Les triangles semblables au collège

Ludwig

Bonsoir,

Je cherche des petits exercices sur les triangles semblables, pour les élèves de troisième. Ceux du manuel Transmath 3ème ne vont pas très loin, il s'agit le plus souvent d'une application directe de la propriété des côtés proportionnels. Beaucoup sont noyés dans un contexte-prétexte vraiment pas terrible (deux circuits dans un parc bla bla bla..). J'en veux des un peu plus difficiles, par exemple avec des triangles dont la similitude n'est pas évidente, ou encore dont la question est un peu ouverte.

J'en propose trois :

1°) ABCD est un carré. M le milieu du segment [AB], N celui de [BC].
Ces deux segments se coupent en K (figure de gauche).
Question : quelle fraction de l'aire du carré représente celle du triangle AKM ?

2°) À droite, une figure classique. On trace un demi-cercle de diamètre [EG].
Le point F étant sur ce diamètre, on trace la perpendiculaire à (EG) passant par F qui coupe ce demi-cercle en H.
Il s'agit d'établir l'égalité bien connue $HF^2 = EF×FG$, égalité qu'on peut ensuite, par exemple, utiliser pour une construction géométrique de racines carrées (méthode de Descartes).
Problème ici : le théorème qui affirme que l'angle inscrit dans un demi-cercle est droit n'est plus au programme, mais on peut le démontrer pour l'occasion.

3°) Étude du triangle d'or et des pavages de Penrose. Pas mal ça, occasion de reparler de la bissectrice.

Commentaires ? Propositions ?

Eric

Monge - Guinchan, Mathématiques 3e, 1966, pages 362 et suivantes ...
https://manuelsanciens.blogspot.com/2019/11/monge-guinchan-mathematiques-3e-1966_13.html

Je conseille d'ailleurs celui de 4e pour des exercices dignes de ce nom sur les triangles égaux et sur les parallélogrammes.
https://manuelsanciens.blogspot.com/2018/02/monge-guinchan-mathematique-4e-1960_10.html

Dom

Un billard (je ne retrouve plus le fil que j'avais créé - datant de deux ou trois ans je crois).

Un triangle ABC, un point M sur [AB], on projette M sur un côté, parallèlement au troisième, puis comme une balle qui rebondit (parallèlement aux côtés, par comme sur un vrai mur), on recommence plusieurs fois.
On semble voir qu'un des points de la suite revient sur M (à démontrer).
On demande de trouver la position du point M pour que le triangle représenté à l'intérieur de ABC ait une aire moitié de celle de ABC.

Pardon, incapable de fournir une figure (tout est planté suite à un autre poste, bizarre, je venais d'utiliser GeoGebra avec succès).
Je vais essayer, dès que possible.

Dans ledit fil on avait une autre démonstration : on passait dans l'espace avec des sphères de même rayon et on adaptait ce cas "dimension 3" pour en déduire le cas "dimension 2" avec rayons distincts.

soland

À toi de voir ce que tu veux écrire comme donnée.
Les dimensions du grand rectangle sont 16 et 8.
Les cathètes du triangle rectangle rouge sont 1 et 3.
Le rayon du cerce bleu se calcule avec Pythagore ; il vaut $\sqrt{80} \approx 8.944\,27$

Ludwig

@ Eric : oui les anciens manuels sont une mine. J'avais fouillé dans le Lebossé-Hessery programme 62, les exercices ressemblent beaucoup au Monge de 66. Mais en les lisant je me suis tout de suite dit que non, pas ça, c'est infaisable avec mes troisièmes. Je me suis imaginé leur apportant une photocopie d'une page d'exercices d'un de ces livres, il est clair que deux minutes plus tard c'est le bordel. Par contre on peut s'en servir pour récupérer des figures clés, points de départ pour un travail de recherche. Faudra les adapter, réécrire une consigne moins rude (n'oubliez pas qu'il n'y a presque plus rien au collège en géométrie, et que beaucoup d'élèves ont déjà du mal à faire la figure..). En fait le défi est le suivant : comment créer quelque chose à partir de rien. On en est bien là.

De plus, beaucoup d'égalités démontrées dans ces exercices, du genre (j'invente) $AM×AB= AC^2$ le sont pour un point $M$ quelconque sur un certain objet, par exemple un segment. C'est-à-dire que l'égalité est vraie quelle que soit la position de $M$ sur ce segment. Bon, et alors ? Je veux dire qu'est-ce qu'on en fait de cette indépendance ? Il y a une égalité de ce type pour la figure de droite que j'ai postée au-dessus, et on peut prolonger le travail avec, c'est-à-dire en prenant plusieurs positions pour le point variable. Sinon j'ai bien peur que ça reste trop abstrait comme égalité, ça ne va pas leur parler beaucoup.

Avec ma figure de gauche, on peut aussi prolonger : $M$ point variable de $[AB]$, $N$ sur $[BC]$ tel que $BN = AM$. Et poser une question du genre : où faut-il placer $M$ pour que l'aire de $AKM$ soit le dixième de celle du carré ?

