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Comprendre la logique des mathématiques

Bonsoir,

Je souhaite comprendre la logique des mathématiques. Je n'y promets pas d'y passer énormément de temps pour commencer car j'ai le capes à préparer.

[La discussion a été scindée. La deuxième partie de la discussion se trouve ici]

Les énoncés des exercices proposés dans ce fil se trouvent aux adresses suivantes :
Exercices 1 à 6
Exercice 7
Exercices 10 à 17
Exercices 30 à 40
Exercice 41
Exercices 45 à 51
Exercice 52
Exercice 53
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Réponses

  • Tu devrais préciser ta demande parce que "la logique des mathématiques", ça ne veut pas dire grand chose.
    Tu parles de la logique enseignée en L1 (implication, équivalence, ou, et, quantificateurs, ...) ?
    Ou alors tu as ouvert le fil pour répondre à la proposition de christophe c ? Dans ce cas, précise le.
    Ou autre chose (mais quoi) ?
  • C'est pour répondre à la proposition de Christophe c.
  • Très bonne nouvelle!!!!!

    Règle1: ne parle jamais ici de "documents, livres, etc"

    Règle2: ne stresse pas et passe au maximum 30 min sur une question et au minimum 15min. Pas de délai, tu peux répondre dans une semaine par exemple.

    Règle3: écris des démonstrations absolument complètes.

    De mon côté, sache bien que le but ici est de te permettre d'utiliser UN LANGAGE COURAMMENT, et non de te faire acquérir des connaissances. Je vais donc te poser des questions "sans niveau", très inhabituelles, et tu devras produire des preuves IRREFUTABLES et sans étape sautées (excessives). Et ne pas demander d'autre aide que. "J'y ai passé 30 min (ou 22 min, ou 15 min), pas réussi"

    [large]Règle4:[/large] n'hésite surtout pas à produire des preuves que la consigne demande de prouver un truc faux quand il y a lieu. C'est un bon exercice d'indépendance d'esprit, et ça se marie bien avec ma tendance aux coquilles fréquentes malgré mon soin ici augmenté.


    Exercice1: soit $a$ un nombre réel.
    -On suppose que pour tout nombre réel $x$, $[a > 3+x$ ou $x\geq 5]$.
    - Prouver qu'alors $a\geq 8$.

    Exercice2.1 soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$, dérivable sur $\R$, telle que pour tous nombres $x,y: \left|f(x) - f(y) \right| \leq (x-y)^2$. Par ailleurs, on suppose que $f(104) =33$. Prouve que $f(2) = 33$.

    Exercice2.2: soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ telle que pour tous nombres $x,y: \left|f(x) - f(y) \right| \leq (x-y)^2$. Par ailleurs, on suppose que $f(104) =33$. Prouve que $f(2) = 33$. (Difficile)

    Exercice3 : on suppose que pour tous $x,y\in \R: \ [f(x,x) = 0$ et $f(x,y)\in \R]$. De plus on suppose que pour tout $x$, l'application $y\mapsto f(x,y)$ est linéaire, ainsi que l'application $y\mapsto f(y,x)$. Prouve que $f$ est la fonction constante nulle.

    [small]Edit: je viens de modifier (le 04062020) l'exercice3 qui contenait une coquille, car depuis que OShine s'est investi dans l'activité, j'ai pensé que la trouvaille de cette coquille n'était plus une priorité.[/small]

    Exercice4: Soient des nombres $x,y,z,t,u,v$. Prouver qu'il existe $(a,b,c)\neq (0,0,0)$ tels que :

    $$

    \begin{pmatrix}
    a&b&c
    \end{pmatrix}

    \times

    \begin{pmatrix}
    x&y\\
    z&t\\
    u&v
    \end{pmatrix}

    =0 $$

    sans utiliser de connaissances L1 autres que les définitions.

    Exercice5: donne un exemple de couple $(f,x)$ tel que $f'(x) = 2x$ et $f(x) = 8x + 3x^2$

    Exercice6: remplace le point d'interrogation par des opérations numériques pour garantir que :

    $$\forall x,y\ dans\ \R : [(x?y = 5)\iff ((x=0) \ ET \ (y=90))]$$

    Lien vers exercices 52 et 53


    N'hésite pas à commenter les parties LANGAGE qui te stressent
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @christophe c il y a un problème avec les exercices 2.1 et 2.2, la fonction $f:x\mapsto \frac{33}{104^2}x^2$ satisfait les hypothèses mais non la conclusion (plus généralement on a $|f_a(x)-f_a(y)|\leq |x^2-y^2|$ pour tous $x,y$ quand $f_a=t\mapsto at^2$; la bonne condition serait plutôt "$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|^2$ pour tous $x,y\in \R$").
    EDIT: il faudrait aussi quantifier l'exercice 4.


