Valeurs propres graphe biparti

Mrmojorisin

Bonjour
J'ai affaire à un problème concernant un graphe biparti et sa valeur propre maximale. L'énoncé est le suivant.

Montrer que si G est un graphe connexe avec valeur propre maximale lambda, alors G est biparti si et seulement si - lambda est aussi une valeur propre de G.

Petit abus, lorsque je parle de valeurs propres de G, je parle des valeurs propres de la matrice d'adjacence de G, A(G).
L'implication "G est biparti alors son spectre est symétrique" m'a été facile à prouver. L'autre implication l'est un peu moins.
J'ai essayé d'écrire les définitions de "lambda, -lambda valeurs propres de A" et d'utiliser cela (il existe deux vecteurs v,w tels que Av=lambda.v, Aw=-lambda.w), afin de montrer qu'alors la matrice A est une matrice dont les blocs diagonaux sont nuls (et donc, G est biparti), mais je suis un peu coincée à ce niveau là. J'ai pu prouver que si Spec(A) est symétrique, alors G biparti, mais pas uniquement avec l'hypothèse de symétrie pour la valeur propre maximale.

Merci beaucoup d'avance, cela me tracasse depuis pas mal de temps maintenant !

claude quitté

C'est un classique en théorie des graphes (spectral graph theory). Cf par exemple http://math.mit.edu/~csikvari/spectral_graph_theory.pdf prop. 1.7 page 5. Il existe d'autres références.
Mais quelque chose me taraude : dans quel cadre travailles tu ? C'est peut-être un ``devoir à la maison'' auquel cas ce que je viens de faire n'est pas très correct.

Mrmojorisin

Merci beaucoup pour cette réponse, j'ai fini par trouver une autre solution que je joins ici, mais là votre me plaît beaucoup !
Et non tout va bien ce n'est pas pour un devoir à faire à la maison C'est pour mes révisions d'examen, un élève devait poster la correction de cet exercice, mais n'a malheureusement pas prouvé correctement tout l'exercice.

Merci encore, bonne journée !