Objets libres

Homo Topi

J'essaie de comprendre pourquoi les corps ne sont pas "présentables". C'est vrai qu'il n'y a qu'une seule opération "interdite" dans un corps, prendre l'inverse multiplicatif du neutre additif, donc je ne serais pas étonné que le "manque de relations" dans un corps soit lié à ça, au fait que dans un corps on peut faire pratiquement tout ce qu'on veut comme opérations. Mais je n'ai pas assez travaillé avec les présentations (et encore, je ne les connais que dans le cas des groupes...) pour bien comprendre le problème.

Et oui, depuis le temps que je vois "algèbre universelle" revenir ici ou dans les articles Wikipédia que je regarde, il faudra bien que je finisse par y jeter un oeil !

Homo Topi

En attendant, je n'ai toujours pas la moindre idée pour "décrire" l'anneau unitaire libre sur $X$... on avait dit en MP qu'on peut partir d'un groupe abélien qui soit libre sur un ensemble bien choisi, mais je ne vois pas du tout le truc.

Maxtimax

Admets un instant que tu as le droit de considérer "l'ensemble des monômes formels $x_1^{i_1}....x_n^{i_n}$ avec $x_1,...,x_n\in X, i_1,...,i_n\in \N$" ; vois-tu alors comment faire ?

Homo Topi

Franchement, non.

L'avantage qu'on avait au début avec le monoïde libre, c'est que "$x^n$" j'en avais une définition exacte : le mot de longueur $n$ dont toutes les lettres sont $x$ : $(x,...,x) \in X^n$. Si l'addition de l'anneau libre doit fonctionner comme la concaténation (plus la réduction dont on a besoin pour rendre cette loi commutative), alors d'accord on peut écrire $x^n y^m = (x ,..., x, y ,..., y) \in X^{n+m}$ mais de là à comprendre comment on fabrique une multiplication distributive, non, je ne vois pas du tout.

Maxtimax

Bon. Prends $(N,i)$ le monoïde commutatif libre sur $X$. Ses éléments sont essentiellement les monômes formels que j'ai décrit. Une manière plus explicite de le voir est $\N^{(X)}$, les applications $X\to \N$ à support fini.
Quitte à changer de $N$ on peut supposer que $i$ est l'inclusion $X\to N$. Je note $\times$ la multiplication de $N$ (qui correspond, dans $\N^{(X)}$, à l'addition coordonnée par coordonnée)

Maintenant prend $(M,j)$ le groupe abélien libre sur $N$, et de même quitte à changer $M$ on peut supposer que $j$ est l'inclusion $N\to M$. Comme d'habitude, on peut montrer que $M$ est engendré par $N$. Je note $+$ l'addition de $M$.

Maintenant, fixe $n\in N$. Alors l'application $N \to M : m\mapsto n\times m$ se prolonge de manière unique à $M\to M$ en un morphisme de groupes ($M$ est libre sur $N$ !!) . Je la note $n\otimes -$.

Maintenant, $(End(M),+)$ est un groupe abélien et on vient de décrire $n\mapsto n\otimes -, N\to End(M)$ qui est une application, qui se prolonge donc de manière unique en un morphisme de groupes abéliens $m :M\to End(M)$.
Je note $\otimes $ la décurryfication de $m$, i.e. $a\otimes b = m(a)(b)$.

Il te reste à vérifier que $\otimes$ est associative, distributive sur $+$ (ce deuxième point devrait être plus simple), admet le neutre de $N$ comme neutre multiplicatif, commutative et fait donc de $(M,\otimes , +)$ un anneau commutatif; puis ensuite qu'il s'agit bien de l'anneau commutatif libre sur $X$.

NB: cela peut te paraître abscons et tu vas me sortir "mais comment j'aurais pu trouver tout ça ?" mais c'est juste la manière propre d'écrire le truc évident dont je parle depuis un moment, i.e. on part des monômes formels (c'est l'ensemble $N$) $x_1^{i_1}...x_n^{i_n}$, on prend le groupe abélien libre dessus pour obtenir les sommes dont je parlais $3xy^2 + 4zt$ etc. et on définit la multiplication de manière évidente, i.e. $xy= xy$ puis étendu linéairement par distributivité $(x+3y)(4z+y) = ...$ Je ne fais que formaliser ça en termes d'objets libres; mais du coup, oui, n'importe qui pourrait trouver. La preuve en est d'ailleurs que je n'ai jamais écrit auparavant ce que je viens d'écrire, je viens de le "réinventer", c'était juste plus ou moins clair ce qu'on devait faire.

