L'intégrale de Kurzweil-Henstock

christophe c

@Foys oui et merci. C'est ce qui va me conduire assez vite à aller voir à quel moment là définition s'arrange "pour le faire exprès" (tu)

christophe c

Ah bin MERCI!!!!!! Tu m'epargnes Google.

christophe c

Question d'histoire: on est d'accord qu'ils l'ont fait exprès pour que ça marche? (Ca y ressemble fort en tout cas)

christophe c

Pour info, j'ai regardé un peu, et cette définition est loufoque. Je m'explique: elle est du niveau de complexité A PRIORI de celui de l'hypothèse du continu et fait intervenir des applications QUELCONQUES de $\R\to \R$.

Heureusement que les preuves que ça marche réparent ça, mais ce n'est vraiment pas "raisonnable" de faire de l'intégration appliquée comme ça.

Définit bêtement $r:=\int_a^b f$ par "il existe une fonction dérivable $g$ telle que $g'=f$ et $r=g(b)-g(a)$ est d'un niveau de sens INCOMPARABLEMENT PLUS ABSOLU (la dérivée est toujours borélienne et les boréliens sont essentiellement des réels, ie des conversations à propos d'entiers) et concret.

Comme quoi les gens des années 50 étaient vraiment exemplaires en platonicité et ça s'est perdu, c'est dommage, même s'ils ne produisent pas "à premier vue" du concret.

ev

Bonjour Christophe.
Une application de HK : Une démonstration du

Théorème.
Soit \( n \in \N^* \), \; \( U \) un ouvert de \( \R^n \), \( f~:~U \longrightarrow \R \). Soit \( (e_i)_{1\leqslant i \leqslant n} \) la base canonique de \( \R^n \).
Si les dérivées partielles de \( f \) existent sur \( U \) et sont continues en \( a \in U \), alors \( f \) est différentiable en \( a \).
De plus
\[ \forall k = (k_1, \ldots, k_n) \in \R^n, \quad f'(a).k = \sum_{i=1}^n k_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a).

\] L'idée est de faire comme pour les fonctions de classe \( \mathcal C^1 \). La démonstration que je connaissais était plutôt casse-pied. Par exemple :
cf Karine Madère Développements d'analyse Ellipses 1997. pp87-90.

Je ne vois pas pourquoi ce qui suit serait incorrect. J'utilise le théorème fondamental de l'analyse, et la positivité (plus le fait qu'une constante égale son intégrale entre zéro et 1).

Puisque $U$ est ouvert, il existe \( r > 0 \) tel que la boule $B$ pour la norme infinie de rayon \( r \) centrée en $a$ et incluse dans $U$. On considère $h$ tel que $a+h\in B$.
On a donc $a+h\in U$ et on peut alors définir
\[ \begin{array}{rcl}
\phi~:~[0,1] & \longrightarrow & \R\\
t & \longmapsto & f(a+th)
\end{array}

\] La fonction \( \phi \) est dérivable sur \( [0,1] \) donc
\[ \phi(1) - \phi(0) = \int_0^1 \phi'(t) \, \mathrm dt,
\] où l'intégrale est prise au sens de Kurzweil-Henstock.
Or \( \forall t \in \R, \; \phi'(t) = \sum_{i=1}^n h_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a+th) \) donc on a
\[ f(a+h) - f(a) = \int_0^1 \left( \sum_{i=1}^n h_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a+th) \right) \, \mathrm dt,
\] et, en définissant \( \Phi \in \mathcal L(\R^n, \R) \) par \( \forall k = (k_1, \ldots, k_n) \in \R^n, \quad \Phi.k = \sum_{i=1}^n k_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) \) on a
\[ f(a+h) - f(a) - \Phi.h = \int_0^1 \sum_{i=1}^n h_i\left( \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a+th) - \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) \right) \, \mathrm dt.
\] Soit \( \varepsilon > 0 \). Par continuité des dérivées partielles de \( f \),
\[ \exists \alpha \in ]0,r[ , \; \forall i \in [\![1,n]\!] \; \Vert k-a \Vert_{\infty} < \alpha \Longrightarrow
\left\vert \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a+th) - \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) \right\vert < \varepsilon.