    --- Messages fusionnés ---

    @Christophe et JLT: pour l'exercice 3, je dirais que $x$ et $y$ sont à prendre dans $\R$ et pas dans $\R^9$.

    [Modification effectuée par la modération : la deuxième partie du message est issue d'un autre message et a été ajoutée suite à la séparation de cette discussion en deux]
  • Peut-être faut-il laisser chercher.
    Même en cas d’erreur, c’est encore mieux de mon point de vue dans ce cadre non stressant et libre.
  • Olalaaaaaaa, merci erreur de frappe!!!!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Un grand merci à Foys qui m'a permis de rectifier. J'avais écrit $x^2-y^2$ à la place de $(x-y)^2$

    @dom: vu le contexte, je préfère éviter du stress à OShine !!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Exercice7: on s'intéresse aux suites finies à valeurs dans un ensemble $E$. Etant donné deux suites, $u$ définie sur $\{0;..;n\}$ et $v$ définie sur $\{0;..;p\}$, on appelle $u*v$ la suite $w$ suivante:

    1/ Elle est définie sur $\{0;...; n+p+1\}$

    2/ Pour tout $x\in \{0;..;n\}: w(x) := u(x)$

    3/ Pour tout $x\in \{0;..;p\}: w(n+1+x) := v(x)$

    Prouve que l'opération $*$ est associative.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci à FOYS!

    --- Messages fusionnés ---

    Un grand merci à toi JLT, ainsi qu'à Foys, j'ai dû changer d'avis en tapant entre $\R$ et $\R^9$, par paresse de rajouter des conditions. Ah, je m'en veux!!!! :-X

    Comme suggéré par dom, je vais non pas modifier, mais ajouter une consigne disant à OShine de ne pas hésiter à dénoncer des erreurs avec fermeté. Merci encore!

    [Modification effectuée par la modération : la deuxième partie du message est issue d'un autre message et a été ajoutée suite à la séparation de cette discussion en deux]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Message à cc en blanc sur fond blanc, prière à OShine de ne pas lire.

    Dans l'exercice 3, la fonction f(x,y)=x_1y_2-x_2y_1 n'est-elle pas un contre-exemple ? Ou alors il y a une erreur volontaire ?
  • Un élève de 1èreS peut faire l'exercice 2.2. (éventuellement avec une indication) donc je ne l'aurais pas classé difficile et j'enlèverais 2.1.
    Que sont $f$ et $x$ dans l'exercice 5 ?
  • [small]Christophe :
    Pour clarifier au sujet du "stress" (tellement bénin dans le contexte de ce fil que j'écris en tout petit).
    Je disais que même si un énoncé contient une erreur, c'est encore mieux si le candidat chercheur la trouve lui-même. C'est même encore plus formateur. Et là, ce n'est pas pendant un concours (où il est difficile de dire "c'est faux" à une question).
    Comme c'est ici, sur le forum, avec tout le temps que l'on souhaite, si une erreur se cache quelque part, je pense qu'on s'en fiche puisqu'elle sera dévoilée, un jour...[/small]
  • @dom: oui, j'ai été sensible à ta remarque d'ailleurs, par exemple, j'ai laissé " $\R^9$ "

    @GR, merci, mais l'objectif n'est pas de produire un brouillon d'ado "noté comme à l'école des fans" mais de permettre à OShine de creuser vraiment jusqu'aux détails les plus grammaticaux.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @ gai requin
    Justement $f$ et $x$ sont très exactement n'importe quoi. On peut aussi trouver $f(x)=2x$ et $f'(x)=x^2$ ou n'importe quoi d'analogue qui vous plaira.

    [Modification effectuée par la modération : la deuxième partie de ce message a été déplacée dans cette discussion]
  • Afin de permettre à l'auteur de ce fil d'avoir des réponses en accord avec ce qu'il demande, la discussion a été scindée en deux (voir remarque dans le premier message du fil).
    Il y a quelques imperfections suite à cette manipulation (l'ordre des messages a parfois été modifié, d'autres ont été scindés/fusionnés) mais il me semble que ça reste lisible. N'hésitez pas à me contacter par mp en cas d'erreur manifeste ou de manque de clarté dans certains messages fusionnés.
    Merci de rester dans le sujet et de poursuivre le reste de la discussion ici.
  • OShine ne semble pas profiter de cette opportunité.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci, désolé je n'avais pas vu les messages.
  • Ma résolution de l'exercice 1 :

    Si $\forall x \in \R \ a>-3+x$ alors en partculier pour $x=5$ on a $a>8$ ainsi $a \geq 8$.

