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Coefficient binomial, produit

Bonjour à tous, étant actuellement en train de lire mon cours de théorie des groupes, je me heurte à un lemme dont la démonstration m'échappe, du moins un tout petit passage de celle ci que voilà :

Il s'agit de montrer que le coefficient binomial : $\binom{p^nq}{p^n} \equiv q \quad \pmod p$

Seulement voilà, après l'écriture factorielle, le cours passe directement le coefficient binomial sous la forme d'un produit mais dont la justification m'échappe et qui n'est pas donnée (peut être immédiate mais je ne la vois pas) : $$

\frac{(p^nq)!}{p^n!(p^n(q-1))!} = \prod_{i=1}^{p^n} \frac{p^n(q-1) +i}{i}.

$$ Ce passage en particulier m'échappe totalement, j'ai bien essayé une simplification "à la main" en décomposant chaque terme, mais rien n'y fait, je comprends la forme du dénominateur, mais alors par quel moyen on a simplifié l'expression pour obtenir le numérateur ? Je ne vois pas, merci de vos réponses.

Réponses

  • Je ne sais pas si c'est pertinent dans le cas d'espèce mais quand on est confronté à une formule dans laquelle la seule variable est un entier (ici $n$) une récurrence peut souvent permettre de démontrer cette formule.
  • Oui ! Très bonne idée je vais essayer tout de suite, merci
  • Bonsoir
    Sinon, tu écris la formule pour $n=1$ puis $2$, puis $3$ ... et tu vois comment sont organisés les différents termes.
    Alain
  • Peut-être que p et q sont des nombres premiers ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • C'est $p$ qui doit être un nombre premier, pour $q$ ce n'est pas utile.

    L'égalité proposée s'obtient tout simplement en simplifiant par $(p^n(q-1))!$.
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