Dénombrement pour une équipe de handball

Benj_87

Bonjour à tous
J'ai un problème à vous soumettre; j'ai cherché longtemps sans trouver de réponse ou alors je n'ai pas le bon vocabulaire pour cela.

Bref, admettons que je sois coach d'une équipe de handball de 7 joueurs, que je nomme {A,B,C,D,E,F,G}.
Le premier match je leur distribue leurs maillots, mettons {1,2,3,4,5,6,7} dans cet ordre.
Le deuxième match je leur redonne les maillots en leur donnant comme consigne : "faites comme vous voulez à condition de ne pas avoir le même numéro de maillots qu'au premier match".

Combien ont-ils de possibilité ?
Il me semble que on est sur un cas d’arrangements particuliers où l’ordre mais aussi la position dans le 7-uplet a de l’importance.
Comment cela se nomme-t-il ? Et surtout comment calculer cela et par quel raisonnement ?
J’ai essayé à « la main » avec 5 (du basket donc !) je trouve 44, mais je ne sais pas l’expliquer.
Merci pour votre aide.

Héhéhé

En termes mathématiques, tu cherches une permutation sans point fixe, également appelée dérangement. On peut montrer que le nombre de dérangements $D_n$ sur un ensemble à $n$ éléments est donné par
$$D_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$$
On trouve alors $D_5 = 44$ et $D_7 = 1854$.

Pour plus d'informations:
https://fr.wikiversity.org/wiki/Formule_du_crible/D%C3%A9nombrement_des_d%C3%A9rangements
https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_des_rencontres

Benj_87

Super ! Merci Héhéhé
Je connais donc le terme de "dérangement" désormais !