    On a montré $\boxed{(\forall x \in \R \ a>3+x) \ \text{OU} (x \geq 5) \implies a \geq 8}$
  • Oulà c'est mal parti.
  • L'exercice 1 est faux car quand $x \geq 5$ il n'y a aucune condition sur $a$ on n'a pas forcément $a \geq 8$
  • "quelque soit x"
  • Regarde ce que tu as encadré. Il n'y a pas quelque chose qui semble bizarre ?
  • Intéressant.
    Tu as mal lu la phrase, qui à mon avis se lisait $\forall x\in \mathbb{R}, \,\, ( a>3+x \text{ ou } x\geq 5)$.
    Mais si tu as un doute, tu peux remarquer que la proposition $(\forall x\in \mathbb{R}, \,\, a>3+x)$ est fausse pour tout $a\in \mathbb{R}$ et surtout que $(x\geq 5)$ ne veut pas dire quand chose si on n'a pas défini $x$ au préalable.


    PS: Je me permets d'intervenir, mais si tu préfères répondre de façon privilégiée à Oshine, n'hésite pas à le dire christophe c ! je ne veux pas polluer ton thread d'aide.
  • J'ai mal compris le positionnement du "pour tout $x$".

    L'implication logique $(\forall x \in \R \ a>3+x \ \text{OU} \ x \geq 5) \implies a \geq 8$ est toujours vérifiée car $(\forall x \in \R \ a>3+x \ \text{OU} \ x \geq 5)$ est une assertion fausse.
  • Raté. Essaye encore.
  • @Polka: ah nan, moi au contraire, je suis HYPERCONTENT quand on travaille à ma place !!!!!

    Merci à vous 2, JLT e toi, par ce jour plein de soleil, d'avoir répondu à OShine.

    @OShine: excellente nouvelle!!!! Mais vraiment EXC-CEL-LEN-TE!

    Tu es un génie. Je te dis pourquoi: vu comment tu m'as l'air de parler la langue mathématique comme une vache espagnole, et vu comment tu nous massacres l'exo1 bien comme il faut, je peux te dire que si tu as réussi à devenir prof de physique, et même si tu réussis à éplucher au moins une demi-page d'un livre de base post-bac en moins d'une semaine, faut vraiment que tu aies d'immenses capacités. Je ne connais personne capable de s'adonner aussi longtemps à lire du chinois sans en strictement parler le moindre mot et faire illusion.

    J'ai modifié la disposition de l'exo1, mais Polka t'avait déjà précisé les choses. Je vais repasser sur le premier post, pour dissiper les ambiguités de parenthèses.

    Concernant tes réponses, au delà d'être n'importe quoi ta réponse manque de détail. Moi, je veux bien t'aider, mais tu dois avoir une réaction complète: comment je la comprends, quel mon degré de certitude, etc. Pas juste aligner des symboles et attendre le tirage du loto.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Une vache espagnole :-D
    Je ne faisais pas illusion en prépa, j'étais bon dernier en MPSI :-( J'ai remonté en MP j'en ai dépassé 5-6 mais c'était pas glorieux.

    Considérons $\forall x \in \R [a>3+x \ \text{OU} \ x \geq 5]$

    Ainsi pour $x=5$ on a l'assertion $ [a>3+5 \ \text{OU} \ x \geq 5$ vraie et donc $a \geq 8$.
  • Considérons $\forall x \in \R [a>3+x \ \text{OU} \ x \geq 5]$

    Ainsi pour $x=5$ on a l'assertion $ [a>3+5 \ \text{OU} \ x \geq 5]$ vraie et donc $a \geq 8$.


    C'est beaucoup plus net, donc on peut te répondre:

    Moi, je ne dirais pas ça, j'aurais plutôt écrit et je pense que c'est ce que tu as voulu dire:

    Ainsi pour $x:=5$ on a l'assertion $ [a>3+5 \ \text{OU} \ 5 \geq 5]$ vraie


    Mais je ne vois pas comment tu fais pour en déduire :
    et donc $a \geq 8$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • OShine :
    L'assertion "$1 > 0$ ou $3=1+2$" est-elle vraie ou fausse ?
    Peux-tu en conclure que "$1>0$" est vraie ?


    Edit : je voulais écrire $1<0$.
  • Je me déconnecte, mais n'hésite pas à poster DES DETAILS. C'était bien ton dernier post, mais il reste à voir si c'est une étourderie ou un problème de fond.