\] Donc en prenant \( \Vert k-a \Vert_{\infty} < \alpha \) on a \( \forall t \in [0,1], \; \Vert a+th-a \Vert_{\infty} < \alpha \) donc
\begin{align*}
\left\vert f(a+h) - f(a) - \Phi.h \right\vert &\leqslant \int_0^1 \left\vert \sum_{i=1}^n h_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a+th)- \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) \right\vert \, \mathrm dt\\
&\leqslant \int_0^1 \sum_{i=1}^n \vert h_i \vert\left\vert \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a+th) - \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) \right\vert \, \mathrm dt\\
&\leqslant \int_0^1 \sum_{i=1}^n \Vert h \Vert_{\infty} \varepsilon \, \mathrm dt\\
&\leqslant n\Vert h \Vert_{\infty}\varepsilon

\end{align*} C'est bien dire que \( \Phi = f'(a) \).

Amicalement,
e.v.

christophe c

Merci ev, c'est du lourd :-D :-D les calculs que tu fais. Ca me réchauffe par ce froid.

Je précise que je n'ai pas du tout mis en doute l'utilité ou l'efficacité de cette intégrale, mais juste dit qu'elle est définie avec des quantificateurs qui prennent des parties quelconques de $\R$.

Pour info le théorème que tu évoques est "évident" en ANS, c'est le fait que la continuité de dérivées partielles entrainent l'existence de "la tangente" (ici un hyperespace affine) à la courbe. Quand il n'y a pas de continuité, il y a des grumeaux possibles qui empêchent la conclusion. Mais quand tout est plat, tout marche bien.

En dimension1, c'est le fait que $f$ est $C^1$ de dérivée $f'$ dès que pour tout $a$ :
$$
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\ \xrightarrow[(x,y)\to (a,a)]{} \ f'(a) .

$$ Et la preuve que tu donnes marcherait très bien en utilisant la même intégrale, mais en en donnant la définition concrète basée sur les dérivées.

christophe c

@ev j'ai manqué de précision dans ma réponse. Ce que tu fais c'est prouver que TOUTE intégrale-notion qui inverse la dérivation donne la preuve que tu donnes.

gebrane

ev disait Je ne vois pas pourquoi ce qui suit serait incorrect
c'est correct parce que c'est une démonstration bien connue

ev

@ Gebrane.

Merci, je ne savais pas.
Je la connaissais pour les fonctions \( \mathcal C^1 \) mais pas pour les fonctions qui admettent seulement des dérivées partielles.

amicalement,

e.v.

gebrane

C'est dans le cours de Jean-Pierre Demailly . Je vais chercher dans mes archives

christophe c

Rassurez-moi je suis dans mon lit et je surveille que je n'ai pas Alzheimer ou autre régulièrement : je n'ai bien jamais critiqué les vertus de KH?

ev

Pas surprenant. C'est sur son site que j'ai appris (le peu que sais de) l'intégrale de Kurzweil-Henstock.

e.v.

gebrane

cc disait je n'ai bien jamais critiqué les vertus de KH?
Ah si si et nous sommes tous témoins :-D, tu veux détruire le KH

christophe c

L sonorité m'évoque la zone 51. Je suis bien le dernier qui voudrait faire du mal à des E.T.

Mais mon âge m'empêche de me remémorer le mot et le contexte qui ressemble à "Keurzwell" phonétiquement (une série télé je pense)

gebrane

cc disait Est-ce que KH n'est pas juste un exercice de logique
C'est une accusation lourde

gerard0

Christophe,

moi, ça m'évoque toujours Kurt Weil et l'opéra de quat'sous.

Cordialement.

christophe c

Merci Gérard, j'ai aussi googlé et retrouvé le mot que je cherchais: https://www.francetvinfo.fr/monde/usa/etats-unis-la-zone-51-et-son-extraterrestre-de-roswell-font-toujours-rever_3628391.html

En plus triste, il y avait aussi la maladie de la vache folle, mais on ne parle plus beaucoup des prions (qui résistaient à 120degrés de cuisson).

christophe c

gebrane le BG :-D

gebrane

Merci cc

ev

Je pense que Christophe et Gebrane ont eu le temps de se remettre de leurs émotions.
Je propose l'exercice suivant (Oral X P') : [small](P', c'est dire que ça ne nous rajeunit pas...)[/small]

Soit \( f \) une fonction de classe \( \mathcal C^1 \) sur \( [0,1] \), telle que \( f(0) = f(1) = 0 \).
On pose \[ I_1 = \int_0^1 \dfrac{f(x)f'(x)}{\tan \pi x} \, \mathrm dx \quad \text{ et } \quad I_2 = \int_0^1 \left[f(x)\right]^2\dfrac{1 + \tan^2 \pi x}{\tan^2 \pi x} \, \mathrm dx.