Homo Topi

Cette nuit en réfléchissant, j'ai pensé qu'il fallait prendre un monoïde libre sur un groupe abélien libre, c'était dans le mauvais sens mais je n'étais pas loin :-D

Je réfléchirai à ce que tu m'as dit plus tard :-)

Homo Topi

Tu peux me donner une description explicite (ensemble $N$, application $i$) du monoïde commutatif libre sur $X$ ?

Ou plutôt, peut-on l'obtenir à partir du monoïde libre "standard" sur $X$ ? Si oui, comment ?

Poirot

Tu n'as pas une intuition de ce qu'il pourrait être ? Ça paraît pourtant évident.

Homo Topi

C'est tnt mieux si ça vous paraît évident à vous autres, mais moi je n'ai jamais vraiment appris à travailler avec les monoïdes.

Je ne sais pas si je dois trouver une relation d'équivalence (ni laquelle, si c'est ça) pour quotienter le monoïde libre sur $X$ et obtenir un monoïde-quotient sur $X$ qui est commutatif, où s'il faut trouver un autre ensemble que $X$ pour bidouiller un truc qui va fournir un monoïde commutatif libre sur $X$. Je ne vois absolument pas ce que c'est censé avoir d'évident, sinon je ne demanderais pas qu'on me prenne par la main !

Poirot

Tu connais déjà ce qu'est le monoïde libre sur $X$. Que se passerait-il s'il était abélien ? Concrètement, prenons le mot réduit $abcab^2c$, que deviendrait-il ?

Homo Topi

Non, mais, ça je le sais, ça va donner $a^2b^3c^2$. Mais je ne sais pas comment construire le monoïde libre sur $X$ qui vérifie ça à partir du monoïde libre sur $X$ "quelconque". Et je ne vois pas ce que cette construction a d'évident.

Je pense avoir compris comment écrire les objets libres sur $X$ qu'on a vus jusqu'à présent comme "mots" ou "combinaisons linéaires de mots" dont les "lettres" sont dans l'ensemble $X$. Ce que je demande, aussi inutile que ça puisse vous paraître, une définition totalement explicite. L'ensemble libre en lui-même, l'injection qui lui est associée, et des formules pour les lois de composition. J'en ai besoin.

Poirot

Si tu n'attends que ça : $\mathbb N^{(X)}$ muni de l'addition. L'injection $i$ est l'application qui à $x \in X$ associe $\delta_x : y \mapsto 1$ si $x = y$ et $0$ sinon.

Homo Topi

Donc le monoïde commutatif libre que tu me conseilles d'utiliser n'a aucun rapport avec le monoïde "quelconque" libre qui était $\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}X^n$ muni de la concaténation avec $i : x \in X \longmapsto (x) \in X^1$, on est bien d'accord ?

Maxtimax

Si, il a un rapport. Je vais tout t'expliciter.

Première version : Un quotient du monoïde libre (comme pour les groupes - c'est pour ça que Poirot était étonné, c'est la même construction et tu l'as déjà faite). Tu pars du monoïde libre $(N,i)$ sur $X$, et tu regardes $R$ la congruence engendrée par $\{(xy,yx)\mid x,y\in N\}$ (en fait $\{(xy,yx)\mid x,y\in X\}$ suffit, mais pourquoi se priver ? ). Alors $N/R$ (avec l'application évidente $\pi\circ i: X\to N/R$) est un (le) monoïde commutatif libre sur $X$. Pourquoi ?
Soit $f: X\to M$ une application de $X$ vers un monoïde commutatif. En particulier $M$ est un monoïde. Donc $f$ s'étend en une application $g:N\to M$. Mais $\ker (f) = \{(x,y)\in N^2\mid f(x)=f(y)\}$ contient $R$ car $M$ est commutatif, donc $g$ se factorise par $N/R\to M$ respectant tout; l'unicité se prouve comme d'habitude.

Vois-tu le schéma général ? En gros, si tu connais la "structure" libre sur $X$, et que tu as une équation $p=q$ descriptible dans les "structures", et qu'une structure la vérifiant s'appelle une "structure plus", alors la "structure plus" libre sur $X$ est un quotient de la structure libre sur $X$. Rien de bien compliqué.

