Les Invariants

dig

Bonjour, encore j'ai des questions de curiosité sur la théorie d'Iwasawa que je comprends pas ^^

Soient $k$ un corps de nombres et $k_0=k \subset k_1 \subset k_2 \subset ...$ la tour d'iwasawa associée à la $Z_2$-extension cyclotomique.
(i.e $k_1=k(\sqrt 2)$, $k_2=k\Big(\sqrt{2+\sqrt 2}\Big),\ldots,$ si $\sqrt 2 \notin k$.)

Si $k$ est imaginaire et s'il existe un certain $n$ tel que le $2$-groupe de classe de $k_m$ est cyclique (pour tout $m\geq n$), est-ce qu'il est vrai que
$\lambda=1$ (ou que $\lambda \leq 1$) ?

reuns

Question naïve, à quoi ressemble la ramification de $k_{m+1}/k_m$ et $k_n/k_m$ ?

dig

@reuns
La question est générale.

Mais disons la ramification est totale (ou l'idéal au dessus de $2$ est totalement ramifié).