Anneau d'entiers non monogène

b.b

Salut à tous


Notons $f=X^3+X^2-2X+8$ et $g=X^3-X^2-2X-8$ tout deux vus comme polynômes à coefficients rationnels. Dans le cours de William Stein A Brief Introduction to Classical and Adelic Algebraic Number Theory, il est affirmé que le corps cubique défini par une racine de $f$ est un corps de nombres dont l'anneau des entiers n'est pas monogène et cet exemple est attribué à Dedekind. En cherchant ailleurs sur le net, j'ai plus tendance à croire que l'exemple original de Dedekind est le corps de nombres défini par $g$ (notez que ces deux polynômes ont le même discriminant).

Quelqu'un pourrait confirmer ?

Poirot

Plusieurs liens internet te donnent raison, notamment celui-ci https://math.stackexchange.com/questions/2851742/reference-for-dedekinds-example-of-a-non-monogenic-field contenant une référence vers le livre de Dedekind.

bisam

En même temps, $g=-f(-X)$, non ?
Donc...

b.b

Salut Poirot, Bisam.

Bisam, d'après ta remarque, les racines de de $g$ sont opposées à celles de $f$ et adjoindre à $\Q$ une racine de $g$ ou son opposé revient au même.

En creusant un peu, le polynôme choisi par Dedekind était bien $g$ (même si c'est essentiellement le même exemple d'après la remarque précédente).