Deuxième version: $\N^{(X)}$ avec l'application décrite par Poirot, exactement au même titre que $\Z^{(X)}$ est le groupe abélien libre sur $X$. Cela découle simplement de ce qu'un coproduit de $X$ structures libres sur un générateur est une structure libre sur $X$ (abstract nonsense) et qu'on sait décrire le monoïde commutatif libre sur un générateur ($\N$) et le coproduit de monoïdes commutatifs (la somme directe).

Le rapport c'est que bah... les deux constructions donnent un truc isomorphe (même isomorphe naturellement en $X$) parce qu'elles donnent un truc libre.

Homo Topi

"Rien de plus compliqué"...

Je sais que pour "rendre" le monoïde commutatif, il faut faire en sorte que $xy=yx$, mais ça ne me dit pas comment faire ça. Et justement, la dernière fois que j'ai quotienté un monoïde libre, ça donnait un groupe, et pas un monoïde commutatif, donc, il faut savoir quelle est la bonne relation d'équivalence (et savoir pourquoi ça marche).

Les congruences sur un monoïde, j'ai fait ça une fois, je ne vois pas comment j'aurais pu savoir qu'il fallait faire la même chose ici, la dernière fois ça aurait pu être un coup de chance que ça marche. Je n'ai jamais vu un seul théorème qui me dit, en fonction de $S \subset M$, qui est le monoïde quotient $M/ \langle S \rangle$ donc je ne vois aucune raison de trouver ce qu'on fait simple ou évident, ou d'y arriver tout seul.

Et, passer de "le groupe abélien libre à un seul générateur est isomorphe à $\mathbb{Z}$" à "le groupe abélien libre est isomorphe à $\mathbb{Z}^{(X)}$", je ne trouve pas ça non plus tellement évident que j'aurais dû le comprendre implicitement tout seul sans qu'on me le dise.

Je retiens l'astuce des quotients par une congruence :-)

Poirot

Oui il serait temps, c'est au coeur d'énormément de constructions en algèbre, notamment des constructions solutions de problèmes universels !

Homo Topi

"il serait temps", bof, j'ai ouvert ce fil de discussion pour ma culture personnelle. Je ne suis plus étudiant, je ne me vois pas devenir chercheur un jour, je n'essaie pas de devenir algébriste professionnel :-D

Les problèmes universels sont souvent traités en termes de catégories, et même si elle est sur ma liste, ce n'est pas encore une théorie que je comprends.

L'algèbre universelle, c'est quelque chose que je n'ai jamais vu en cours, justement. Ça m'étonnerait que ça soit enseigné dans beaucoup d'universités, vu que ce n'est pas au programme de l'agreg. Peut-être dans les M2 destinés à la recherche en algèbre, mais je n'en ai jamais fait et c'est assez improbable que j'en fasse un un jour.

Les monoïdes, on ne les étudie pas jusqu'à l'agreg. On fait les groupes, les anneaux, les corps commutatifs, les espaces vectoriels, les modules, mais les algèbres (même gentilles) ne sont pas spécialement étudiées... quant aux structures libres, ben, si elles étaient au programme, ce fil de discussion aurait été réglé en moins d'une page.

J'essaie de me former tout seul, mais à part ce que je trouve sur internet et ce qu'on me dit ici, je n'ai accès à rien pour le moment. Je suis justement là pour combler des lacunes, donc, c'est normal de trouver que j'en ai.

Maxtimax

Bah.. ça te dit qu'il faut tuer les "$xy - yx$" dans le quotient (où le $-$ n'a qu'un sens purement formel). Il faut voir que les congruences, c'est quasi-tautologique: tu veux que $a=b$ dans le quotient, bah tu mets $(a,b)$ dans ta congruence, "c'est pas sorcier".

Par contre pour te dire qui est $M/\langle S\rangle$, j'ai l'impression de l'avoir dit plein de fois : tu as un théorème qui te dit qui est $\hom (M/R, -)$ , et donc (ça aussi je l'ai dit !) il te dit qui est $M/R$. Ce théorème te dit : "Un morphisme qui part de $M/R$ c'est un morphisme qui part de $M$ tel que si $(x,y)\in R$, $f(x)=f(y)$". C'est pour ça qu'ici ça marche avec le monoïde commutatif : on met tous nos bonhommes $(ab,ba)$ dans la congruence et bim, tout va bien.

Pour $\Z^{(X)}$ j'ai aussi l'impression de l'avoir mentionné, mais je me trompe peut-être...

