Questions sur l'énoncé
Bonjour, comme l'année dernière, je suis hésitante avec les énoncés en cours de combinatoire et j'aimerais savoir si je l'ai bien compris avant de commencer l'exercice.
L'énoncé est le suivant : soit $F \subseteq [\![ 20 ]\!]$ et le cardinal de $F$ est $|F|=7$. On considère un couple $(A,B)$ ordonné tel que $(A,B) \in \mathcal{P}(F) \times \mathcal{P}(F)$.
Voilà ce que je comprends. Pourriez-vous me dire si c'est correct ?
1) $[\![ 20 ]\!]$ c'est la même chose que l'ensemble ${1,2,3,4,\ldots,20}$. On tire sans remise 7 nombres dans cet ensemble qui vont composer $F$. Bref, je peux avoir ${1,2,3,4,5,6,7}$ mais pas ${1,1,1,1,1,2,2}$. Mais le signe $\subseteq$ me gène, parce que $F \neq [\![ 20 ]\!]$ étant donné le cardinal de $F$. Est-ce correct ?
2) Comme on compose $F$ de 7 éléments tirés parmi 20, il y a $\frac{20!}{13!7!}=3\times 5 \times 16 \times 17 = 4080$ possibilités pour construire $F$.
3) Soit $\mathcal{P}_1(F)$ la partition de $F$, de même que $\mathcal{P}_2(F)$ : $|\mathcal{P}_2(F)|=|\mathcal{P}_1(F)|=|\mathcal{P}(F)| = 2^7$. Du coup $|\mathcal{P}(F) \times \mathcal{P}(F)| = 2^{14}$.
4) L'écriture $(A,B) \in \mathcal{P}_1(F) \times \mathcal{P}_2(F)$ : $A$ est un élément de l'ensemble des parties $\mathcal{P}_1$, c'est-à-dire un élément choisi parmi $2^7$ éléments composant l'ensemble. Pareil pour $B$ : est un élément de $\mathcal{P}_2$. Ils composent notre couple ordonné. Est-ce que le nombre de tous les couples $(A,B)$ possibles est un arrangement de $2$ parmi $2^{14}$ : $\dfrac{(2^{14})!}{(2^{14}-2)!}$ ?
Merci beaucoup à l'avance.
L'énoncé est le suivant : soit $F \subseteq [\![ 20 ]\!]$ et le cardinal de $F$ est $|F|=7$. On considère un couple $(A,B)$ ordonné tel que $(A,B) \in \mathcal{P}(F) \times \mathcal{P}(F)$.
Voilà ce que je comprends. Pourriez-vous me dire si c'est correct ?
1) $[\![ 20 ]\!]$ c'est la même chose que l'ensemble ${1,2,3,4,\ldots,20}$. On tire sans remise 7 nombres dans cet ensemble qui vont composer $F$. Bref, je peux avoir ${1,2,3,4,5,6,7}$ mais pas ${1,1,1,1,1,2,2}$. Mais le signe $\subseteq$ me gène, parce que $F \neq [\![ 20 ]\!]$ étant donné le cardinal de $F$. Est-ce correct ?
2) Comme on compose $F$ de 7 éléments tirés parmi 20, il y a $\frac{20!}{13!7!}=3\times 5 \times 16 \times 17 = 4080$ possibilités pour construire $F$.
3) Soit $\mathcal{P}_1(F)$ la partition de $F$, de même que $\mathcal{P}_2(F)$ : $|\mathcal{P}_2(F)|=|\mathcal{P}_1(F)|=|\mathcal{P}(F)| = 2^7$. Du coup $|\mathcal{P}(F) \times \mathcal{P}(F)| = 2^{14}$.
4) L'écriture $(A,B) \in \mathcal{P}_1(F) \times \mathcal{P}_2(F)$ : $A$ est un élément de l'ensemble des parties $\mathcal{P}_1$, c'est-à-dire un élément choisi parmi $2^7$ éléments composant l'ensemble. Pareil pour $B$ : est un élément de $\mathcal{P}_2$. Ils composent notre couple ordonné. Est-ce que le nombre de tous les couples $(A,B)$ possibles est un arrangement de $2$ parmi $2^{14}$ : $\dfrac{(2^{14})!}{(2^{14}-2)!}$ ?
Merci beaucoup à l'avance.
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Réponses
1) Correct.
2) Correct modulo le calcul.
