Compter des triangles — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Compter des triangles

Tour de chauffe.
Le triangle du dessin est le plus petit de son espèce.
Il est acutangle, non isocèle et ses côtés sont des entiers impairs.
Quels sont ces côtés ?

Problème.
Compter le nombre de triangles acutangles
de périmètre $n$ à côtés entiers.87612

Réponses

  • Je ne crois pas que n puisse être impair

    Lol sortir une telle énormité après vingt minutes de calculs dans le noir
  • Le triangle recherché à pour côtés 7 ; 9 et 11

    Pour la formule générale je ne trouve que des formules compliquées avec des sommes mais pas celle qui a été démontrée il y a deux mois...
  • Non, c'est 3,5,7

    Quant à la formule générale, je vais supposer $n=6p$ par flemme de disséquer des cas, mais il suffura de faire quelques ajustements pour le cas où $n$ n'est pas nul modulo 6

    [EDIT FUTUR: dans le calcul de $T_a$ j'ai oublié la condition $b>a$, je vais soit garder cette condition et corriger $T_a$ soit ne pas la garder et diviser par 2 à la fin, en faisant gaffe aux isocèles, mais je le ferai plus tard]

    On suppose $a<b<c=n-(a+b)$

    On note $T_a$ le nombre de triangles acutangles de périmètre $n$ dont le plus petit coté est $a$.

    Le nombre cherché est $\Sigma_{1\leq k<2p} T_a= \Sigma_{1\leq k <p}T_{2k}+\Sigma_{1\leq k<p+1}T_{2k-1}$ (la rîson de cette séPAIRation apParitéra plîtard)

    $T_a$ est le nombre de $b>a$ qui vérifient $ b<n-(a+b)=c$ (non isocéle) et $c=n-(a+b) <a+b$ (inégalité triangulaire)

    Autrement dit c'est le nombre d'entiers $b$ qui vérifient $n-2a<2b<n-a$,

    On a donc pour tout $k$ dans $[1,p[$,

    $T_{2k}=T_{2k-1}=k-1$ ,

    En subtituant dans la formule où j'ai fait le jeu de mot avec séPAIRation, on peut dire que nombre d'acutangle de périmètre $6p$ est : si je n'ai pas fait de faute dans les indices et tout ça :

    $(p-1)(p-2)/2+p(p-1)/2=(p-1)^2$
  • Bonjour,

    $3,5,7$ n'est pas acutangle ($9+25<49$)
  • Bonjour depasse,

    Désolé, (pour la "froideur" de surcroit, car en plus j'ai oublié en relisant de mettre "il le semble") j'ai cru qu'acutangle signifiait non isocèle, (confondu virgule et deux points)
    Du coup ce que j'ai ecrit avant répond (avec une faute) à une autre question (bingo de la loose)
  • Bonsoir,

    Pas sûr que ça puisse être utile ici mais, dans le Comtet, tome 1, page 88, il est écrit:

    "Le nombre de triangles (inégaux) dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et dont le périmètre est $n$ vaut

    $\lfloor \frac{1}{48} (n^2+3n+21+(-1)^{n-1}3n\rfloor$".

    Amicalement

    Paul

    Edit: à l'évidence il manque une fermeture de parenthèse dans la formule. C'est la première fois que je trouve une coquille dans ce superbe livre!
  • Je relance.

    Il vaut mieux, je pense, utiliser $(x,y,z)$ tels que
    $y+z=a \quad z+x=b \quad x+y=c$ d'où $x=p-a$, $y=p-b$, $z=p-c$, où $p$ est le demi-périmètre
    (un classique). Les inégalités triangulaires et les côtés différents
    se traduisent par $x$, $y$, $z$ distincts et strictement positifs. Un gros souci de moins.
    On pose $0<x<y<z$.

    Le périmètre $2p$ est impair, donc $p$, $x$, $y$, $z$ sont d'authentiques demi-entiers,
    $x=u+1/2$, $y=v+1/2$, $z=w+1/2$, $0<u<v<w$.

    Le plus grand côté est $a$, le triangle est acutangle ssi...

    Impasse un peu plus loin.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!