\] 1. Justifier l'existence de \( I_1 \) et \( I_2 \). Comparer \( I_1 \) et \( I_2 \).
2. Démontrer que
\[ \int_0^1 \left(f'(x)\right)^2 \, \mathrm dx \geqslant \pi^2 \int_0^1 \left(f(x)\right)^2 \, \mathrm dx.

\] Ma question. Peut-on bricoler la solution comme plus haut en affaiblissant la condition \( f \) de classe \( \mathcal C^1 \) par \( f \) dérivable sur \( [0,1] \) ?

Amicalement,
e.v.

Math Coss

Si $f'$ n'est pas continue, qu'est-ce qui donne un sens à l'intégrale $I_1$ ?

ev

Je pense qu'il faut commencer par \( I_2 \) puis intégrer par parties.

e.v.

Math Coss

Prenons $f(x)=\bigl(x-\frac12\bigr)^2\sin\frac{1}{\bigl(x-\frac12\bigr)^{12}}$, n'a-t-on pas un problème en $1/2$ qu'une IPP ne peut pas régler ?

ev

Mmmh, ça ne va pas être du moulé à la louche.

Merci Math Coss.

e.v.

ev

Je me pose la question suivante : A-t-on

Soit $f$ continue sur un segment $[a,b]$, $g$ KH - intégrable sur $[a,b]$.
On a $fg$ KH - intégrable sur $[a,b]$ ?

Des idées ? Je vais me retrouver en exil au shtamland ?

Amicalement,

e.v.

gebrane

Bonjour ev, Tu demandes trop à l’intégrale de KH.
Prendre f=g=1/\sqrt x sut ]0,1] et 0 en 0

Poirot

@gebrane : Ton $f$ n'est pas continu !

gebrane

Poirot, je suis aveugle j'ai zappé la continuité. Mais Sur un segment, toute fonction Riemann-intégrable est KH-intégrable

j'ai encore zappé que g n'est pas continue :-S

Poirot

Oui, mais ça ne permet pas de répondre à la question d'ev.

gebrane

Je venais de le voir, je vais réfléchir en étant assis à la question de ev

gebrane

Bon, cette fois ci , c'est la bonne
prendre $f(x)=\frac 1{\sqrt x +1 }$ sur [0,1] et g la fonction que j'ai définie dans mon premier post,

Poirot

$fg$ m'a l'air gentiment intégrable sur $[0, 1]$.

gebrane

Poirot peux-tu effacer mes messages et les tiens, pour nettoyer un peu et laisser uniquement la question de ev ( j'ai vu étrangement que $(\sqrt x +1)\sqrt x\sim x$)

ev

Je révise mes ambitions à la baisse :

Soit f en escalier sur un segment [a,b], g KH - intégrable sur [a,b].
A-t-on $fg$ KH - intégrable sur [a,b] ?

e.v.

Chaurien

Un bon livre pour la KH-intégrale c'est : Robert G. Bartle, A Modern Theory of Integration, AMS 2001. Je joins la page 51.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

ev

Merci Chaurien pour ce document, quelque peu cryptique, tu l'avoueras. Je pars à la recherche du background.

Bon.ne après-midi à toi aussi.

e.v.

[ J'ai pas pu résister ! ]

Chaurien

« Regulated function » c'est « fonction réglée », et $\mathcal R^*([a,b])$ désigne l'ensemble des fonctions qui sont KH-intégrables sur le segment $[a,b]$, car l'auteur parle d'« intégrale de Riemann généralisée », d'où le $\mathcal R$. Je ne puis en dire plus car je suis loin d'avoir assimilé tout le contenu de ce livre de Bartle. Il me semble un bon ouvrage pour qui voudrait étudier cette intégrale.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Jean-Louis

Cher Chaurien, pourquoi aller chercher un livre en anglais alors que je trouve que l'on a , en français, deux perles, le cours d'analyse de Jean Mahwin qui développe aussi des utilisations du lemme de Cousin et le poly de Jean-Pierre Demailly?
Cordialement.
Jean-Louis.

Foys

@ev: oui car pour tous $a,b,c$ réels tels que $a<c<b$ et toute $f\in \R^{[a,b]}$, $f$ est HK si et seulement si ses restrictions à $[a,c]$ et $[c,b]$ le sont.

ev

@ Foys.

Merci, je m'en étais rendu compte. Péniblement, mais j'ai fini par comprendre que c'était la relation de Chasles...

C'est le passage aux fonctions continues qui coince. Si $g$ est minorée (ce qui rejoint le document de Chaurien) ou si $\vert g \vert$ est KH-intégrable, j'ai l'impression que ça passe. Mais ça ne fait pas tous les cas.

Amicalement,

e.v.

