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Question sur la k-connexité d'un graphe

Bonjour

Si un graphe G est $k$-connexe pour $k > 0$ et si $e$ est une arête de $G$, je ne comprends pas comment établir l'inégalité $$
K(G\setminus \{e\}) \leq K(G),
$$ où $K()$ désigne le degré de connexité d'un graphe et $G\setminus \{e\}$ le graphe $G$ amputé de l'arête $e$
Quand $G$ est non connexe ou bien complet je sais établir cette inégalité mais sinon je ne vois pas par où commencer.
Merci pour vos réponses

Réponses

  • Après réflexion, je propose cette démonstration:
    Si $G\setminus \{e\}$ est non connexe alors l'inégalité est immédiate car $K(G\setminus \{e\}) = 0$ donc je suppose la connexité de ce graphe
    Il existe un ensemble $S$ de sommets de $G$ de cardinal $K(G)$ qui sépare G (c.a.d G\S est un graphe non connexe)
    mais alors il faut distinguer deux cas:
    Soit $S$ contient l'une des extrémités de $e$ mais alors $S$ sépare $G\setminus \{e\}$.
    Soit $S$ ne contient aucune des extrémités de $e$ et alors $e$ est une arête de $G\setminus \{e\}$ et ses extrémités sont dans la même composante connexe de $G\setminus \{e\}$ et $(G\setminus \{e\})\setminus\{S\}=(G\setminus \{S\})\setminus\{e\} $ n'est pas connexe (ôter une arête d'un graphe non connexe ne le rend pas connexe)
    Conclusion $S$ sépare bien $G\setminus \{e\}$ donc $K(G\setminus \{e\})\leq K(G)$

    J'ai utilisé dans cette démonstration la commutativité des opérations de suppression d'arêtes et de sommets mais je m'aperçois que je ne sais pas la démontrer : quelqu'un aurait-il une idée ?
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