    Je me reconnecterai dans pas très longtemps.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • J'ai oublié d'expliqué en effet. L'implication logique $P \implies Q$ est équivalente à NON(P) OU Q.
    Ainsi comme j'ai prouvé que l'assertion $P$ était toujours vraie, j'ai forcément l'implication vraie.

    Michael
    Elle est vraie on peut seulement en conclure que si ($1>0$ ou $3=1+2$) alors $1>0$.
  • @ Oshine : la quantification $\forall x$ porte sur toute la proposition $ (a > 3 + x$ ou $x >= 5)$

    Pour résoudre cette exercice il faut d'abord comprendre qu'une proposition (A1 ou A2) est vraie si au moins l'une des deux propositions l'est. Ce qui veut dire que si (A1 ou A2) est vraie et que tu démontres que A1 est fausse alors nécessairement A2 est vraie (c'est la même chose si tu échange A2 et A1).
    Deuxièmement il faut aussi comprendre que quand tu particularise la quantification universelle tu peux assigner à x n'importe quelle valeur de R. D'où la question, est-ce que x peut prendre la valeur a^2 par exemple (a ayant préalablement été déclarée) ? Est-ce que x peut prendre la valeur exp (a/5) ? Est-ce que x peut prendre la valeur cos (a) + log 10 ?

    Si tu comprends ces deux points la résolution de l'exercice est très facile.
  • Donc d'après toi, OShine, si $2>5$ ou $4=2+2$ alors $2>5$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Voilà je me suis embourbé dans la logique élémentaire.

    Non bien évidemment Christophe j'ai dit n'importe quoi. C'est si $P$ est fausse que l’implication st vraie.

    Pour moi la relation de l'exercice 1 est fausse.

    Pour $x=0$ on a $(a>3 \ \text{ou} \ 0 \geq 5)$ donc $a>3$ et ceci n'implique pas forcément $a \geq 8$.
  • OShine a écrit:
    Pour moi la relation de l'exercice 1 est fausse.

    Bon, je te le dis, elle est vraie. Mais ton argument pour justifier qu'elle est fausse est le suivant:

    Moi, OShine, je dis que l'hypothèse $a>3+0$ ou $0\geq 5$ ne permet de déduire que $a\geq 8$.

    Je suis d'accord.

    Mais ce n'est pas cette hypothèse-là que fait l'exercice1.

    Il fait l'hypothèse que $\forall x:[a>3+x$ ou $x\geq 5]$.

    Es-tu d'accord que ce n'est pas la même hypothèse?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @ OShine : tu continues à ne pas comprendre. Le point de départ du raisonnement est une hypothese. On cerche à te faire démontrer à partir de cette hypothèse une certaine conclusion portant sur le réel a.

    Tu SUPPOSES l'hypothèse VRAIE et tu appliques les règles de la logique élémentaire pour démontrer la conclusion.

    Si tu ne comprends pas comment s'interprète la disjonction de deux propositions en mathématiques comment veux-tu avancer dans quoi que ce soit ? La disjonction en maths est par définition inclusive (en ce sens elle se différencie de l'utilisation dans le langage commun).

    Si (A ou B) est vraie tu ne pas en déduire que A est vraie
    Si (A ou B) est vraie tu ne pas en déduire que B est vraie.
    La raison je te l'ai déjà donnée mais tu semble ne pas lire ce qu'on te dis.
    Par contre si (A ou B) est vraie et que A est fausse alors B est vraie.
  • Oui je viens de comprendre la nuance, je lis mais je m'embrouille.

    Pour $x=6$ si l'assertion ($a>3+6$ ou $6 \geq 5$) est vraie, comme l'inégalité $6 \geq 5$ est toujours vrai, alors $a > 9$ et ainsi à fortiori $a \geq 8$

    Ainsi l'implication est vraie.
  • Soit je suis milliardaire, soit 1 = 1. Comme 1 = 1 est toujours vrai je suis milliardaire
  • Pas besoin Polka, il suffit de reprendre mon assertion et tu seras automatiquement milliardaire à ton tour !
  • @ OShine: non, non et non. Si l'assertion (a >3+6 ou 6>=5) est vraie et que 6>=5 est vraie TU NE PEUX PAS EN DEDUIRE QUE a>3+6 est vraie. Pourquoi ?

    Comment peut-on te faire rentrer dans ta tête que c'est seulement si l'une des deux propositions est fausse alors l'autre doit être nécessairement vraie ?