Ah, et plutôt que de retenir l'astuce des quotients, essaie de la démontrer (:P) J'ai donné un énoncé qui est presque précis/rigoureux, je te laisse en exercice de le préciser et de démontrer l'énoncé obtenu. Si tu ne trouves pas l'énoncé précis, je pourrai te l'écrire au besoin (en sachant que je ne l'ai jamais écrit rigoureusement non plus, mais que je n'ai aucun doute sur le fait que je pourrais le faire - c'est juste que c'est relativement clair au vu de tout ce qu'on a fait; ça n'avait jamais rien de bien spécifique aux monoïdes/commutatifs)

(Added : je me rends compte que tu dis ne pas avoir accès à des ressources : voici donc quelques liens intéressants :

http://www.math.hawaii.edu/~ralph/Classes/619/univ-algebra.pdf : ce qui nous intéresse dans ce fil se passe principalement dans la partie II, plus spécifiquement aux paragraphes 5,6,9,10,11

http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/zCATS.pdf : pour les bases de la théorie des catégories)

Homo Topi

Il faudra que je relise tout ce qu'on a dit depuis le début (ça s'étale sur plusieurs semaines, quand même), parce que le théorème qui décrit $\text{hom}(M/R,-)$ là tout de suite je ne vois pas ce que c'est.

Justement, des cours avec des résultats "généraux" ça me permettra d'y voir plus clair. Quand on me dit "là on l'a fait dans tel cas particulier, mais ça marche en général" ça ne me dit ni comment l'appliquer, ni quel résultat ça va donner. C'est plus rassurant d'avoir des théorèmes bien carrés, je trouve.

Du coup, merci pour les liens, je lirai ça quand j'aurai le temps :-).

D'abord, je regarde le bazar sur l'ACU libre que tu avais écrit juste ci-dessus. Une chose après l'autre. Mais petite question, pour avoir un anneau unitaire libre qui n'est pas supposé commutatif, que faut-il changer dans ta construction ? J'essaierai probablement de le vérifier par moi-même quand tu m'auras donné la réponse. Je pense qu'il faudra supposer que le monoïde libre n'est pas considéré commutatif. A voir...

Maxtimax

Oui c'est exactement ça. Tout marche pareil mais on prend $(N,i)$ le monoïde libre, au lieu du commutatif libre.

Poirot

Je trouve ça bien réducteur de dire "ça on ne le fait pas en licence ou master donc je connais pas". Justement, tu fais visiblement ta tambouille toi-même, j'ai fait de même à un moment ou un autre, mais je n'ai jamais vu ça en cours, c'est juste une prise de conscience face à la similarité de beaucoup de constructions via des quotients en algèbre.

Homo Topi

Je sais bien... le truc c'est qu'ici, on fait intervenir plein de choses que je ne connais pas encore en détail (congruences sur les monoïdes, algèbre universelle, par exemple) donc comme je ne sais pas vraiment ce qu'il est "naturel" de voir en premier, des fois je patauge un peu.

Mais ça va, je finis par m'en sortir (:D

Poirot

Congruence sur les monoïdes, sur les groupes ou les anneaux, c'est la même chose : relation d'équivalence (compatible avec la structure).

Homo Topi

Toute petite précision :

Quand Maxtimax parle des applications de $X$ dans $N$ (le monoïde libre abstrait) à support fini... je ne connais les "supports finis" que pour les fonctions en analyse. Je suppose qu'il faut envoyer tous les éléments de $X$ sur l'élément neutre de $N$ sauf un nombre fini, c'est bien ça ?

Maxtimax

Oui, c'est bien ça.

Homo Topi

Au sujet du monoïde commutatif libre :

Je suppose que $(L,i)$ est un monoïde libre, de loi notée $\star$, sur un ensemble $X$.

Je définis $S = \{(i(x) \star i(y) ; i(y) \star i(x)) \mid (x,y) \in X^2 \}$ et soit $\mathcal{R} = \langle S \rangle$ la congruence sur $L$ engendrée par $S$.

Comme $\mathcal{R}$ est un cas particulier de relation d'équivalence, on sait déjà qu'il existe une unique structure de monoïde sur le quotient $L/ \mathcal{R}$ (décrite par la loi que je note $\overline{\star}$) qui fait de la surjection canonique $\pi : L \longrightarrow L/ \mathcal{R}$, $x \longmapsto \overline{x}$ un morphisme de monoïdes. Elle est définie par $\overline{u}$ $\overline{\star}$ $\overline{v} = \overline{u \star v}$.

Ce que je veux montrer, c'est que la loi $\overline{\star}$ est commutative.

