k+2})=1$
Par unicité des coefficients d'un polynôme, on obtient $a_0= \dfrac{1}{3}$ et $\forall k \in [|1,n |] \ a_k =0$
Ce qui signifie que $f$ est la fonction constante égale à $ \dfrac{1}{3}$ ce qui est absurde. En effet, $f(1) = \dfrac{1}{4}$

gebrane

Tu as affirmé rapidement que $\forall k \in [|1,n |], \ a_k =0$
Si tu fais attention, tu verras que $a_2=-1/9$.

OShine

Merci je corrige mon erreur, en fait c'est plus difficile que ce que je pensais. La somme est assez technique.

OShine

Exercice 13 :
Montrons que $f : x \mapsto \dfrac{1}{3+x^2}$ n'est pas polynomiale.
Supposons par l'absurde que $f$ est polynomiale. Alors $\exists n \in \N, \ \exists (a_0 , \ldots, a_n) \in \R^{n+1} ,\ \forall x \in \R, \ f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k$
Ce qui donne $\forall x \in \R ,\ (3+x^2) \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n 3a_k x^k + \sum_{k=0}^n a_k x^{k+2} =1$
Posons le changement d'indice $j=k+2$ dans la seconde somme, on obtient :
$\forall x \in \R, \ \displaystyle\sum_{k=0}^n 3a_k x^k + \sum_{k=2}^{n+2} a_{k-2} x^k =1$
Soit $\forall x \in \R ,\ 3a_0 + 3a_1 x + \displaystyle\sum_{k=2}^n ( 3a_k+a_{k-2}) x^k+ a_{n-1} x^{n+1} +a_n x^{n+2}=1.$
Par unicité des coefficients d'un polynôme, on obtient $a_0= \dfrac{1}{3}$ , $a_1=0$, $a_{n-1}=0$ , $a_{n}=0$ et :
$3a_2+a_0=1$ donc $a_2=\dfrac{2}{9}$ et $\forall x \in [|3,n|], \ a_k=0$.
Donc $\forall x \in \R, \ f(x)=\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{9} x^2$.
Comme $f(1)=\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{9} =\dfrac{5}{9} $ c'est absurde car $f(1)=\dfrac{1}{4}$

gai requin

@OShine : Quels sont les inversibles de $\mathbb R[X]$ ?

Alexique

@Oshine : Toujours pas ! $3a_4=-a_2 \neq 0$ donc $a_4 \neq 0$. C'est des suites donc de l'analyse, le truc où t'es fort !
Limites ou degré... Plein de moyens plus rapides mais qui ne reposent pas uniquement sur la définition donc plus rapides mais plus avancés aussi.
Et tu n'as pas fini l'exo de logique (calculatoire).

christophe c

OShine, je te félicite. Je viens de prendre (trop peu) de temps pour lire tes 5 derniers posts, et manifestement, tu postes comme un matheux relativement habituel de plus en plus je trouve.

Bien entendu, il reste ce côté "sphère privée" postée (ie phase de recherche et posts imparfaits), mais tu s l'excuse que les autres participent, ce qui peut t'encourager à la publication de cette sphère privée.

Tu es DEDUCTIF, ce qui me semble important, ie on voit assez bien ce que tu admiets (même quand c'est faux) et ce que tu justifies.

C'est l'essentiel

Quand j'ai lu ton passage vert sur les polynômes, moi-même ai parfaitement bien vu que tu admettais un truc (qui s'est avéré faux), et donc c'est une communication normale (je n'ai pas pris le temps de voir si c'est faux ou pas, j'ai juste vu sans aucun effort que tu l'admettais et les autres ont pu te dire sans souci que c'est faux).

C'est ça l'important, tu sembles être mieux entré dans les maths et le côté "temps long" que tu croyais pouvoir esquiver.

Concernant le petit exo de logique sur $\iff$, je te donne une indication:

1/ Produis un discours solide que tu vas te ramener à des calculs dans $\Z/2\Z$ AVANT TOUT.

