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Nombre de triangles

Bonjour à tous

Une question simple qui aura j'espère une réponse simple , personnellement je n'y vois rien .

Un polygone convexe à n sommets avec i points intérieurs est partitionné en triangles ne contenant aucun des i points à l'intérieur .

Le nombre de triangle dépend-il de la partition ?

Merci d'avance pour vos réponses .

Domi

PS : on suppose que trois des points considérés ne sont jamais alignés .84038

Réponses

  • Prenons les n points extérieurs, et 1 seul point intérieur. On a en général une solution triviale : relier le point central aux n sommets extérieurs. Et donc n triangles.
    Pour chaque autre point intérieur, ce point est dans un triangle. on divise donc le triangle en question en 3 sous-triangles.
    On a donc via cette méthode $n + 2(i-1)$ triangles.

    Chaque quadrilatère constitué de 2 triangles peut être découpé d'une autre façon, en remplaçant la diagonale actuelle par l'autre diagonale. Mais ça ne change pas le nombre de triangles.
    Je n'ai pas la démonstration, mais j'ai la conviction que le nombre de triangles est fixe, et vaut $n+2(i-1)$
  • J'avais la même réponse en reliant un sommet choisi de l'enveloppe convexe à chaque autre puis en poursuivant comme tu le fais , mais ça n'explique pas l'unicité du nombre de triangles .

    Domi
  • Soit $T$ le nopmbre de triangles. Monsieur Euler nous dit que
    $$S-A+F=2\;,$$

    $$\begin{aligned}
    S&=n+i\\
    A&=n+\frac12(3T-n)\\
    F&=T+1
    \end{aligned}$$
  • C'est clair sauf pour $A=n+\frac 12(3T-n)$ .

    Domi
  • Chaque triangle a trois côtés ;-). Par ailleurs il y a les côtés du polygone convexe, et les arêtes intérieures partagées par deux triangles.
  • D'accord :-D

    Domi
  • Salut.

    A noter peut-être que $T$ est le nombre de triangles $-1$.
  • Bonjour Babacar,

    Non, j'ai défini $T$ comme étant le nombre de triangles (sinon, pourquoi l'appeler $T$ ?). Le nombre $F$ de faces est égal à $T+1$.

    Bon dimanche
  • Mes excuses !T'as raison, j'avais fait un calcul mental.
  • On résout par rapport à $S,F,A,T$ le système

    $S=i+n$
    $F=T+1$
    $2A=3T+n$
    $S+F=A+2$
    Comme GABUZOMEU.

    AJOUT :
    On trouve $T=2i+n$ .
    Réponse indépendante de la partition.
  • Bonjour Soland,

    Tu devrais éditer ton message une fois de plus pour corriger ta solution.
    Soland a écrit:
    On trouve $T=2i+n$ .
    (Vérification : $n=3$, $i=0$)
  • Non @soland, je trouve $T = 2i + n - 2$.
  • Tu as raison; étourderie.
    On peut le prouver par récurrence :
    On part avec un triangle sans point intérieur.
    En rajoutant un point sur le bord que l'on relie au sommet du triangle idoine
    on détruit un triangle et on en ajoute deux.
    En rajoutant un point intérieur que l'on relie aux sommets du triangle qui le contient
    on détruit un triangle et on en ajoute trois.
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