Soient $\alpha$ et $\beta$ dans $L/ \mathcal{R}$. Alors il existe $a$ et $b$ dans $L$ tels que $\alpha = \overline{a}$ et $\beta = \overline{b}$ parce que $\pi$ est surjective.

Donc :
$\alpha \overline{\star} \beta = \overline{a}$ $\overline{\star}$ $\overline{b} = \overline{a \star b}$.
$\beta \overline{\star} \alpha = \overline{b}$ $\overline{\star}$ $\overline{a} = \overline{b \star a}$.

On a commutativité si, et seulement si, $(a \star b ; b \star a) \in \mathcal{R}$ (par définition).

Si on peut écrire $a = i(x)$ et $b = i(y)$ avec $(x,y) \in X^2$, c'est gagné. Cependant, je ne vois rien qui me garantit que c'est effectivement possible : on avait vu que $i$ est injective, mais elle n'a aucune raison d'être surjective.

Donc quand Maxtimax disait "pourquoi se priver", j'ai l'impression que ça arrange surtout ce passage-ci. En effet, si on avait pris $S = \{(a \star b ; b \star a) \mid (a,b) \in L^2 \}$, on n'aurait pas de problème ici, on concluerait directement que $\overline{\star}$ est commutative. On aurait certes un ensemble-quotient différent, mais tout ce qui m'intéresse c'est de démontrer qu'un monoïde commutatif libre existe. L'ensemble que j'obtiens, tant que j'en ai une description, je me fiche de qui c'est exactement.

La formulation de Max "pourquoi se priver" semble néanmoins indiquer que même en prenant la définition de $S$ que j'ai utilisée au début de ce message, on peut s'en sortir. C'est Max qui s'est gouré, ou c'est moi qui ne vois pas pourquoi ça marche quand même ? (et si c'est moi, expliquez-moi ce qui fait marcher le truc svp :-))

melpomène

Hello,

en fait, $L$ est engendré par $i(x), x\in X$. Du coup, tout élément de $L$ est produit d'éléments de la forme $i(x),x\in X$ et c'est plié, non ?

Démo: soit $(L,i)$ un monoïde libre sur $X$ , avec $i:X\to L$, et soit $N$ le sous-monoïde de $L$ engendré par l'image de $i$. On a donc une application$j:x\in X\to i(x)\in N$, qui se prolonge en un unique morphisme de monoïdes $f:L\to N$, tel que $f(i(x))=j(x)=i(x)$ pour tout $x\in X$. Le morphisme de monoïdes $g:x\in L\mapsto f(x)\in L$ vérifie alors $g(i(x))=i(x)$ pour tout $x\in L$, i.e. prolonge $i:X\to L$. Mais $Id_L$ fait très bien la même chose et par unicité $g=Id_L$.
Or, $Im(g)=N$, puisque $f$ est surjective d'image $N$ (l'image de $f$ contient les générateurs de $N$ !).
On a donc $N=L$, cqfd.

Homo Topi

On avait montré que le truc libre est engendré par $i(X)$ quand "truc" était "ACU" :-D

Je n'ai pas tilté que ça marche à chaque fois. Oui effectivement !

Remarque : on a même besoin d'avoir ce résultat pour montrer que si $(L,i)$ est une structure libre sur $X$, alors $i$ est injective !

En fait, j'ai essayé de faire la démonstration de l'injectivité de $i$ à la main. Si $X$ contient au moins deux éléments distincts $a \neq b$, on prend l'application $f : X \longrightarrow \mathbb{Z}$ définie par $f(a) =1$ et $f(x) = 0$ si $x \neq a$, ça donne très rapidement une absurdité si on suppose que i(a) = i(b). Si $X$ est vide ou un singleton, les applications définies dessus sont toujours injectives. Donc pour les monoïdes, groupes et anneaux unitaires, qu'ils soient commutatifs ou non, le problème est réglé parce que l'ensemble $\mathbb{Z}$ peut accueillir chacune de ces structures. Par contre, si on veut montrer que $i$ est injective où $L$ a une structure de $A$-module, si $A$ est l'anneau nul, alors $L$ est le module nul, et si $X$ a trop d'éléments on finit par tourner en rond. L'explication, c'est que le module nul ne peut pas être engendré par $i(X)$ si $X$ contient trop d'éléments (à savoir, si $X$ est non vide, en fait). Pour les $A$-algèbres sur un anneau commutatif unitaire, je ne l'ai pas fait à la main mais je pense qu'on aurait exactement le même problème.