2/ Plie ensuite sobrement l'affaire dans $\Z/2\Z$

Merci à tous les participants!!!

Concernant les polynômes et $1/(3+x^2)$, vus tes progrès dans l'échange, tu peux te servir "exceptionnellement" d'un argument évoquant les limites si tu veux (ou mieux, les dérivées, soyons fou), ça permettra de travailler les rédactions de preuves COURTES, mais reste prudent quant à l'utilisation de Kalachnikov pour tuer les mouches.

Et pardon pour une coquille qui semble avoir été détectée, je ne suis pas encore retournée sur les énoncés, je vais y aller.

OShine

Alexique j'ai abandonné car je ne maîtrise pas les règles de de Morgan.

Gai Requin, les inversibles de $\R[X]$ sont les polynômes constants non nuls. Ce qui conclut la question en 1 ligne car :
s'il existe $P \in\R[X]$ tel que $\forall x \in \R, \ \dfrac{1}{3+x^2} = P(x)$ alors $\forall x \in \R ,\ (3+x^2) P(x)=1$ ce qui voudrait dire que l'inverse de $P$ est la fonction $x \mapsto 3+x^2$ ce qui est absurde car c'est la fonction polynomiale d'un polynôme non constant.

En utilisant les limites, $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{3+x^2} =\lim\limits_{x \rightarrow 0} P(x) =P(0).$
Je ne vois pas où les limites mènent mais bon.

Avec les degrés. Supposons que $\deg P=n$ avec $n \geq 0$ entier naturel.
Notons $Q(X)=3+X^2$. On a $\deg(1)=0= \deg(Q) + \deg(P)= 2+n$ ce qui impliquerait $n=-2$ ce qui est absurde.

gai requin

Quelle sont les limites possibles d'un polynôme en $+\infty$ ?

OShine

Si le polynôme n'est pas constant c'est soit $+ \infty$ soit $- \infty$, cela dépend du signe du coefficient dominant.

Si le polynôme est constant, la limite est lui-même.

Alexique

@Oshine : Heu comment ça tu ne maîtrises par les lois de Morgan ? C'est juste deux formules que je t'ai rappelées... La négation logique n'a rien à voir avec la conjugaison complexe mais tu sembles persuadé que si..

Et les limites c'est seulement en un réel fini ? Allez là, il te reste 10 jours et t'a toujours 0 idées sur des exos de Première quoi. Tu sais pas identifier des coefficients de polynômes égaux, c'est quand même inquiétant.

OShine

Je vais réfléchir à la méthode de Christophe avec Z/2Z. Je n'ai pas envie d'utiliser les lois de la logique.

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{3+x^2} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} P(x)=0$ Donc $P$ serait le polynôme nul, ce qui est absurde car $\forall x \in \R \ \dfrac{1}{3+x^2} \ne 0$

christophe c

@Oshine de mon téléphone : voici trois purs et durs problèmes de rédaction:

Utilisé 3 idées différentes pour le problème ci dessus sur 1/(3+X^2) , en te forçant à

1/ parler des limites pour methode1

2/ parler dérivée pour M2

3/ parler nombres complexes pour M3

Propose DES REDACTIONS SOIGNEES ET DEDUCTIVES. On doit bien voir ce que tu admets. L'avantage est que tu as déjà vaincu l'exo sur le fond.

OShine

D'accord.

Supposons qu'il existe une fonction polynomiale $x \mapsto p(x)$ tel que $\forall x \in \R \ \dfrac{1}{3+x^2}= p(x)$ (1)
Supposons que: $\forall x \in \R \ p(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k$ où $(a_0, \cdots a_n) \in \R^{n+1}$ avec $a_n \ne 0$.

Méthode 1 : utilisation de limites.

On a : $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{3+x^2} = 0 = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k = \pm \infty$

En effet, $p(x) \sim_{+ \infty} a_n x^n $

Ce qui est absurde.

Méthode 2 : utilisation de la dérivation.

