Somme de coefficients binomiaux

Seirios

Bonjour à tous,

En faisant quelques calculs, je suis tombé sur la somme suivante :

$\displaystyle \mathcal{S}_n = \sum\limits_{i=0}^{n-3} \sum\limits_{j=i}^{n-1} \left( \begin{array}{c} j \\ i \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j-i \\ 2 \end{array} \right)$.

Du coup, je me demande s'il y a moyen de l'exprimer de manière "plus simple" ; disons sans signe $\sum$, uniquement avec les opérations algébriques de base.

Cela vous inspire-t-il quelque chose ?

Math Coss

D'après l'OEIS, $S(n)=2^n(n^2 + n + 2) - 1$ (à décalage d'indice près ?).

Seirios

Merci pour le lien ! Il y a même une référence contenant une réponse à la question que je me posais initialement...

LOU16

Bonjour,
Voici une justification, très probablement superflue, de la formule donnée par Mathcoss, qui repose sur des calculs très classiques.

$ \begin {align*}\forall n \in \N \:\text {tel que}\: n\geqslant3,\quad 2S_{n+1} &= \displaystyle 2\sum_{0\leqslant i,j \leqslant n} \binom ji \binom {j-i}2\\ & = \sum_{0\leqslant i,j \leqslant n} \binom ji \Big(j(j-1)-2i(j-1) +i(i-1)\Big )\\&= \sum_{j=0}^n j(j-1)\sum_{i=0}^j \binom ji -\sum _{j=0}^n 2(j-1) \sum _{i=0} ^j i \binom ji + \sum_{j=0}^n \sum _{i=0} ^j i(i-1) \binom ji .\end{align*}$

Avec les égalités $\quad\displaystyle \sum _{i=0}^j \binom ji = 2^j,\quad \sum_{i=0}^j i \binom ji = j\:2^{j-1}, \quad \sum_{i=0}^j i(i-1)\binom ji = j(j-1)\:2^{j-2},\:\:\:$et en exprimant de deux manières la dérivée seconde de $x\mapsto \dfrac {1-x^{n+1}}{1-x} ,\:\:$on obtient: $\:\:2S_{n+1} = \displaystyle \sum _{j=0}^n j(j-1)\:2^{j-2} = 2(2^{n+1} -1) -2 (n+1) 2^n+n(n+1) 2^{n-1}.$

$$\boxed{ S_n = 2^{n-3} (n^2-5n +8)-1.}$$