3) Je n'ai rien compris. Que sont $\mathcal{P_1}(F)$ et $\mathcal{P_2}(F)$ ? J'ai l'impression que tu confonds "partition" et "partie". $\mathcal P(F)$ désigne l'ensemble des parties de $F$, c'est-à-dire des ensembles inclus dans $F$, il possède $2^7$ éléments, et donc effectivement $|\mathcal{P}(F) \times \mathcal{P}(F)| = 2^{14}$.
4) Non, tu l'as écrit toi-même, $|\mathcal{P}(F) \times \mathcal{P}(F)| = 2^{14}$ donc le nombre de couples $(A,
1) Le symbole $\subseteq$ est une sorte de néologisme destiné à insister sur le fait que l'ensemble de gauche peut être égal à la partie de droite. Pas intéressant et ici, hors sujet. Bien sûr, $7<20$ mais il est aussi vrai que $7\le20$, n'est-ce pas ?
2) Le calcul du coefficient binomial est faux : comment le $19$ qui apparaît dans la factorielle du numérateur pourrait-il être simplifié ?
3) Que désigne cette notation $\mathcal{P}_1(F)$ ? et $\mathcal{P}_2(F)$ ? Quand tu choisis un couple de réels, est-ce qu'ils n'appartiennent pas tous les deux au même ensemble $\R$ ? Est-ce que tu écris : « Soit $(x,y)\in\R_1\times\R_2$ » ?
4) Un arrangement de deux choses, c'est un couple de deux choses différentes. Ici, est-ce que tu supposes que $A\ne B$ ? Si oui, c'est un arrangement de deux parties choisies toutes les deux parmi les $2^7$ parties de $F$ – les éléments de $\mathcal{P}(F)$, quoi – et pas les $2^{14}$ couples de parties de $F$. Sinon, le couple $(A,B)$ est un élément de $\mathcal{P}(F)\times\mathcal{P}(F)$, ensemble dont le cardinal est $2^7\times2^7=2^{14}$.
PS : grillé !
PPS : ah non, Poirot n'a pas fait attention au calcul de $\binom{20}{7}$.
4) L'énoncé dit : J'en déduis que si j'ai un ensemble $E=\{a,b,c\}$, l'ensemble des parties est $\{\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{c,b\},\{a,b,c\},\{\varnothing \}\}$. Je peux prendre $A=\{a,b\}$ et $B=\{a,b\}$. Et mon couple sera $(A,B) = \{\{a,b\},\{a,b\}\}$. Cela s'appelle un arrangement avec répétition ou je me trompe?
@Math Coss, c'est une partie de l'énoncé. Si, il y a des questions.. Je les trouve faciles et j'essaye de faire le maximum en autonomie. Et de toute façon je ne peux vous embêter pour tout et rien. (:P)
Nous avons 3 ensembles sous forme :
\[ \mathcal{S}_{F} = \{ (A,B) \in \mathcal{P}(F) \times \mathcal{P}(F) : \; \; condition(s) \}\]
Après il faut prouver certaines assertions et calculer les cardinaux des ensembles.
Nous avons un exercice :
Le corrigé dit que : Je n'arrive pas à comprendre le 1). Je vois d'où viennent $3$ et $8$, mais pourquoi cette opération et pas une autre?
Je sais que $|{P}_4 |=70$ et il y a : 35 parties qui contiennent $1$, 15 parties qui contiennent à la fois $1$ et $2$ etc. En multipliant $3$ et $8$, quel théorème, propriété, axiome on utilise ici?
- $(a,b)$ est un couple : l'ordre importe ; que $a$ et $b$ soient égaux ou pas, $(a,b)\ne (a)$ ; de plus, $(a,b)=(b,a)$ SSI $a=b$ ;
- $\{a,b\}$ est une paire : l'ordre n'importe pas ; si $a=b$, alors $\{a,b\}=\{a\}$.
Autrement dit, l'écriture $\bigl\{\{a,b\},\{a,b\}\bigr\}$ n'exprime pas ce que tu veux dire.Je ne suis pas fan de l'appellation « arrangement avec répétition » ; je préfère « couple » (quand il y en a deux), « triplet » (quand il y en a trois), etc., ou « $p$-liste » (quand il y en a $p$) ; on peut aussi parler d'application.
[Pour le message suivant il faudrait réfléchir...]
En lisant ce sujet, je me pose la question : est-ce que n comprend 0 ou bien commence à 1?
Je me demande car on voit aussi 1,n.