$ \forall x \in \R f(x)= \dfrac{1}{3+x^2} \implies f'(x)=\dfrac{-2x}{(3+x^2)^2} \implies f^{(n+1)}(x) \ne 0 $ (le calcul de la dérivée n-ième me semble bien compliqué).

On obtient une contradiction car si on dérive $(n+1)$ fois la fonction polynomiale $p$ de degré $n$, elle s'annule.

Méthode 3 : utilisation des complexes.

Soit $x \in \R$. Alors $3+x^2=0 \Leftrightarrow x^2 = -3 \Leftrightarrow x= \pm i \sqrt{3}$

On peut écrire $ \forall x \in \R \ p(x) (x- i \sqrt{3})(x+ i \sqrt{3}) = 1$

En évaluant en $x= i \sqrt{3}$ on obtient $0=1$ ce qui est absurde.

JLT

Tes trois démonstrations sont soit incomplètes soit erronées. Saurais-tu détecter ce qui ne va pas ?

OShine

La 2 est incomplète mais je ne sais pas calculer la dérivée n-ième.

Pour la méthode 1 ça ne marche pas si $P$ est constant. Mais si $P$ est constant il suffit d'évaluer en 2 valeurs différentes de $x$ pour obtenir une contradiction.

La 3, je ne vois pas d'erreur.

gai requin

Soit $P,Q\in\mathbb C[X]$ tels que, pour tout $x$ réel, $P(x)=Q(x)$.
Montre que $P=Q$.

christophe c

@OShine:

encore une fois, tu es très attiré par le divan du psychanalyste ou par des demandes de forme affectives dans ta rédaction.

Quand tu fais des maths, tu ne DOIS PAS PENSER QUE TU ECRIS A UN HUMAIN qui va te donner des tapes affectives dans le dos en te répondant "oui, je vois ce que tu VEUX dire"

J'ai parlé de rédaction de preuve, pas de maths, et JLT a parfaitement compris tes problèmes et t'a répondu dans ce sans pour M3.

Pour M2, tu n'as pas écrit, tu as attendu qu'on devine qu'aucune dérivées de $x\mapsto 1/(3+x^2)$ n'est nulle est un ADMIS que tu proposes faute de mieux, et bien tu te devais de l'assumer.

Là encore tu te remets dans les "jupons" du forum, alors que tout l'effort que tu dois faire c'est d'en sortir. en proposant des produits finis.

Ta "familiarité amicale" au M3 est terriblement fautive et "typiquement OShinique". Tout le monde sait ici que TU SAIS qu'il n'y a pas de réel $x$ tel que $3+x^2=0$. Il est donc "scandaleux" que tu ne fasses pas l'effort de résoudre vraiment cette difficulté rédactionnalo-logique au M3, et te contente de rédiger avec le sous-entendu "regardez, j'ai compris le fond, je vous laisse me parler de forme" alors qu'on te demande de t'entrainer aux affaires de forme.

christophe c

L'indication que te donne GR est parfaite, MAIS JE N ATTENDS MEME PAS DE TOI ICI que tu prouves ce qu'il te demande de prouver, je te demandais AU MOINS DE L AFFIRMER comme un admis assumé.C'est GR qui le fait à ta place et c'est TON PRINCIPAL PROBLEME.

JLT

Dans ta méthode 3, tu as écrit deux fois "$x\in \R$" et juste après tu prends $x$ complexe non réel.

Alexique

Oshine a écrit:

La 3, je ne vois pas d'erreur.

Oshine a écrit:

Méthode 3 : utilisation des complexes.
Soit $x \in \R$. [..] $x= \pm i \sqrt{3}$
On peut écrire $ \forall x \in \R$ [...]
En évaluant en $x= i \sqrt{3}$ ...

Essaye d'écrire ça la semaine prochaine alors.

Oshine a écrit:

Je n'ai pas envie d'utiliser les lois de la logique.

Oui, on a remarqué depuis le temps.

N'empêche, tu nous fais une réponse correcte sur le polynôme puis quand on insiste pour avoir une rédaction soignée, y'a rien qui va. Tu t'enfonces tout seul dès qu'on creuse.

