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Intégrale de Serret

Dans plusieurs publications anglo-saxonnes on voit attacher cette dénomination à l'intégrale suivante:\begin{align}I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,dx\end{align}En fait cette dénomination est, en partie, usurpée.
Les auteurs anglo-saxons donnent bien la bonne référence sur l'article de Serret (1844) qui donne une méthode de calcul très simple pour calculer cette intégrale: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16388p/f442n1.capture
Mais que lit-on dans l'introduction de cet article?
"La valeur de cette intégrale, donnée par M. Bertrand dans le précédent volume de ce journal (...)".
Et en effet, on trouve trace de cet article de 1843:
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1843_1_8_A7_0.pdf
Il y est exposé une méthode de calcul de cette intégrale (mais qui n'est pas simple).

PS:
J'ignore comment est venue à Bertrand (je pense que c'est "notre" Joseph Bertrand) l'idée de calculer cette intégrale.
Une question posée par un autre mathématicien? Aucune idée.

Réponses

  • Bonjour,

    C'est intéressant. Effectivement : "Intégrale de Bertrand" car mise en lumière par un certain J. Bertrand (mais ce n'est cependant pas une intégrale de Bertrand...) ? "Intégrale de Bertrand-Serret" pour la méthode expéditive (je n'avais jamais vu ce calcul, merci !) ? "Intégrale de Serret", bon...
  • Je soupçonne fortement que ce J. Bertrand est celui-ci:
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Bertrand

    Il avait 21 ans en 1843.

    L'article de Serret qui répondait au sien a sans doute du l'agacer. La solution de Serret est infiniment plus simple que celle de Bertrand MAIS, dans l'article de J. Bertrand on peut lire:

    "Cette intégrale n'était pas connue, je crois. On pourrait l'obtenir de plusieurs manières; J'ai choisi la précédente parce qu'elle repose sur une méthode nouvelle d'intégration qui pourra être utile dans certains cas."

    De là à penser qu'il n'ignorait pas qu'il y a une solution simple, il n'y a qu'un pas.
    La structure de l'article commence par exposer la méthode qu'il veut employer. Puis, il l'applique à l'intégrale dite de Serret.
    Il faudrait chercher quand on trouve trace de cette dénomination pour la première fois dans la littérature.
    Je soupçonne qu'on trouve pour la première fois cette dénomination dans le livre de Paul J. Nahin, Irresistible integrals.
    (mais cela reste à vérifier)
  • J'ai trouvé une référence de 1888 qui cultive l'idée que Serret serait le premier à avoir publié une preuve de cette égalité.

    H. Laurent, Traité d'analyse, Tome III: Calcul intégral: intégrales définies et indéfinies (Paris: Gauthier-Villars, 1888)
    P 144 ( https://projecteuclid.org/euclid.chmm/1437148065 )
  • Bertrand est le deuxième de cette liste : https://www.wikiwand.com/en/List_of_misnamed_theorems mais pas pour une intégrale.
  • Merci pour cette liste. Dans cette liste il y a un autre exemple de résultat qui est nommé d'après l'auteur d'un article bien que celui-ci ait indiqué de qui il le tenait.
  • Modifié (10 Feb)
    Voilà traduite, j'espère sans erreur, la formule intégrale utilisée par J. Bertrand dans l'article susmentionné dans le premier message:
    \begin{align}\int_0^x \psi(t,t)dt&=\int_0^x \psi(t,x)dt-\int_0^x \left(\int_0^t \frac{d\psi(u,t)}{dt}du\right)dt\end{align}
    NB: j'ai eu la paresse de dériver cette formule pour la vérifier mais j'ai fait quelques applications numériques à l'aide de GP PARI pour voir si elle était correcte, et cela semble être le cas.
  • Modifié (10 Feb)
    C'est imédiat si tu connais le résultat
    $\frac{d}{dt}\int_0^tf(x,t)dx=\int_0^t\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)dx~+~f(t,t)$.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
  • Modifié (10 Feb)
    Merci Gebrane.
    Ce serait sympa de trouver d'autres applications de cette formule.
  • Modifié (9 May)
    Bonjour

    Soit donc l’intégrale de Serret : $I=\int_0^1\frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx$ 

    dont la convergence ne pose pas de problème. 

    On a intérêt au passage aux fonctions trigonométriques

    On pose $x = tant$      soit     $dx = (1 + tan^2t)dt$      et donc :

    $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(1+tant)dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost+sint)dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$

    soit $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}ln[\sqrt{2}cos(t-\frac{\pi}{4})]dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$

    et donc $I=\frac{\pi}{2}ln2 + \int_0^{\frac{\pi}{4}}lncos(t-\frac{\pi}{4})dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$

    et en posant $t=\frac{\pi}{4}-u$  doit  $dt = – du$

    on constate que la différence des deux dernières intégrales est nulle et donc :

    $I=\int_0^1\frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx = \frac{\pi}{8}ln2$

    Cordialement.

  • Modifié (9 May)
    Sans doute le calcul le plus rapide (il n'utilise qu'un seul changement de variable):
    \begin{align}J&=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\\
    &\overset{u=\frac{1-x}{1+x}}=\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac{2}{1+u}\right)}{1+u^2}du\\
    &=\ln 2\underbrace{\int_0^1 \frac{1}{1+u^2}du}_{=\frac{\pi}{4}}-J\\
    J&=\boxed{\frac{\pi}{8}\ln 2}
    \end{align}
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