Graphes de Cayley planaires

Poirot

Bonjour,

Une petite question amusante que je me pose : sait-on caractériser les groupes finis dont au moins un graphe de Cayley est planaire ? Je rappelle que si $G$ est un groupe fini et $S$ une famille de générateurs de $G$, alors le graphe de Cayley associé à $(G,S)$ est le graphe qui a pour ensemble de sommets $G$ et tels que $(g,h)$ est une arête s'il existe $x \in S$ tel que $gx=h$. Si on suppose le système $S$ symétrique (c'est-à-dire que si $x \in S$ alors $x^{-1} \in S$) alors ce graphe est symétrique dans le sens où s'il y a une arête $(g,h)$ alors il y a également l'arête $(h,g)$.

Merci d'avance pour vos réponses.

Seirios

Salut,

Oui, une classification existe. Je ne me rappelle de la référence, mais j'ai trouvé dans ces slides la référence à l'article suivant :

Maschke, The Representation of Finite Groups, Especially of the Rotation Groups of the Regular Bodies of Three-and Four-Dimensional Space, by Cayley's Color Diagrams, American Journal of Mathematics Vol. 18, No. 2 (Apr., 1896), pp. 156-194.

Je n'ai pas vu le résultat en jetant un coup d’œil rapide à l'article, donc je te laisse fouiller :-D.

Math Coss

Eh beh ! Pour vous économiser deux minutes, sachez l'auteur est Carl Droms d'après ça.

Poirot

Merci pour la référence Seirios :-)

@Math Coss : ma question portait sur les groupes finis, visiblement le résultat de Droms concerne des groupes infinis.

Math Coss

Certes, ça n'empêche pas de citer le nom de la personne qui a fait ces beaux slides et qui pointe vers Maschke plus d'un siècle avant lui, que j'ai seulement diagonalisés mais qui m'ont plu. D'habitude il est sur les transparents mais là, je n'en vois pas de trace dans le fichier.