OShine

Gai Requin

Soit $P,Q \in \C[X]$ tel que pour tout $x \in \R \ P(x)=Q(x) \implies (P-Q)(x)=0$ donc que $P-Q$ admet une infinité de racines soit $P-Q=0$ et donc $P=Q$.
Mais je ne vois pas à quoi ça peut me servir dans cet exercice.

JLT
Oui je viens de voir que c'est n'importe quoi mon $x \in \R$.

Christophe
D'accord c'est vrai que j'ai des erreurs et j'aurais pas du écrire de résultat sans savoir le démontrer.

gai requin

Et bien s'il existe $P\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x$ réel, $(x^2+3)P(x)=1$, on a également, pour tout $z$ complexe, $(z^2+3)P(z)=1$.

christophe c

De mon téléphone je ne t'ai pas dit ça en priorité. ICI PONCTUELLEMENT je t'ai dit que MEME QUAND TU NE LE DEMONTRES PAS et que tu l'utilises juste AU MOINS IL DOIT APPARAITRE comme "admis d'une main ferme".

Pas glissé "en catimini". Observe les éléments du puzzle apportés par GR et JLT et REREDIGE M3 complètement !!!

OShine

Gai requin je n'ai pas compris la subtilité du problème avec $\R[X]$ et $\C[X]$

gai requin

C'est le théorème de prolongement que tu as démontré qui te permet de remplacer $x$ par une racine complexe de $X^2+3$...

OShine

Ok merci c'est subtil.

gai requin

@OShine : Pour la méthode 2 (dérivation), on peut s'en sortir sans trop de calculs en développant en série entière $\dfrac 1{3+x^2}$ dans un certain voisinage de $0$.

christophe c

@GR et OS: il y a bcp plus simple, sinon, je ne l'aurais pas proposé. Mais il faut dériver $x\mapsto (3+x^2)P$.

OShine

Bonjour,
Je n'ai pas encore revu de cours sur les séries entières mais je suis à l'aise en calcul de séries et sommes donc j'essaierai.

OShine

Voici mon avancement avec l'indiction de Gai Requin et des vagues restes de cours sur les séries entières.

Soit $D(0,1)$ le disque ouvert de centre $0$ et de rayon $1$.
Soit $n \in \N^{*}$

$\forall x \in D(0,1)$ on a $\dfrac{1}{1+x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} (-1)^n x^n$

Donc $\forall x \in D(0,1) \ \ \dfrac{1}{1+3x^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} (-1)^n (3x^2)^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} (-3)^n x^{2n} $

Or $\dfrac{d^{n}}{dx} (x^{2n}) = 2n(2n-1) \cdots (2n-n+1) x^{2n-n}= 2n(2n-1) \cdots (n+1) = \dfrac{(2n)!}{n!}x^n$

On peut dériver terme à terme une série sur son disque ouvert de convergence donc : $\forall x \in D(0,1) \ \ \dfrac{d^{n}}{dx} (\dfrac{1}{1+3x^2}) = \boxed{\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} (-3)^n \dfrac{(2n)!}{n!} x^n=1+ \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} (-3)^n \dfrac{(2n)!}{n!} x^n}$

Or $\dfrac{d^{n}}{dx} (1)=0$

Pour $x=- \dfrac{1}{2} \in D(0,1)$ on a $ \dfrac{d^{n}}{dx} (\dfrac{1}{1+3x^2}) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{(2n)!}{n!}( \dfrac{3}{2})^n =1+ \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{(2n)!}{n!}( \dfrac{3}{2})^n >0$ par somme infinie de termes positifs d'où la contradiction.

gai requin

Tu t'es trompé sur le rayon de convergence de $\sum\limits_{n=0}^{+ \infty} (-3)^n x^{2n}$.
Et il me semble que $f:x\mapsto\dfrac 1{3+x^2}$ et pas $\dfrac 1{1+3x^2}$.
De plus, quand tu as un DSE dans un voisinage $V$ de $0$ d'une fonction $f$ analytique sur $V$, tu disposes immédiatement des $f^{(n)}(0)$ qui vont te permettre de répondre à la question de cc en utilisant de la dérivation.

christophe c

De mon téléphone pour OShine: je mets le numero60 à l'exercice suivant proposé par JLT. Mais je te donne une indication pour le rendre facile.

