Une formule de Pascal

lologm

Bonsoir
Je suis en train de lire Histoire des grands scientifiques français d'Eric Sartori. J'aime bien l'auteur, mais l'édition des formules mathématiques est très mauvaise malheureusement. Je dirais même catastrophique.
Jugez donc à quoi ressemble le triangle de Pascal :

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 1 0 1 0 5 1

:-?
Il y a même des erreurs dans le texte...

à la page suivante, Blaise Pascal aurait démontré l'égalité suivante.
$1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
Mais ça ne me parait pas très égal.

Je connais la somme des termes d'une suite géométrique, mais je doute que ce soit ce que Pascal a démontré.
$S_n = 1 + x + x^2 + ... + x^n $
Or, $S_n \times ( 1 - x ) = 1 - x^{n+1} $
Donc $S_n = \frac{ 1 - x^{n+1} }{ 1 - x }$

Ma question est : qu'est-ce que Pascal a démontré ?
Indices :
Il a combiné habilement les développements de binômes pour démontrer la formule inconnue.
" De là, par une astucieuse interprétation géométrique qui préfigure les définitions de Cauchy, il "quarre les paraboles de tous les degrés" (en langage moderne, il calcule les intégrales $\int x^n dx$ ."

Poirot

Au vu de ce que tu écris, on est amené à penser que Pascal a calculé les "sommes de Riemann" de la fonction $x \mapsto x^n$, disons $\sum_{k=0}^{N-1} \left(\frac{k}{N}\right)^n$. Sauf que l'on appelle plutôt ça la formule de Faulhaber, donc je ne pense pas que Pascal ait donné une telle formule pour tous les $n$ (d'autant qu'il faut introduire les nombres de Bernoulli pour ça). J'imagine que Pascal a plutôt fait le calcul pour des petites valeurs de $n$.

lologm

Merci Poirot,

J'ai trouvé une source grâce à vos indications et google.

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 1 - 3e éd
De Jean-Pierre Ramis, André Warusfel, Xavier Buff, Josselin Garnier, Emmanuel Halberstadt, Thomas Lachand-Robert, François Moulin, Jacques Sauloy

Je cite.
La somme des $n$ premiers entiers est $ S_1(n) := 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Plus généralement, il existe des formules, dues à Blaise Pascal, Johann Faulhaber et Jakob Bernoulli, permettant de calculer, pour $k \in N$, la somme $ S_k(n) := 1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k $ des puissances $k$-èmes des $n$ premiers entiers sous forme de polynôme en $n$ (...). La formule de Pascal permet de calculer les $ S_k(n) $ par récurrence sur $k$. Celle de Faulhaber et Bernoulli permet de calculer $ S_k(n) $ sans récurrence en utilisant des nombres rationnels dits de Bernoulli $B_n$.

[ Bernoulli ne prend pas de 'i' avant ses deux 'll'. AD]

lologm

La source précise même où Pascal, Faulhaber et Bernoulli ont publié leurs formules.

Pascal : POTESTATUM NUMERICARUM SUMMA 1665

Date probable : 1654 ; Publié à la suite du Traité du Triangle Arithmétique (1665)

Dans le Traité du Triangle Arithmétique, Pascal "invente" le raisonnement par récurrence. Au moins pour la tradition occidentale, il le formalise.

Faulhaber l'a précédé. Ses formules apparaissent en 1631 dans Academia Algebrae.

Bernoulli : Ars Conjectandi, 1713

[ Bernoulli ne prend pas de 'i' avant ses deux 'll'. AD]

gerard0

Bonjour.

J'ouvre mon exemplaire des "Œuvres complètes de Blaise Pascal" un peu au hasard, et je tombe sur un texte (*) où il calcule la somme $\sum\limits_n u_n^k$ par une série d'opérations (la dernière est une division par un nombre qui n'est pas n) basées sur la formule du binôme. Et il termine par l'intérêt de sa méthode pour le calcul des "indivisibles (ancêtre de l'intégration). Mais il n'y a aucune formule (le calcul algébrique est encore très rare), et les preuves sont seulement des exemples commentés (pour faire apparaître la généralité de la preuve).

Donc il est très difficile de dire que Pascal a démontré telle ou telle formule en l'écrivant avec nos notations actuelles. Même le triangle de Pascal ne s'écrit pas comme maintenant; il a la forme
1..1..1..1..1
1..2..3..4
1..3..6
1..4
1

Cordialement.

(*) Edit : C'est bien le texte référencé par Lologm

lologm

@ gerard0
En vous lisant, j'ai l'impression qu'Eric Sartori a lu le même texte. Il a même ce commentaire sur l'égalité fausse qui est l'objet de ma question :
"(qu'il n'écrit pas sous cette forme, Pascal n'est pas cartésien !)"

Il fait référence à la notation algébrique de Descartes, celle qu'on utilise aujourd'hui.
L'ironie c'est que Pascal n'a certainement pas écrit sa formule sous la forme que je trouve dans le livre de Sartori, car Pascal est mathématicien.

gerard0

En tout cas, le texte de Pascal ne traite pas de somme de puissances croissantes d'un même nombre, mais de somme de puissances fixes des termes d'une suite arithmétique. C'est dit explicitement.
la formulation moderne serait
$a^k+(a+r)^k+(a+2r)^k+ ... +(a+nr)^k$ ou, plus ramassé $\sum\limits_{i=0}^n (a+i\times r)^k$

Cordialement.

lologm

Merci beaucoup,

ça colle avec la note que j'ai trouvé dans Mathématiques Tout-en-un ... , pour $ a = 0 $ et $ r = 1 $. Et le lien avec l'intégration est apparent.

Foys

On devrait mettre le nom de Bernoulli dans la charte (:P)
En fait je pense que beaucoup de gens ne savent pas (mais croient savoir) l'orthographe correcte. Un peu comme Mitterrand.