Homo Topi

Je suis en train de m'emmêler les pinceaux sur ce que tu disais dans ce message-là : url=http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1699282,1715188#msg-1715188

Soit $(N,i)$ un monoïde libre sur $X$ dont la loi est notée $\star$. Soit $(M, \diamond)$ un monoïde commutatif et soit $f : X \longrightarrow M$ une application. On a alors un unique morphisme de monoïdes $\mu : L \longrightarrow M$ tel que $f = \mu \circ i$.

On veut montrer que si $\mathcal{R}$ est notre congruence qui donnera la commutativité, et que si $(u,v) \in \mathcal{R}$, alors $\mu(u) = \mu(v)$.

Commençons par dire ceci : Soient $a$ et $b$ dans $X$. Comme $(M, \diamond)$ est commutatif, on a $f(a) \diamond f(b) = f(b) \diamond f(a)$, ce qui se traduit par :

\[\forall (a,b) \in X^2 : \mu(i(a) \star i(b)) = \mu(i(b) \star i(a))\]

Jusque-là, pas de problème. Ajoutons toujours ceci : $\forall (a,b) \in X^2 : ( i(a) \star i(b) ; i(b) \star i(a)) \in \mathcal{R}$.

Ce que je dois montrer, cependant, c'est : $\forall (u,v) \in \mathcal{R}$, $\mu(u) = \mu(v)$. On n'est pas loin mais on n'y est pas encore. Je n'arrive pas à voir comment passer de l'écriture en $(u,v)$ à quelque chose qui me laisse utiliser ce que j'ai déjà écrit.

Je sais que $\mathcal{R}$ est la plus petite congruence qui contient $S = \{ (i(x) \star i(y) ; i(y) \star i(x)) \in N^2 \mid (x,y) \in X\}$ (et oui je voudrais qu'on utilise ces notations-là, sinon ça va me perturber) mais je ne sais pas trop comment m'en servir.

Si $(u,v) \in \mathcal{R}$, a-t-on forcément que $u$ est un $\star$-produit d'éléments de la forme $i(s) \star i(t)$ ? et que dans ce cas $v$ est un $\star$-produit des éléments de la forme $i(t) \star i(s)$ correspondants ? Si oui, je ne vois pas comment on le montre. Sinon, je ne vois pas du tout comment m'en sortir.

Help.

Maxtimax

Comment ça, le module nul ne peut pas être engendré par $i(X)$ ? Il est engendré par $\emptyset$ donc bien sûr qu'il est engendré par $i(X)$ !

$\{(u,v)\mid \mu(u)=\mu(v)\}$ est une congruence, qui vérifie....
$\mathcal{R}$ est la plus petite des congruences telle que ...

Homo Topi

J'avais supposé que $X$ contient au moins deux éléments (parce que j'avais bazardé les cas où $X$ contient 0 ou 1 élément au passage, j'ai juste rédigé ça de manière un peu alambiquée), d'où le fait que $i(X)$ ne peut pas engendrer un module nul.

$\mathcal{R}$ est la plus petite congruence sur $N$ qui contient le $S$ défini ci-dessus.

Soit $s \in S$. Alors $s = (i(x) \star i(y) ; i(y) \star i(x))$ pour un certain couple $(x,y) \in X^2$. On a $s \in \{(u,v) \in N^2 \mid \mu(u) = \mu(v)\}$ si, et seulement si, $(i(x) \star i(y) ; i(y) \star i(x)) \in \{(u,v) \in N^2 \mid \mu(u)= \mu(v)\}$.

Ce que j'ai écrit ci-dessus donne exactement cette condition quels que soient $x$ et $y$ dans $X$. Donc $S \subset \{(u,v) \in N^2 \mid \mu(u) = \mu(v)\}$, d'où $\mathcal{R} \subset \{(u,v) \in N^2 \mid \mu(u) = \mu(v)\}$. OK.

Maxtimax

À nouveau c'est faux, $i(X)$ peut très bien engendrer le module nul. C'est d'ailleurs ce qui se passe pour l'anneau nul.

Le reste est correct

Homo Topi

Dans ce cas je ne comprends simplement pas comment on montre que $i$ est toujours injective.

Maxtimax

Elle ne l'est pas toujours elle l'est pour les structures "consistantes" (je mets des guillemets parce que ce terme change de sens entre la théorie des modèles et l'algèbre universelle). Dès lors que ta notion de "structure" admet des structures à au moins $2$ éléments, $i$ est injective. Et c'est clair au vu de la preuve !

