Divertissement pour le confinement

MAD

Calculs fait en APL (problème pour un petit-fils)

fm_31

Bonjour ,
ça peut-être utile pour représenter des roulements à billes ;
Mais je n'ai pas compris ce que représentait la deuxième courbe ;
cordialement

MAD

La seconde courbe représente la variation du rayon du cercle central pour accueillir un nouveau "satellite'
Variation qui tend vers 1/pi d'après mes calculs, donc pratiquement constante pour un cercle central très grand.
Comment expliquer cela ?

fm_31

Effectivement , c'est la dérivée . J'avais cru que la première courbe était une droite donc dérivée constante ce qui n'est pas le cas .

Math Coss

La première courbe représente $q_N=R/r$ en fonction de $N$, le rapport . D'après les calculs, \[\frac{R}r=\frac1{\sin\frac\pi N}-1.\]Lorsque $N$ devient grand, $\frac\pi N$ tend vers $0$ et $\sin\frac\pi N\sim\frac\pi N$ (c'est-à-dire que $\left(\sin\frac\pi N\right)/\left(\frac\pi N\right)$ tend vers $1$. Autrement dit, \[q_N\sim\frac{N}\pi.\] Sens : le rapport $q_N/N$ tend vers $1/\pi$.

Apparemment la deuxième courbe représente plutôt $q_{N+1}-q_N$. Avec l'approximation précédente, cela donne $\frac{N+1}\pi-\frac{N}\pi$ et on retrouve $1/\pi$. On peut le justifier formellement en faisant un développement asymptotique mais cela consiste juste à dire que ce qu'on a négligé est bien négligeable (raison : l'erreur commise en approximant $\sin\frac\pi N$ par $\frac\pi N$ est de l'ordre de grandeur de $1/N^3$, c'est-à-dire très petite). Hardi ! \begin{align*}
q_{N+1}-q_N&=\frac1{\sin\frac\pi{N+1}}-1-\frac1{\sin\frac\pi N}+1\\
&=\frac1{\frac\pi{N+1}+o\bigl(\frac{1}{N^2}\bigr)}-\frac{1}{\frac\pi N+o\bigl(\frac{1}{N^2}\bigr)}\\
&=\frac{N+1}\pi\left(1+o\Bigl(\frac1N\Bigr)\right)^{-1}-\frac{N}\pi\left(1+o\Bigl(\frac1N\Bigr)\right)^{-1}\\
&=\frac{N+1}\pi+o(1)-\frac{N}\pi+o(1)=\frac1\pi+o(1).
\end{align*}

Chaurien

Pour retenir $ \frac1{\pi}\simeq 0,31830989$ : les Trois Glorieuses de 1830 furent un neuf 89.

fm_31

Transposé en GeoGebra

MAD

Merci beaucoup.
Il n'y avait donc pas d'erreur dans le calcul. J'avais trouvé ce résultat assez contrintuitif mais à la réflexion vers l'infini c'est une augmentation quasi constante qui permet d'accueillir un nouveau satellite.

Math Coss

Pertinente remarque ! Pour un grand nombre de satellites, il faut un très grand rayon et pour en ajouter un, il faut faire une place presque égale au diamètre $2r$.

Avec cette approximation, le périmètre du cercle où se trouvent les centres des petits satellites est $2r_NN=2\pi(R_N+r_N)$ quand il y a $N$ satellites de rayon $r_N$ autour d'un cercle de rayon $R_{N}$ et il devient $2r_{N+1}(N+1)=2\pi(R_{N+1}+r_{N+1})$ avec $N+1$ satellites. Le rapport $q_N=R_N/r_N=\frac{N-1}\pi$ devient $q_{N+1}=\frac{N}{\pi}$, d'où une augmentation de $1/\pi$.

NB : c'est en fait le même argument que précédemment, qui consiste à remplacer $\sin\frac\pi{N}$ par $\frac\pi N$...