Bijection entre P(ExE) et F(E,P(E))

Daryna D.

Bonjour
Besoin d'un coup de pouce pour répondre à la question.

Soit E est un ensemble fini de cardinal n. Existe-t-il une bijection entre l'ensemble des toutes les parties de l'ensemble de couples ExE ( P(ExE) ) et l'ensemble des toutes les applications de E dans l'ensemble des parties de E ( F(E,P(E)) )? Si oui, construire une.

J'ai commencé par déterminer le cardinal de chacun de ces ensembles.

Le cardinal de l'ensemble de couples ExE est égal à n². D'où le cardinal de P(ExE) est égal à 2ⁿ². D'autre part, comme le cardinal de P(E) est égal à 2ⁿ, le cardinal de l'ensemble de toutes les applications de E dans P(E) est lui aussi égal à (2ⁿ)ⁿ=2ⁿ². Puisque le cardinal de P(ExE) est égal à celui de F(E,P(E)), alors il existe une bijection entre ces deux ensembles.

Mais est-ce que j'ai raison ? Et par quoi commencer la construction d'une telle bijection ? :-S
Merci de toute aide ou de toute idée.

GaBuZoMeu

L'ensemble $\mathcal P(E)$ des parties de $E$ s'identifie à $2^E$, l’ensemble des applications de $E$ dans $2=\{0,1\}$ (à une partie, faire correspondre sa fonction caractéristique). On te demande de construire une bijection de $2^{E\times E}$ sur $(2^E)^E$.
C'est un cas particulier de la bijection canonique de $A^{B\times C}$ sur $(A^B)^C$. Vois-tu cette bijection ? À une application de $B\times C$ dans $A$ elle fait correspondre une application de $C$ dans l'ensemble des applications de $B$ dans $A$.

Daryna D.

GaBuZoMeu, je vous remercie de ce piste !