Homo Topi

Tu parles de la preuve que j'ai faite en utilisant le fait que $\mathbb{Z}$ peut recevoir toutes les structures qui nous intéressent ?

En tout cas ça explique pourquoi je me suis embrouillé, je pensais que $i$ serait injective tout le temps, quelle que soit la structure de l'objet libre !

Maxtimax

Euh oui par exemple.

Bah en fait elle est injective tout le temps dès que la notion de structure est intéressante

Homo Topi

On peut prendre n'importe quel anneau non nul à la place de $\mathbb{Z}$ pour faire toutes les structures "plus simples que les anneaux unitaires" simultanément.

Tu veux dire que les modules ne sont pas intéressants ? :-D

Maxtimax

Non, je veux dire que les modules sur l'anneau nul ne sont pas intéressants :-D

Homo Topi

Mais attends... là ça commence à m'embrouiller.

Soit $A$ un anneau non nul. Soit $X$ un ensemble non vide. Dans ce cas-là, le $A$-module libre sur $X$, donc le $A$-module engendré par $i(X)$, peut-il être nul oui ou non ? Ça commence à m'embrouiller tout ce bazar !

En tout cas, si le module n'est pas nul, on peut prendre $A$ (qui contient deux éléments distincts) comme $A$-module et refaire la manip que j'ai faite avec $\mathbb{Z}$ pour montrer que $i$ est injective.

Maxtimax

Bah non :-S puisque $i$ est injective (puisque $A$ a des modules à au moins $2$ éléments)

Homo Topi

Je crois qu'on est face à un joli cafouillage 8-)

Le fait que $i$ est injective, c'est que ce que je veux démontrer. Pour les monoïdes, groupes, anneaux libres (commutatifs ou non), j'ai pu m'en sortir. Maintenant pour les modules...

Donc : si $A$ est l'anneau nul, le seul $A$-module est le module nul. Si $X$ est l'ensemble vide, $i$ est forcément injective (car toute application définie sur $\varnothing$ l'est). Le cas est inintéressant mais il existe. Bref. La question maintenant, c'est la suivante :

Supposons que $X$ est non vide. Soit $A$ l'anneau nul et soit $L$ le $A$-module nul. $L$ peut-il être libre sur $X$ ? Si oui, pour quelle application $i$ ? Si non, pourquoi (sans utiliser l'injectivité de $i$; puisqu'on veut la démontrer) ?

Si la réponse à cette question est que non, alors il n'existe aucun $\{0\}$-module libre sur un ensemble non vide et on aura bouclé les cas de figure correspondant à l'anneau nul.

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Si $A$ n'est pas l'anneau nul, il contient deux éléments distincts et il existe au moins un $A$-module qui contient deux éléments, à savoir $A$ lui-même. On garde cette idée en mémoire.

Si $X$ est vide, $i$ est injective pour la même raison qu'avant. Le cas est inintéressant mais bon.

Si $X$ est non vide, la question est : le $A$-module nul, où $A$ n'est pas l'anneau nul, peut-il être libre sur $X$ ? Si oui, pourquoi et pour quelle $i$ ? Si non, pourquoi pas ? Toujours sans utiliser l'injectivité de $i$, qui est ce qu'on veut démontrer.

Si $A$ n'est pas l'anneau nul et que $X$ est non vide, en supposant qu'un $A$-module libre sur $X$ n'est jamais le $A$-module nul, ma manip avec $\mathbb{Z}$ s'adapte en remplaçant $\mathbb{Z}$ par $A$. On trouve que $i$ est injective. On a bouclé le cas des modules sur un anneau non nul.


EDIT : je veux bien qu'il s'agisse de cas "inutiles" mais je veux quand même les traiter. Pour m'entraîner, pour ne pas laisser de trous...

Maxtimax

Je pense que répondre à ta question concernant l'anneau nul ne serait pas positif pour toi; il faut que tu y répondes toi-même : la réponse oui/non je l'ai répétée un nombre relativement grand de fois, la justification tu devrais pouvoir la trouver en te demandant ce qu'est un module sur l'anneau nul.

Pareil pour les anneaux non nuls. Je veux juste faire remarquer deux choses dans ce cas: premièrement il n'est ni nécessaire ni pertinent de distinguer selon que $X$ est vide pour montrer que $i$ est injectif, et cela n'a rien à voir avec la nullité ou non du $A$-module libre sur $X$; et deuxièmement si $A$ est non nul, $x\in X$, que penses-tu de $x\mapsto 1$ ?

