Compléments olympiades 2019
Bonjour à tous
En m'inspirant des olympiades de math 2019. J'ai cherché une formule générale donnant le cardinal de E(p)=C(E(p))
E(p) est l'ensemble des triangles non aplatis de périmètre p.(on considère comme dans le sujet des triplets (x,y,z) avec x<=y<=z et x+y>z)
Je pense avoir trouvé: Il y a trois ingrédients:
1) Comme dans l'épreuve, on utilise le théorème de Pick. Pour pouvoir l'utiliser, p doit être égal à 6 mod 12.
On montre dans ce cas que C(E(p))=(p^2+12)/6
2) On trouve une formule donnant C(E(p+4)) en fonction de C(E(p))
On peut mettre en bijection E(p) et E(p+4) privé des couples (x;y,z) avec y=z
3) On trouve une formule donnant C(E(p+3)) en fonction de C(E(p))
On peut mettre en bijection E(p) et E(p+3) privé des triplets (x;y,z) avec x+y-1=z ou x=1
J'ai pas tout noté car la marge est trop petite;-)
Si ça intéresse quelqu'un je peux scanner mes papiers à mon retour de vacances.
Dans mon code
cardinal_avec_boucle(perimetre) donne ce cardinal en faisant des boucles et en testant.
La fonction cardinal_E(p): donne ce cardinal en faisant un simple calcul. J'ai vérifié que les formules étaient bonnes jusque 500.
Bien cordialement
Robert
En m'inspirant des olympiades de math 2019. J'ai cherché une formule générale donnant le cardinal de E(p)=C(E(p))
E(p) est l'ensemble des triangles non aplatis de périmètre p.(on considère comme dans le sujet des triplets (x,y,z) avec x<=y<=z et x+y>z)
Je pense avoir trouvé: Il y a trois ingrédients:
1) Comme dans l'épreuve, on utilise le théorème de Pick. Pour pouvoir l'utiliser, p doit être égal à 6 mod 12.
On montre dans ce cas que C(E(p))=(p^2+12)/6
2) On trouve une formule donnant C(E(p+4)) en fonction de C(E(p))
On peut mettre en bijection E(p) et E(p+4) privé des couples (x;y,z) avec y=z
3) On trouve une formule donnant C(E(p+3)) en fonction de C(E(p))
On peut mettre en bijection E(p) et E(p+3) privé des triplets (x;y,z) avec x+y-1=z ou x=1
J'ai pas tout noté car la marge est trop petite;-)
Si ça intéresse quelqu'un je peux scanner mes papiers à mon retour de vacances.
Dans mon code
cardinal_avec_boucle(perimetre) donne ce cardinal en faisant des boucles et en testant.
La fonction cardinal_E(p): donne ce cardinal en faisant un simple calcul. J'ai vérifié que les formules étaient bonnes jusque 500.
Bien cordialement
Robert
from pylab import plot,show,close # E(p) ensemble des triangles non aplatis de périmètre p # C(E(p))=cardinal de E(p) def test_triangle_non_aplati(x,y,z): if x+y>z: return True else: return False def E(perimetre): X=[] Y=[] for x in range (1,perimetre//3+1): for y in range (max(perimetre//2-x+1,x),(perimetre-x)//2+1): if test_triangle_non_aplati(x,y,perimetre-x-y)==True: X=X+[x] Y=Y+[y] return X,Y def cardinal_avec_boucle(perimetre): """ retourne C(E(p)) en faisant des boucles avec des tests""" return len(E(perimetre)[0]) def cardinal_E(p): """ retourne C(E(p)) en faisant un petit calcul""" beta=p%12 alpha=p//12 if beta==0: return 3*alpha**2 if beta==1: return 3*alpha**2+2*alpha if beta==2: return 3*alpha**2+alpha if beta==3: return 3*alpha**2+3*alpha+1 if beta==4: return 3*alpha**2+2*alpha if beta==5: return 3*alpha**2+4*alpha+1 if beta==6: return 3*alpha**2+3*alpha+1 if beta==7: return 3*alpha**2+5*alpha+2 if beta==8: return 3*alpha**2+4*alpha+1 if beta==9: return 3*alpha**2+6*alpha+3 if beta==10: return 3*alpha**2+5*alpha+2 if beta==11: return 3*alpha**2+7*alpha+4 def verification(p): n=3 while cardinal_avec_boucle(n)==cardinal_E(n) and n<=p: n=n+1 if n==p+1: print("programme vérifiée jusque ",p) else: print("erreur pour ",n-1) verification(500) ##print(nombre_de_triangles(p)) ##plot(E(p)[0],E(p)[1],'+') ##show() ##close()
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour un périmètre impair (exemple : $p=13$)
(1) Lister les décompositions de $p$ en somme de trois impairs (1ère matrice)
(2) Pour chaque décomposition, lister les sommes de deux des trois termes (2e matrice)
$\quad$ Exemple, 2e ligne : $(1,3,9)$ donne $(1+3,1+9,3+9)=(4,10,12)$
(3) Diviser tout par $2$ (3e matrice).
Il faut donc compter le nombre de décompositions de $p$ en somme de trois impairs.
Pour $p$ pair on commence par décomposer $p$ en somme de trois pairs non nuls,
i.e. $p/2$ en somme de trois nombres sans restriction.
il y a une faute pour le 1) c'est $\dfrac{p^2+12}{48}$ quand $p$ est congru à $6$ modulo $12$.
Dans le cas général il existe une formule très simple: $C(2n)=C(2n-3)$ est l'entier le plus proche de $\dfrac{n^2}{12}$.
C'est la suite A5044 de l'OEIS.
@ jandri oui désolé tu as raison j'avais mal recopié. merci pour le lien. Je ne connaissais pas
@ soland : merci, je ne connaissais pas non plus. Sympa cette méthode.
Robert