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Codage d'un réel

Bonjour, j'ai rencontré un problème lors de la recherche d'une démonstration qui montre que l'ensemble des suites d’éléments dans {0,1} est en bijection avec IR, j'ai pensé au début au codage binaire des nombres entiers naturels et pour les nombres avec des virgules j'ai pensé à une fonction récursive qui renvoie un codage binaire pour une entrée entière naturelle et renvoie pour une entrée d'un nombre avec des virgules le codage binaire de sa partie entière en amont de la valeur de cette même fonction appliquée à 10*la partie fractionnaire de nombre en entrée.

Réponses

  • N’est-ce pas plutôt l’ensemble des suites à valeurs dans $\{ 0 ; 1 \}$ ?
    Il s’agit dans ce cas du simple développement en base 2 d’un réel.

    Soit $x$ un réel positif, il existe une unique suite $a$ non constante égale à $1$ (même à partir d’un certain rang) telle que : $$a_0=E(x)
    $$ et telle que pour tout entier non nul $n$, $a_n \in \{ 0 ; 1 \}$ et $$
    x=a_0+\sum_{1}^{+\infty} a_n 2^{-n}.

    $$ Remarque : mon $a_0$ est la partie entière de $x$ et on peut s’arranger pour l’écrire en binaire.
    On peut aussi choisir une suite indexée par $Z$.
    On peut également choisir de mettre $[0,1]$ en bijection avec $\{0;1\}^\N$.
  • Il existe une seule suite de ce genre, Oui. Mais le problème est que le point 'fixe' de cette suite ( = le digit qui représente les unités), on ne sait pas à quelle position il se trouve.
    Habituellement quand on parle de suite, on a des suites $u_n$, avec n entier positif (ou nul). Ici, on parle de suites $u_n$, avec n entier éventuellement négatif.
    Si on accepte cette extension de la notion de suite, alors, oui, on a une bijection entre R et toutes les suites à valeurs dans {0,1}
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Peut-être pas une bijection avec le problème des nombres « 2-décimaux » (c’est moi qui les appelle comme ça).
    Je veux dire :
    1 est le même nombre que 0,111111111...$_{et \ que \ des \ 1}$.

    En effet je ne sais pas comment coder ce chiffre des unités.
  • Soit $S$ l'ensemble des suites à valeurs dans $\{ 0,1 \}$
    On construit deux bijections : $b_1$ de $S$ vers $]0,1[$ et $b_2$ de $]0,1[$ vers $\mathbb{R}$ .

    On prend $b_2(x)=x/(1-x)$ ()par exemple).

    $b'_1$ envoie $(0,0,0,0,\,...)\mapsto(1,0,0,0,\,...)\mapsto(0,1,0,0,\,...)\mapsto(0,0,1,0,\,...)\mapsto(0,0,0,1,\,...)$ etc.
    et $(1,1,1,1,\,...)\mapsto(0,1,1,1,\,...)\mapsto(1,0,1,1,\,...)\mapsto(1,1,0,1,\,...)\mapsto(1,1,1,0,\,...)$ etc.
    et aussi toute autre suite sur elle-même.
    $b'_1(S)$ est l'ensemble $S'$ des suites non constantes.
    Une suite non constante est interprétée comme un programme qui choisit de intervalles :
    $0 \leftrightarrow$ prendre la moitié gauche de l'intervalle, et $1 \leftrightarrow$ prendre la moitié droite de l'intervalle.
    Plus précisément : à partir de $]a,b]$ un 0 choisit $]a,(a+b)/2]$ et un 1 choisit $](a+b)/2,b]$.
    A une suite $s$ donnée $b_1''$ fait correspondre l'intersection des intervalles choisis par $s$, en partant de $]0,1]$.

    L'absence de la suite $(0,0,0,\,...)$ fait que l'intersection n'est pas vide.
    Celle de la suite $(1,1,1,1,\,...)$ fait que 1 n'est pas dans l'image.

    J'espère ne pas m'être trompé.
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