Possibilité de tracer un graphe.

Anas Mourahib

Bonjour
En train d'étudier le cours d'analysé complexe, je me suis posé la question suivante. Est-ce que je peux tracer une fonction à variable et à valeurs complexes ?
Ceci revient à tracer une fonction de R² vers R².

Je pense que non car 2+2 dépasse 3 qui est la plus grand dimension sur laquelle on peut tracer une fonction.

Je me pose la proposition suivante.
Pour une application de Rⁿ vers R^m, on ne peut tracer son graphe que si n+m<=3

Je souhaite savoir si cette proposition est vraie ou non.
Cordialement.

Math Coss

La notion de « tracé » n'est pas encore mathématique, je ne sais pas trop interpréter ton énoncé.

Cependant, on peut représenter une fonction holomorphe dans un plan en jouant sur les couleurs : on met un pixel au point $z$ d'une teinte qui dépend de l'argument de $f(z)$ et dont la valeur et la saturation dépendent de son module (plus c'est blanc, plus le module est petit ; plus c'est noir, plus le module est grand). Voir par exemple la figure Wikipedia de la fonction zêta

Anas Mourahib

@Math coss, ce que je veux dire par tracer le graphe d'une fonction f est joindre les points {(x,f(x)) , x du domaine de définition de f }, je pense que "tracer"le graphe est différent de "représenter" une fonction.

Merci pour votre réponse.

Math Coss

Je suis bien d'accord que j'ai répondu à côté...

babsgueye

Je ne vois pas pourquoi tu as répondu à coté @Math Coss. Je ne vois pas sinon la différence entre ''tracer'' un graphe et 'représenter'' une fonction ?

lourrran

Tu dis que 3 est la plus grande dimension sur laquelle on peut tracer une fonction.

On peut préciser cela ? Je pense que quand on aura bien décortiqué cette phrase, on aura BEAUCOUP avancé.

gerard0

Rappel :

La "courbe" (le graphe) d'une fonction $f$ de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^m$ existe bien (pour $m>0$ et $n>0$), c'est une partie de $\mathbb R^n\times \mathbb R^m$, l'ensemble des $\big(x,f(x)\big)$ pour tous les $x\in \mathbb R^n$ tels que $f(x)$ existe.

Par contre, quand on parle de représenter $f$, il ne s'agit plus de mathématiques, mais de problème concret. De tracé au crayon ou à l'encre sur du papier, ou de pixels sur un écran. Déjà, dans ce sens, on ne sait pas "représenter" la plupart des fonctions numériques ($n=m=1$); en exemple, la fonction caractéristique de $\mathbb Q$.
Nos supports de représentation étant en 2 dimensions, on bloque déjà pour bien voir des fonctions simples à deux variables, les logiciels de géométrie 3d permettant de mieux voir. Au delà, je ne connais personne qui "voit" en quatre dimensions (ce qui est nécessaire pour une fonction complexe d'une variable complexe). Même si on peut sectionner un graphe en 4 dimensions par un hyperplan et faire défiler les sections pour un peu comprendre.
Dans ce sens, j'appuie l'idée que dès qu'on dépasse 3 dimensions, il faut une autre forme de représentation, ou s'en passer.

Cordialement.

Math Coss

Une autre option que la section, c'est la perspective.

Exercice concret : en quel sens est-ce que l'arche de la Défense est une perspective d'un cube de dimension quatre ?