On a une suite de polynômes convergeant dans IR et uniformément vers f.

Prouve qu'à partir d'un certain rang ils sont tous égaux à une constante près. Deduis en que f est polynomiale.

Passe y au moins 3H pour pondre une rédaction parfaite.

gebrane

cc peux-tu donner des indications sur les exercices 8 et 9 , 18 à 29, 42 à 44, 54 à 59 car je sèche complètement

JLT

Une réponse vide est-elle une réponse correcte à une question vide ?

gebrane

JLT j'ai passé un oral écrit le plus bizarre de ma vie, il n'y avait pas de questions, moi j'ai compris que le prof voulait qu'on résume ce qu'on a compris de son cours, les points les plus remarquables,...
c’était le cours sur la théorie des mesures et intégrations .

puisque cc est quelqu’un de spéciale,il y a une raison qui lui est propre

christophe c

Gebrne quand je serai sur un pc. La je sors d'une tyrolienne.

OShine

J'ai peut être écrit n'importe quoi sur les séries entières mais je n'ai pas relu un cours sur les séries entières depuis 5 ans.

Christophe ok merci j'y réfléchis j'espère ne pas y passer 3 heures quand même je suis en mode roue libre pour arriver frais le jour du capes. Je ne compte pas trop travailler cette dernière semaine.

Mais j'aime l'analyse et les suites donc cet exercice m'intéresse.

OShine

Christophe, je n'ai pas mis 3 heures, mais j'ai galéré quand même j'ai mis 1 heure.

Dire que la suite $(P_n)$ converge uniformément vers $f$ c'est dire que :

$\forall \varepsilon>0 \ \exists N \in \N \forall x \in \R \forall n \geq N \ |P_n(x)-f(x)| \leq \varepsilon$

Donc $\forall x \in \R \forall n \geq N \ \ |P_n(x)-P_N(x)|=|P_n(x)- f(x)+f(x) - P_N(x)| \leq |P_n(x)-f(x)| + |P_N(x) -f(x)| \leq 1+1 =2$

Ainsi pour $n \geq N$, la fonction polynomiale $P_n - P_N$ est bornée. Or, tout polynôme borné est constant. Ainsi, la fonction polynomiale $P_n - P_N$ est constante sur $\R$.

Ainsi, $\forall n \geq N \ \exists k_n \ \forall x \in \R \ P_n(x)-P_N(x)=k_n$ (*)

Pour $x=1$ on obtient $k_n=P_n(1)-P_N(1) \longrightarrow f(1)- P_N(1)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.

Donc la suite $(k_n)$ converge vers un réel $k$.

Par passage à la limite dans (*) on obtient $\boxed{\forall x \in \R \ f(x)=P_N(x)+k}$ ce qui implique que $f$ est polynomiale.

Alexique

@Oshine : somme des termes d'une suite géométrique et limite de $|q|^n$ avec $|q|<1$, c'est 1ère S (c'était ?), je sais pas où tu as vu qu'il fallait un cours de séries entières de spé pour ça...
Pourtant, tu as déjà du mal à appliquer correctement ce résultat : $ \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$.. Tu découvres encore l'eau chaude 1 semaine avant de te noyer dans le bain.
$\sum_{n=0}^{\infty} (-3)^n x^{2n}$ converge pour quels $x$ ?

OShine

Je connais cette formule mais j'ai voulu partir de développement en série entière de $1/(1+x)$

Elle converge pour $|-3x^2| <1$ soit $3 x^2 <1$ c'est-à-dire $x^2 < \dfrac{1}{3}$ donc $ x \in ]- \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}[$