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Deux ensembles et des couples

Bonjour à tous,

j'ai deux ensembles finis $A$ et $B$ de cardinaux respectifs $n$ et $p$ avec $p>n$ et $p-n=2k$.
Je cherche à calculer le nombre de couples $(x;y)$ tels qu'un élément de $A$ est nécessairement couplé à un élément de $B$ (sachant que l'ordre ne compte pas...)
Mon raisonnement est le suivant :
1) Je choisis les éléments de $B$ qui vont être couplés aux éléments de $A$. Il y a $C_n^p$ possibilités.
2) Je compte les couples $(x;y)$ : $\dfrac{n^2}{2}$ (car $(x;y)=(y;x)$).
3) Je compte les couples d'éléments de $B$ en utilisant les $2k$ éléments restants. J'utilise le fait que le nombre de partitions en paires dans un ensemble à $2k$ éléments est égal à $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
J'en conclus que le nombre cherché est $C_n^p\times \dfrac{n^2}{2}\times \dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.

Evidemment, c'est faux comme le montrent quelques essais numériques sur des petites valeurs de $n$ et $p$.

Quelle erreur de raisonnement fais-je donc ?

Merci.

Réponses

  • Je ne suis pas sûr d'avoir compris.
    Tu as l'air de compter les éléments du produit cartésien $A\times B$... auquel cas le cardinal est tout simplement $n\times p$.
  • Je suis sûr de n'avoir pas compris.

    La différence entre un couple $(x,y)$ et une paire $\{x,y\}$, c'est que $(x,y)\ne(y,x)$ si $x\ne y$ alors que $\{x,y\}=\{y,x\}$ – toujours.

    La partie de la phrase « un élément de A est nécessairement couplé à un élément de B » est incompréhensible.

    Dans la suite, on ne comprend pas du tout ce que viennent faire les coefficients binomiaux $C_n^p$ qui permettent de dénombrer les parties à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments – traduction : si $p>n$ il faut inverser les lettres pour espérer avoir un nombre non nul.
    Par exemple, si $B=\{a,b,c\}$ et $n=2$, alors $C_3^2=3$, ce qui est le nombre d'éléments de $\bigl\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\bigr\}$. L'ensemble $A$ n'a rien à faire là-dedans.
  • Merci à vous deux. Effectivement, je me suis mal exprimé.
    Je reprends : il y a $n$ filles et $p$ garçons à une fête avec $p>n$ et $p-n=2k$. C'est l'heure de danser. Chaque fille invite un garçon pour former des paires "fille-garçon", les garçons qui restent forment également des paires "garçon-garçon".
    De combien de façons les filles et les garçons peuvent-ils s'appairer ?

    Je reprends mon raisonnement :
    - les filles choisissent les garçons, il faut en choisir $n$ parmi $p$ donc $C_p^n$ possibilités.
    - une fois les garçons choisis, il faut compter le nombre de paires "fille-garçons" possibles, il y en a $\dfrac{n^2}{2}$.
    - il reste à former des paires avec les garçons restants, il y a $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.

    Cela est toujours faux mais c'est peut-être plus clair à comprendre et à corriger.

    Merci.
  • Classons les filles de la plus belle à la moins belle par ordre alphabétique.
    La 1ère fille peut choisir parmi p garçons, la 2ème fille peut choisir parmi p-1 garçons....
    On arrive à $\frac{p! }{ (p-n)!}$ couples.
    Et c'est fini pour ces n couples.

    Reste les $p-n=2k$ garçons, c'est la partie la plus compliquée, mais tu as donné la bonne formule $\frac {(2k)!}{2^k k!}$

    Solution : $\frac{p! }{2^k k!} $
  • Merci beaucoup lourrran.

    Si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi mon raisonnement est faux, qu'il n'hésite pas.

    Bonne fête de pâques.
  • Bonjour.

    Je veux bien essayer de dire où ton raisonnement est faux, mais comme je ne comprends même pas la deuxième phrase, c'est difficile ! A moins que ce soit justement cette deuxième phrase, où tu donne une résultat sans rien justifier (comme à la première) qui pose problème.
    "- les filles choisissent les garçons, il faut en choisir $ n$ parmi $p$ donc $C_n^p$ possibilités." OK, tu as choisi un groupe de n garçons à apparier avec les n filles. et donc tu ne tiens pas compte d'un ordre. Il aurait été préférable de le dire, ou de parler d'un "ensemble de n garçons".
    "- une fois les garçons choisis, il faut compter le nombre de paires "fille-garçons" possibles, il y en a $\frac{n^2}2$. Pourquoi ?
    Au fait, quand on a un ensemble de n filles, un ensemble de n garçons et qu'on veut un moyen d'associer à chaque fille un unique garçon de façon qu'un garçon ne soit associé qu'à une seule fille, on appelle ça comment ?

    Cordialement.
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