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Applications linéaires continues, normes - agregInt : 266

Bonjour
Dans la leçon 266 : "Applications linéaires continues, normes associées. Exemples.", le résultat :
Si $F$ est un Banach, $\mathcal{L}_c(E,F)$ est un Banac,
est-il un développement possible ?
Merci.

Réponses

  • Modifié (11 Apr)
    Bonjour
    Cela me semble un développement d'un niveau très faible.
    Par ailleurs, le candidat proposant un tel développement s'expose à la question suivante : "La réciproque est-elle vraie ?".
  • Bonjour,

    J'avais prévu le meme développement. Il y aurait quoi à développer sinon ? En fait je n'ai pas préparé cette leçon, j'avais juste prévu un développement car effectivement cette leçon ne me paraissait pas tres dure et je me suis concentrée sur les autres.
    Pour celle d'oral 2 qui lui correspond, je n'ai rien pour le moment aussi.
    Quelqu'un aurait une idée ?

    Merci.
  • Je ne partage pas ce point de vue de la faiblesse de ce développement pour l'interne.

    Si ce n'est peut-être pas le développement le plus amusant qui soit, il est loin d'être scandaleux, il est tout à fait au niveau du concours.

    Je connais plusieurs cas (ce qui prouve que l'ensemble est non vide !) de personnes ayant eu d'excellentes notes (y compris à l'externe) - au moins égales à 18 - à des oraux avec des développements de ce niveau.

    Ce qui est important, c'est que le développement ne soit pas une trivialité élémentaire, soit au niveau de la leçon , pas hors sujet ou téléguidé, et soit parfaitement maitrisé. Typiquement là c'est bien d'expliquer les différentes étapes pour montrer que l'on a compris les enjeux, la différence entre la convergence simple et la convergence au sens de la norme ... Avoir compris ce développement, c'est être capable de le refaire même en étant bourré, ses étapes sont raisonnables : on commence par fabriquer une limite simple car c'est plus facile. Il faut après se convaincre que la limite simple est linéaire et continue (il me semble que si on manque de temps, on peut dire au jury que la linéarité passe à la limite simple sans preuve, mais être capable de le faire si le jury le demande), mais la continuité il faut le faire (ceci ne passe pas à la limite simple en général), puis montrer que l'on a convergence au sens de la norme.


    Si c'est un peu court pour tenir en 15 min, je rajouterais une application (on peut, par exemple, penser à l'existence de l'exponentielle d'une application linéaire continue à valeurs dans un Banach. La série va être AC et donc convergente car l'espace est complet en vertu du résultat) ; mais attention, faire cette application va amener le jury sur des questions pourquoi la CV absolue entraîne la CV dans un Banach (et on peut savoir que réciproquement si toute série ACV est CV c'est que l'espace est complet), sur l'exponentielle, etc. Si vous ajoutez un tel exemple, il faut donc être à l'aise pour répondre à cela.


    Ce qui gêne le plus le jury, c'est un développement pompé quelque part, appris par coeur, pas vraiment compris, et souvent nettement au dessus du niveau de la leçon ou du candidat.
  • Est ce que le développement "normes équivalentes en dimension finie " peut convenir (comme proposé dans le livre de Karmati ) ou alors celui sur proposé ci dessus : "Si F est un Banach, Lc(E,F) est un Banach " ?
    Merci.
  • Je pense que c'est le développement de base. Je le garderais sous le coude pour des questions du jury et en proposerais un autre. Pour avoir vu plusieurs oraux, j'ai vu celui-ci plusieurs fois. A minima, il faut l'étoffer un peu en montrant que ce n'est pas le cas en dimension infinie. 
  • Modifié (11 Apr)
    Nolive,tu parles du développement normes équivalentes?
    Je ne sais pas trop lequel faire,sans doute celui "Banach"
  • Oui. Je ne me rappelle plus ce que j'avais en réserve. Il faudrait que j'aille dans ma vieille paperasse.
    En fait, ça dépend où tu en es dans ta préparation. Si tu as déjà plusieurs leçons complètes, tu peux te permettre d'en étoffer quelques-unes avec des développements plus originaux (rien n'interdit d'en proposer plusieurs et d'en choisir un). Sinon, il vaut mieux rester à un niveau raisonnable mais solide. Un bon développement sur les normes équivalentes, en préparant des exercices sur la leçon d'exercices correspondant, ça doit permettre d'avoir un bon bagage pour répondre aux questions du jury et assurer une note honorable. 
  • Merci nolive.
  • C'est la leçon que j'ai choisie l'an dernier. En remaniant un peu celle du Kieffer avec pour développement le gros théorème de la leçon avec les 8 implications (j'en  ai démontré 4 sur les 8, les autres étant annoncées évidentes à l'oral) j'ai eu une bonne note. Je n'ai plus le livre sous les yeux.
    Mais bon ce n'était pas une leçon sur laquelle je voulais tomber 😉.
  • Le développement de Karmati sur les normes équivalentes propose la réciproque. Le théorème direct est court pour un développement.
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