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Un résultat étonnant

Bonsoir,

voici un résultat intéressant je trouve. Saurez-vous le montrer ?:-)

Soient $a(n)$ le nombre de coefficients binomiaux dans la $n$-ème ligne du triangle de Pascal congruents à $1$ modulo $3$ et $b(n)$ le nombre de ceux qui sont congruents à $2$ modulo $3$. Prouver que $a(n)-b(n)$ est une puissance de $2$.

Réponses

  • Il y a une autre propriété qui semble être vraie:
    1
    1 1
    1 2  1
    1 3  3   1
    1 4  6   4  1
    1 5 10  10  5  1
    
    Si on se place dans une colonne qui n'est pas composée que de 1 : si on choisit un nombre dans une colonne, le nombre qui est trois étages plus bas (s'il existe) dans la même colonne a le même reste modulo 3 que le nombre initial.

    Par exemple, si on considère dans la deuxième colonne, le nombre $1$: trois étages plus bas on a le nombre $4$ et ces deux nombres sont congrus modulo $3$
  • Effectivement, ça semble fonctionner c'est assez joli. Ça ne nous avance pas énormément mais c'est intéressant !
  • Voyez : Andy Liu, Solution au Problème 2, Crux Mathematicorum, 17 (1991), page 5-6 :http://pds13.egloos.com/pds/200904/04/93/a0100793_crux1991-all.pdf
  • Cela permet, me semble-t-il, d'obtenir:
    $a(n)$ le nombre de coefficients de la $n$-ième ligne qui sont congrus à $1$ modulo $3$
    $b(n)$ le nombre de coefficients de la $n$-ième ligne qui sont congrus à $2$ modulo $3$
    $c(n)$ le nombre de coefficients de la $n$-ième ligne qui sont congrus à $0$ modulo $3$

    (en connaissant ces mêmes nombres mais pour la ligne $n-1$)

    Cidrolin: ton lien est "pourri". Je pense qu'on ne peut pas directement accéder à ce document.

    PS:
    Il me semble qu'on a:
    \begin{align}a(n)&=c(n-1)+2\\
    b(n)&=a(n-1)-1\\
    c(n)&=b(n-1)\\
    \end{align}
  • Le lien ne fonctionne pas chez moi...
  • Je pense que Cidrolin parlait de ça:

    https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v17n01_Jan.pdf (pages 5-6)

    (mais la question est différente, moins précise si j'ai bien lu)
  • L'énoncé s'en rapproche effectivement mais il reste tout de même plus vague que celui-là.
  • C'était pour faire avancer le Schmilblick. Voir aussi le second commentaire de https://oeis.org/A120880
  • @Cidrolin Je t'avoue avoir du mal à m'y retrouver dans le dernier lien que tu as donné:-(
  • Bonsoir,
    Il est difficile ici de ne pas faire appel à un théorème attribué à Lucas qui dit que:
    Si $n,k \in \N,\:$ et si $\:p$ est un nombre premier, alors $\boxed{ \displaystyle \binom nk \equiv \prod_{i=0}^s \binom{a_i}{b_i} \:\mod p}\:$ où $n = \displaystyle \sum_{i=0} ^s a_i p^{i},\:\: k=\sum_{i=0}^s b_i p^{i},\:\: a_i,b_i \in [\![0;p-1]\!], \:\:$ sont les écritures de $n$ et $k$ en base $p$.
    Cette conguence s'obtient, par exemple, en comparant les coefficients de $X^k$ dans les membres de l'égalité suivante, écrite dans $(\Z/p\Z)[X]$:
    $ \:\; \displaystyle (X+1) ^n = \prod_{i=0}^s\left( (X+1)^{p^{i}}\right) ^{a_i}= \prod_{i=0}^{s} (X^{p^{i}}+1) ^{a_i}$


    Soient $n, k \in \N$, écrits comme dans le préambule en base $3$.
    Je note: $U = \Big\{i \in [\![0;s]\!]\:\mid a_i =0\Big \};\:\: V = \Big\{ i \in [\![0;s]\!] \:\mid a_i =1\Big\}; \:\:\: W=\Big\{i\in [\![0;s]\!]\:\mid a_i = 2 \Big\};\: \:v = \text{Card}V; \: \:w = \text{Card}W.$
    A l'aide du résultat précédent, on obtient l'équivalence
    $\displaystyle \binom nk \equiv 1 \mod 3 \iff \forall i \in U\: \:\:b_i =0;\: \forall i \in V \:\:\:b_i =0$ ou $1;\:\: \text{Card} \{ i \in W \mid b_i = 1 \} \:\text{ est pair}\:\:\:\:\:\:$ d'où l'on déduit:
    $ \displaystyle A_n := \text{Card}\left\{ k \in \N \mid \binom nk \equiv 1 \mod 3\right\} = 2 ^v \sum _{j\: \text{pair}} \binom wj 2^{w-j}$ et, de la même façon:
    $\displaystyle B_n :=\text{Card}\left\{ k\in \N \mid \binom nk \equiv 2 \mod 3 \right \} = 2^v\sum _ { j\: \text{impair} }\binom wj 2 ^{w-j}$.
    Alors $A_n -B_n = \displaystyle 2^v\sum _{j=0}^w (-1)^j \binom wj 2 ^{w-j} = 2^v$.$\:\:\:\:\:\boxed {A_n -B_n= 2^v \: \text{ où v est le nombre de 1 que contient l'écriture en base 3 de n }}$
  • Bravo, si ce n'est que je n'ai pas bien saisi comment tu obtenais la formule pour $A_n$... ( le cas de $B_n$ étant analogue)Pourrais-tu détailler si ça ne t'embête pas ?
  • @ Un Nain Capable

    $A_n$ est le nombre de $s+1$-uplets $(b_0, b_1,...b_s) \in \{0,1,2\}^{s+1} $ tels que $i \in U \implies b_i =0, \:\: i\in V \implies b_i \in \{0,1\} $ et $ \text{Card} \{i\in W \mid b_i =1\} $ est pair.
    Il y a donc:
    $\bullet\:\:1$ façon de choisir les $b_i$ avec $i \in U$
    $ \bullet\:\:2^v $ façons de choisir les $b_i$ avec $i\in V$
    $\bullet\:\: \sum_{j \text {pair}} \binom wj 2^{w-j}$ façons de choisir les $b_i$ avec $i \in W$. (on choisit une partie de $W$ de cardinal pair pour placer les $1$, et on "occupe" les $w-j$ "places disponibles" avec des $0$ ou des $2$).
  • @ Cidrolin Entendu, j'ai compris, merci et bien joué !
  • C'est à LOU16 qu'il faut dire :(tu)
  • Oula oui, je me suis emmêlé...
  • Malheureusement la propriété que je croyais avoir repérée est fausse :-(:

    $\binom{8}{3}=56$ et $\binom{5}{3}=10$ la différence est $46$ qui n'est pas multiple de $3$
  • Comme quoi, nos intuitions nous trompent parfois;-)
  • Bonjour,

    Voici un problème inspiré de ce qu'a dit fdp. Lorsque $k > n$, on pose $\binom{n}{k} = 0$. Soit $n \in \N$. Montrer que $n \mapsto \sum_{i=0}^\infty \left[ \binom{n}{3i+1} - \binom{n}{3i+2} \right]$ suit le cycle $0,1,1,0,-1,-1$.

    On peut calculer plus généralement $\sum_{i=0}^\infty \binom{n}{ki+j}$ en fonction de $n$, $k$ et $j$, mais la technique se simplifie dans ce cas particulier.
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