@ dom : intéressant ce billard je vais regarder ce que ça donne. Il y a un exercice avec un billard dans le Transmath (1 seul rebond).

@soland : je ne vois pas très bien. Position du point d'intersection des deux longueurs des rectangles inscrits ? Dimensions du parallélogramme obtenu ? Par ailleurs sauf erreur le cercle bleu a pour rayon $\sqrt{80}$ et non pas $\sqrt{65}$.

Un bon dimanche.

kolotoko

Bonjour,

j'aime bien l'exercice 1 de Ludwig et je propose une suite : soit O le milieu de DC et P le milieu de AD.
On trace les segments BO et CP .
Déterminer l'aire du petit carré central en fonction de l'aire de ABCD.
Bien cordialement.
kolotoko

soland

@Ludwig
J'ai rectifié.
Il y a une tonne de triangles semblables à exploiter.
Bonne suite.

Ludwig

Pour le triangle d'or on peut commencer par déterminer ses angles en résolvant une petite équation.
1°) $ABC$ est un triangle isocèle en $A$. La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe le segment $[AC]$ en $D$.
Déterminer la mesure $x$ de l'angle $\widehat{DBC}$ pour que les triangles $ABC$ et $BCD$ soient semblables.
2°) Faire une figure avec $AB = 8 cm$.

celine_L

Le calendrier des mathématiques 2020 propose des exercices intéressants

Ludwig

Bonsoir,

J'ai testé l'exercice sur le carré que j'ai posté dans le premier post de ce fil. Posé de façon brute, c'est un peu... brutal. J'y ai donc ajouté quelques questions pour aider, tout en conservant la consigne de départ (on peut très bien expliquer aux élèves ce que je viens d'écrire ici, c'est même assez sain de le faire).
Et ci-dessous un petit puzzle :

AlexCendre

Hello,

le coup classique du billard :

Où doit-on taper la bande avec la boule blanche pour toucher la boule rouge sachant que les deux angles d'incidence sont de même mesure?

Edit : Et un autre classique :
On plante deux bâtons dans le sol perpendiculairement, on relie l'extrémité haute de l'un à l'extrémité basse de l'autre par une corde puis vice-versa avec une autre corde. Alors la hauteur au sol du point d'intersection des deux cordes ne dépend pas de la distance séparant les bâtons, mais seulement de leur longueur respective. (Bon en vérité la figure appelle Thalès, mais tout ce qui se fait avec Thalès se fait avec les triangles semblables. D'ailleurs je me demande bien à quoi sert encore d'apprendre Thalès à nos élèves... Moi ils ont bien compris le coup de "mêmes angles => longueurs proportionnelles" et ça leur suffit pour faire tout ce qu'on peut faire avec Thalès.)

Dom

Peut-être aussi parce que ces théorèmes sur les triangles semblables se démontrent avec le théorème de Thalès pour un sens et avec la réciproque du théorème de Thalès, dans l'autre sens.

Bon, c'est certainement culturel tout de même : Thalès et Pythagore sont des choses "basiques" et primordiales (chacun aura une définition du sens de ce mot :-D).

AlexCendre

@Dom

Je ne me suis pas plongé dans les éléments d'Euclide avant de poser la question, mais ne peut-on pas prouver d'abord que "mêmes angles => mêmes proportions" pour ensuite prouver Thalès?

Ludwig

En voici un tout simple qui a le mérite d'être résoluble par au moins deux méthodes : 

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=4$ et $BC=3$.
$E$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(BD)$.
Calculer $CE$.

Dom

Bonjour,
je découvre ton message @AlexCendre, https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2203240/#Comment_2203240
désolé de ne pas l’avoir vu jadis…

Oui, on peut démontrer que « si [semblables => mêmes proportions] alors [Thalès direct] ».
En effet @Ludwig, un simple calcul d’aire. Du coup les triangles semblables font un peu « marteau pour écraser une mouche ».

Cordialement
Dom

jelobreuil

Bonsoir à tous
@Ludwig, j'ai fait, il y a quelque temps, cette figure qui, apparemment, ne manque pas de triangles semblables ... Peut-être t'inspirera-t-elle ?
Bien amicalement, JLB

kolotoko

Bonjour,

voici un exercice sur les triangles semblables et leurs mesures d'angle.

1) Construire un triangle ABC vérifiant AB = AC , l'angle A mesurant 45 ° .

2) Tracer les trois hauteurs [AD] ,  [BE] , [CF] se coupant en l'orthocentre H.

3) Dans la figure ainsi obtenue , indiquer les mesures des angles en degré.

4) Nommer les 6 triangles isocèles et indiquer leurs mesures d'angles.

5) Nommer les 12 triangles rectangles et indiquer leurs mesures d'angles.

6) Nommer les 4 triangles rectangles et isocèles et indiquer leurs mesures d'angles.

7) Nommer les 2 triangles qui ne sont ni isocèles ni rectangles.

8) Classer les 16 triangles de la figure en groupes de triangles semblables entre eux.

Bien cordialement.

kolotoko