Homo Topi

Si $A$ est l'anneau nul, tous les $A$-modules sont des modules nuls, donc le diagramme commutatif est trivial : il n'y a que le module $\{0\}$ à considérer, et la seule application $f : X \longrightarrow \{0\}$ est $(x \longmapsto 0)$. Au passage, ça donne $i=f$. Le morphisme identité fait commuter ce diagramme. Cependant, $i$ ne sera pas injective si $X$ contient au moins deux éléments.

Si $A$ est un anneau non nul, alors $A$ est un $A$-module, non nul. Soit $(L,i)$ le $A$-module libre sur $X$.

Si on prend $f : X \longrightarrow A$, $x \longrightarrow 1$, alors on obtient un morphisme de $A$-modules tel que $\mu \circ i(x) = 1$ pour tout $x \in X$. Là je me pose des questions... si $L$ est le $A$-module engendré par $i(X)$, alors $0 = i(y)$ pour un certain $y$ dans $X$ et dans ce cas on trouve $\mu(0) = 1$, sauf qu'il faudrait qu'on ait $\mu(0)=0$. Donc il y a un problème quelque part.

Maxtimax

Bien pour la première : sur l'anneau nul, le module nul est libre sur tout ensemble.

Ensuite, bon bah je ne vois pas d'où tu sors ton $y$ tel que $i(y) = 0$... $\R = Vect(1)$ est-ce que pour autant il existe $x\in \{1\}$ tel que $x= 2$ ?
Mais plus importamment, si $\mu\circ i(x) = 1$ pour $x\in X$, et qu'il y a un $x_0 \in X$, est-ce que $L$ peut être $0$ ?

Homo Topi

"engendré par"... je suis fatigué. Oui ce $y$ c'est faux.

Donc tu utilises quand même que $X$ est non vide, si tu supposes qu'il existe un $x_0 \in X$ ! Mais du coup, $\mu \circ i (x_0) =1$, ce qui implique que $i(x_0) \neq 0$. Donc si $A$ est un anneau non nul, et que $X$ est non-vide, le $A$-module nul ne peut pas être libre sur $A$.

Maxtimax

Bah oui j'utilise que $X$ est non vide puisque le $A$-module libre sur $\emptyset$ est $0$ :-S
(ma remarque d'avant sur distinguer selon que $X$ est vide ou non était par rapport à l'injectivité de $i$, pas la nullité de $L$ !)

Homo Topi

Oui, ok. Je pense que le problème c'est que j'ai posé deux questions en une : est-ce que le $A$-module libre sur $X$ est nul ou non, et est-ce que $i$ est injective pour le cas correspondant. En recollant les morceaux ça ira :-D

Homo Topi

Entre temps, j'ai refait la construction du monoïde commutatif libre proprement, maintenant ça au moins c'est clair.

Max : simple curiosité sur ce que tu disais ici.

En gros, pour tout $n \in N$, on définit une application $f(n) : N \longrightarrow M$ qu'on va prolonger en une application qui va de $M$ dans $M$ (celle que tu notais $n \otimes -$). Est-ce qu'il faut des outils de la théorie des catégories pour pouvoir dire plus rapidement que, partant de l'application $N \times N \longrightarrow M$, $(n,m) \longmapsto j(n \times m)$, on peut construire la multiplication $M \times M \longrightarrow M$, $(n,m) \longmapsto n \otimes m$ ? Essentiellement, c'est bien ça qu'on fait point par point, non ?

Poirot

Il n'y a pas d'outils en théorie des catégories :-D

Maxtimax

@HT: Alors effectivement, c'est ça qu'on fait; mais on utilise l'exponentiation (pour mon currying) donc j'imagine que s'il y a des outils catégoriques généraux, ils demandent quelque chose comme une catégorie cartésienne close (ou peut-être moins, pas de coproduit en vue). Mais essentiellement ça reviendrait à faire ce que j'ai fait, dans un contexte plus général: dans notre cas spécifique on y gagnerait rien puisque la preuve serait à peu près aussi compliquée (j'ai l'impression - mais je me trompe peut-être, je ne suis pas du tout expert en catégories)

@Poirot : bah c'est malin ça de faire croire ça à quelqu'un qui ne connait pas les catégories :-D que penser alors des théorèmes de foncteur adjoint, de représentabilité, de Freyd-Mitchell, et de tant d'autres ?