    Il faut donc choisir une valeur de x qui rende l'une des deux propositions fausse. Et alors l'autre sera automatiquement vraie. Toute la "difficulté" de l'exercice est dans le choix de x.
  • OShine : pardon, je n'ai pas écrit ce que je voulais ici.
    Je corrige même si d'autres intervenants ont proposé la même idée :
    OShine :
    L'assertion "$1 < 0$ ou $3=1+2$" est-elle vraie ou fausse ?
    Peux-tu en conclure que "$1<0$" est vraie ?
  • L'assertion $1<0$ ou $3=2+1$ est vraie. Je ne peux pas en conclure que $1<0$.

    Pour $x=4$ on a $a>3+4$ ou $4 \geq 5$

    (P OU Q) est vrai si on a P vrai et Q faux, ou P et Q vrai ou P faux et Q vrai.

    Pour $x=1$ on a ($a>4$ ou $1 \geq 5$) qui est une assertion fausse (il suffit de prendre $a=1$). Donc l'implication est vraie.

    Edit de JLT : la deuxième ligne se terminait par $a>3+4$ ou $4$, je suppose que tu avais oublié d'écrire $\geq 5$ à la fin donc je l'ai rajouté. Je ne sais pas si tu voulais écrire quelque chose d'autre en plus.
  • OShine, tu as vraiment un problème avec le statut/la quantification des variables. L'énoncé commence par "soit $a$ un nombre réel". Quand une phrase commence par "soit", c'est que la variable est donnée au départ, tu ne peux pas "prendre $a=1$".
  • Je n'y arrive pas le premier trop de variables je me suis complètement embrouillé.

    Je viens de lire la démonstration de Gram Schmidt j'ai réussi à comprendre en 5 minutes et je trouve cela plus simple que cet exercice.
  • Je te présente toutes mes excuses pour avoir été absent et merci de ne pas avoir abandonné OShine.

    @Michael, j'avais bien vu que tu voulais écrire $1<0$, c'est pourquoi je l'ai repris (sans préciser que c'était ton intention car peur d'alourdir le message).

    A la vue du grave problème rencontré dans les dernier posts d'OShine, je vais devoir réfléchir à quoi lui répondre. Et surtout lire très en détail ce qui buggue, souvent on pense qu'une personne a un problème alors qu'elle lit "autre chose", d'ailleurs JLT semble avoir compris ce qu'il se passe car il lui parle de quantificateur.

    @OShine, rapidement (mais je reposterai): tu fais u nhors-sujet gigantesque, il me faut réfléchir à quoi te répondre. Comme déjà dit, tu ne peux pas choisir $a$, on a l'hypothèse que
    pour tout x : $[a>3+x$ ou $x\geq 5]$

    or tu ne cesse de la commenter ai lieu de l'admettre.

    Dans ta dernière phrase avant le post de JLT, tu déduis même de cette hypothèse que $a\neq 1$, sans même avoir l'air de t'en rendre compte et de manière convaincante.

    Respire, détends-toi et essaie de prouver aussi finalement que $a$ ne peut pas être 2.5. Ou encore que $a$ ne peut pas être 6. Tu as produit l'argument de toi-même pour le fait que $a$ ne peut pas être $1$, il y a de l'espoir.

    Après on attaquera la suite, à savoir que $a$ ne peut pas être $<8$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • OShne a écrit:
    j'ai réussi à comprendre en 5 minutes et je trouve cela plus simple que cet exercice.

    Non, c'est un mécanisme d'illusion. Quand on est juste passif, "on croit" comprendre ce qui n'est que petite musique relaxante.

    L'important n'est pas la compréhension mais l'identification du sujet (ie ne pas être hors-sujet).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • OShine a écrit:
    Pour $x=4$ on a $a>3+4$ ou $4\geq 5$.

    Et donc ?
    Un effort, tu n'es pas si loin de $a\geq 8$...
  • Oui, et évite d'écrire "pour x=4". Tu peux écrire "en appliquant l'hypothèse à $x := 4$".

    En bref, utilise le signe [large]:=[/large]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2007670#msg-2007670
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Non Gram Schmidt n'est pas plus simple que cet exercice. Et l'algo tu l'auras compris quand tu sauras l'appliquer à la main sans broncher sur des exemples simples, quand tu sauras expliquer en gros ce qui est fait dans cet algorithme sans formule et puisqu'on parle algo, quand tu sauras le coder toi-même. Et tout ça n'est pas plus simple que l'exo 1 de cette page. Comprendre vaguement des lignes de calcul ce n'est pas comprendre l'algorithme...
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