Équations différentielles couplées

phymat

Bonjour.
Je souhaiterais juste savoir si ma démarche de résolution d'équations est mathématiquement juste.
Il s'agit d'un simple problème de projectile soumis à une force de frottement de la forme suivante : $$
\vec{R} = - \frac{1}{2} \rho S C ||\vec{V}||^{2} \frac{\vec{V}}{||\vec{V}||}.

$$ En partant de $ \sum{ \vec{F} } = m \vec{a} $ et en projetant j'obtiens
\begin{align*}
\dot v_{x} &= - \frac{1}{2m} \rho S C (\sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}) v_{x} \\

\dot v_{y} &= - \frac{1}{2m} \rho S C (\sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}) v_{y} - g,

\end{align*} où $ m, \rho, S $ et $ C $ sont des paramètres physiques du projectile.
Ce qui revient plus généralement à des équations du type $ \dot{x} = f(t,x,y) .$

Je résous ces équations à l'aide la méthode de [large]R[/large]unge-[large]K[/large]utta comme si elles étaient de la forme $ \dot{x} = f(t,x) .$

Est-ce que c'est juste ? Ce qui me dérange c'est qu'il y ait une composante "y" dans l'équation selon "x" et inversement. Je me dis qu'une modification de $ v_{y} $ doit avoir une influence sur $ \dot{x} $ or je ne la prends pas en compte, d’où ma question.
Merci.

[Carl Runge (1856-1927) et Martin Wilhelm Kutta (1867-1944) prennent toujours une majuscule. AD]

YvesM

Bonjour,

Dans cet exercice, tu travailles avec des vecteurs : $du/dt=f(t,u)$ est la forme avec $u$ un vecteur dont les composantes sont la vitesse.

gerard0

Bonjour Phymat.

Aucune des deux équations n'est de la forme que tu dis, et tu l'expliques toi-même ("e qui me dérange c'est qu'il y ait une composante "y" dans l'équation selon "x" et inversement."). Donc tu connais déjà la réponse à ta propre question (*).
La méthode est donc à appliquer, comme le dit YvesM, sous forme vectorielle.

Cordialement.

(*) mais tu rêves que ce ne soit pas ça.

phymat

Merci pour vos réponses. Mes doutes étaient bien fondés alors .

Donc je me retrouve bien avec des équations couplées. Est-ce que vous avez des pistes pour m'aider à résoudre ça ?

Pourquoi Pas

Salut,
Comme disent @gerard0 et @YvesM, tu as un système à coefficients variables à résoudre en posant $u:=\begin{pmatrix}
v_x \\
v_y
\end{pmatrix} $ et par linéarité tu as $\dot{u}=\begin{pmatrix}
\dot{v_x} \\
\dot{v_y}
\end{pmatrix} $.

Alors ton système d'équations couplées donne $\dot{u}=\begin{pmatrix}
\alpha\sqrt{u_1^2+u_2^2}u_1 \\
\alpha\sqrt{u_1^2+u_2^2}u_2
\end{pmatrix}$ avec $\alpha:=-\frac{1}{2m}\rho SC$.

Dans ton cas tu ne peux pas l'écrire comme un système algébrique linéaire du type $\dot{u}=Au$ avec $A$ une matrice. Mais les ode sur Matlab utilisent RK et prennent en charge la notation que j'ai donnée de $\dot{u}$. Regarde par exemple la page de ode45 sur Mathworks lorsque l'équation Van der Pool est traitée.