Chaurien

Jean-Louis, bonne remarque. Je connais bien le livre de Mahwin, j'ai correspondu avec lui lorsque je rédigeais le petit article que j'ai écrit sur la question en 1997. Je connais moins le poly de Demailly, qui est peut-être moins complet.
J'aime bien aussi le livre de Bartle, très progressif, avec des exercices, et un fascicule de corrigés. Présentement, j'ai trouvé un endroit où il répondait à la question posée, l'intégrabilité d'un produit, et je n'ai pas vérifié si c'était traité dans les deux autres publications, c'est un tort. D'une façon générale, je cherche des réponses dans des livres ou articles en français ou en anglais indifféremment. Mon patriotisme ne s'en offusque pas ;-).
Bonne soirée.
Fr. Ch.

gebrane

quelqu'un a répondu à cette question ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1936108,2247446#msg-2247446

ev

Bonjour Gebrane

Oui ! Moi ! Depuis peu...

Il suffit d'écouter Math Coss, que je salue.
Je pose \( f(x) := x^2 \sin(x^{-12}) \) pour \( x \in ]0,1] \) et \( f(0) = 0 \). On a \( f \) dérivable sur \( [0,1] \), \( f'(0) = 0 \) et \( \forall x \in ]0,1] \), \( f'(x) = 2x \sin(x^{-12}) - 12 x^{-9} \cos(x^{-12}) \). La fonction \( f' \) est KH-intégrable sur \( [0,1] \).
Soit \( g(x) := x \cos(x^{-12}) \) pour \( x \in ]0,1] \) et \( g(0) = 0 \). On a \( g \) continue sur \( [0,1] \).

La fonction \( gf' \) est la somme d'une fonction continue : \( x \in ]0,1] \longmapsto 2x^2 \sin(x^{-12}) \) et d'une fonction
négative pas Lebesgue-intégrable sur \( [0,1] \), à savoir \( x \in ]0,1] \longmapsto - 12 x^{-9} \cos^2(x^{-12}) \).

Donc \( gf' \) n'est pas KH-intégrable sur \( [0,1] \).

Exo ----> poubelle.

e.v.

gebrane

ev tu as laissé des coquilles

ev

Ouaip, je n'ai jamais su calculer, et ça ne s'arrange pas avec l'âge.

Pouf, pouf.

On a \( f \) dérivable sur \( [0,1] \), \( f'(0) = 0 \) et \( \forall x \in ]0,1] \), \( f'(x) = 2x \sin(x^{-12}) - 12 x^{-11} \cos(x^{-12}) \). La fonction \( f' \) est KH-intégrable sur \( [0,1] \). Soit \( g(x) := x \cos(x^{-12}) \) pour \( x \in ]0,1] \) et \( g(0) = 0 \). On a \( g \) continue sur \( [0,1] \).

La fonction \( gf' \) est la somme d'une fonction continue : \( x \in ]0,1] \longmapsto 2x^2 \sin(x^{-12})\cos(x^{-12}) \) et d'une fonction négative pas Lebesgue-intégrable sur \( [0,1] \), à savoir \( x \in ]0,1] \longmapsto - 12 x^{-10} \cos^2(x^{-12}) \).

Donc \( gf' \) n'est pas KH-intégrable sur \( [0,1] \).

La conclusion reste la même : classement vertical de l'exo.

Tu en as vu d'autres ?

e.v.

gebrane

Ev

Peux-tu m'expliquer ceci

Soit f=g+h avec g continue sur ]0,1] et h négative sur ]0,1]
Si h n'est pas L^1 sur [0,1] , alors f n'est pas KH intégrable sur [0,1]

ev

@ Gebrane,

1/ $h$ est négative et n'est pas $L^1$ donc $h$ n'est pas KH - intégrable. OK ?

2/ $g$ est continue donc est KH - intégrable. OK ?

3/ Donc $f$ n'est pas KH - intégrable, sinon $h = f - g$ le serait. OK ?

e.v.

gebrane

Tu triches sur la deux, j'ai dit que g est continue seulement sur ]0,1] par exemple g(x)=1/x

ev

Ah ! Nous ne parlons pas de la même chose.

Si j'ai bien compris, tu cherches deux fonctions $g$ et $h$.
avek :
* $g$ continue sur $]0,1]$ ;
* $h$ négative sur $]0,1]$ et $h$ n'est pas $L^1$ sur $[0,1]$ ;
* $f := g + h$ est KH intégrable sur $[0,1]$.

C'est ça ?

Du style $g = 1/x$ et $h = -1/x$ ?

e.v.

gebrane

ok,