Objets libres

Homo Topi

Il y a en algèbre cette notion d'objets libres que je n'ai pas pu beaucoup manipuler, mais qui revient en permanence dans des contextes qui m'intéressent (algèbre de polynômes, algèbre tensorielle...)

J'ai trouvé sur mon copain Wikipédia une définition de monoïde libre sur un ensemble (c'est le deuxième point bleu dans le paragraphe, sous la définition d'une base).

J'essaie déjà de comprendre comment ce machin fonctionne : Soit donc $A$ un ensemble quelconque (fini ou infini, sans aucune structure particulière), notre alphabet.

Je note $S(A)$ l'ensemble des "suites finies" de $A$. Je ne suis pas entièrement sûr de comment le définir. Je propose : L'ensemble des applications définies sur un segment fini $0;n$ (ou sur le "segment vide" $\varnothing$ ?) de $\mathbb{N}$ et à valeurs dans $A$.

Si je me donne une notation "ad hoc" pour deux suites finies $(a_1 , ..., a_n )$ et $(b_1 , ..., b_m )$ de A, l'opération de concaténation est simplement $(a_1 , ..., a_n ) \star (b_1 , ..., b_m ) = (a_1 , ..., a_n , b_1 , ..., b_m )$. C'est une loi de composition interne, elle est associative, il ne lui manque plus qu'un élément neutre. Cet élément est censé être la suite finie "vide" que je ne suis pas sûr de savoir définir. Il faudrait la définir sur un segment vide de $\mathbb{N}$, je suppose...

Une fois que j'aurai compris les monoïdes libres, j'essaierai de m'attaquer aux groupes libres

Maxtimax

Et de ce fait, quelle est ta question ? C'est sur la suite vide ? Ou sur les suites finies en général ?
(d'ailleurs je n'aime pas du tout prendre ça comme définition de monoïde libre, pour moi ça c'est plus une caractérisation, une construction, ou encore une preuve d'existence des monoïdes libres)

viko

Bonjour,

on a envie de définir $S(A)$ comme l'union des $A^n$ avec $n \in \mathbb{N}$ le mot vide serait alors l'unique élément de $A^0$ lorsque $A$ est non vide bien sûr

Homo Topi

Oui alors :

1) Comment définir les suites finies à valeurs dans un ensemble quelconque ?
2) C'est quoi l'élément neutre pour la concaténation sur l'ensemble des suites finies ?

Mais tant qu'on y est : toi, ta définition du monoïde libre sur un ensemble quelconque, c'est quoi ? Est-ce qu'elle se fait sans parler de catégories ? :-D

Maxtimax

1) Une suite finie à valeurs dans $A$ c'est une application $n\to A$ pour un $n\in\mathbb{N}$: c'est donc un élément de $A^n$, comme l'indique viko.
2) L'élément neutre c'est, à nouveau comme l'indique viko, l'unique élément de $A^0$ (combien d'applications $\emptyset \to A$ y a-t-il ? )

La définition se fait sans parler de catégories (les catégories sont là pour généraliser la notion !) : soit $M$ un monoïde, et $S$ un ensemble, ainsi que $i:S\to M$ une application. Alors $M$ est un monoïde libre sur $(S,i)$ si et seulement si pour tout monoïde $N$ et toute application $g: S\to N$, il existe un unique (c'est un edit, merci à Homo Topi de l'avoir signalé : l'unicité est très importante) morphisme de monoïdes $\tilde{g}: M\to N$ tel que $\tilde{g}\circ i = g$.
Si tu veux, tu peux prouver que $i$ est alors nécessairement injective, et donc la remplacer par "soit $S$ une partie de $M$".
La construction que tu proposes montre que pour tout ensemble $A$, il existe un monoïde libre sur $A$

Homo Topi

Là c'est l'heure de manger. Quand j'aurai rechargé mon estomac, j'essaierai de comprendre ça :-D

Homo Topi

Max, ta définition en gros c'est un diagramme commutatif, on est bien d'accord ?

En attendant, dans l'exemple que j'avais utilisé comme définition :

$S = A$, "l'alphabet"
$M = \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A^n$ muni de la concaténation que j'avais définie au-dessus
$i$ est l'application qui à $x \in A$ associe la suite de longueur $1$ $(x)$ avec mes notations

C'est bien ça ?

Si j'ai bon, on va pouvoir passer aux groupes libres...

Maxtimax

Oui, exactement, tout bon.

Si tu veux une autre manière de le voir (plus proche de la logique formelle que des catégories), un monoïde libre sur $S$ c'est un monoïde tel que la seule chose qu'on sait à son propos c'est que c'est un monoïde et qu'il contient $X$. "Les seules propriétés qui sont vraies à son propos sont celles qui peuvent se déduire de cette information". On peut préciser ça en un théorème (ou des théorèmes) mais il vaut mieux garder ça en tête comme heuristique.

Homo Topi

Je préfère la définition de ton message précédent :-D

Bon, alors, pour un groupe libre, laisse-moi deviner... on recopie justement cette définition, en remplaçant "monoïde" par "groupe" ?

Si c'est ça, je crois que j'ai dans un de mes livres comment adapter l'exemple de la concaténation de suites finies pour obtenir les inverses des éléments du groupe libre, je vais jeter un oeil.

viko

En symétrisant le monoïde du premier message ça devrait marcher

Homo Topi

Tiens, je ne savais pas que la symétrisation d'un monoïde portait le nom de Grothendieck :-D

Du coup ce qui m'intéresserait, ça serait de savoir si, en symétrisant le monoïde libre sur $S$ (faudra que je me rafraichisse un peu la mémoire à propos de ça d'ailleurs), le groupe qu'on obtient est le même (à isomorphisme près ? carrément égal ?) que celui qu'on obtient en faisant ce que j'ai dit, en remplaçant le mot "monoïde" par "groupe" dans la définition de Max.

Je crois qu'il me faudra plus que quelques minutes de réflexion pour ça, et je commence à fatiguer. On verra déjà ce que Max en pense.

Maxtimax

Homo Topi : Tu as bien deviné :-D

Viko : mhm m'est avis qu'il faut que le monoïde soit commutatif pour que ça marche bien. En tout cas dans mon souvenir c'est le cas (je me trompe peut-être). Le mieux est de faire le monoïde libre sur $A\sqcup A^{-1}$ et de quotienter par la congruence évidente

Edit : je n'avais pas vu le deuxième message de HT en écrivant ça, ce message fait référence à son premier message

Maxtimax

Pour ton deuxième message, Homo Topi : deux groupes libres sur $S$ sont automatiquement isomorphes, il y a même un unique isomorphisme qui préserve $S$ : c'est évident à partir de ma définition (et avec un peu d'habitude de ce genre de choses). Après pour la construction, il faut "ruser" un peu, contrairement à la définition où il s'agit effectivement d'un simple recopiage

(Je mets des guillemets à "ruser" parce que si on prend le bon point de vue sur cette affaire on fait finalement la même chose - mais ce point de vue [l'algèbre universelle] n'est pas enseigné dans le curriculum classique)

Homo Topi

OK donc pour les groupes libres, j'essaierai de voir dans mon bouquin si ce qu'ils disent fait sens dans ma tête. Si j'ai des questions, je les poserai ici, bien entendu.

Là où ça va commencer à devenir rigolo, c'est quand il y aura plusieurs lois. Je n'ai jamais entendu parler d'un anneau libre sur un ensemble, ni d'un espace vectoriel libre sur un ensemble, mais les polynômes (oui c'est bien à ça que je voulais en venir sur le long terme) forment une algèbre libre donc il va bien falloir qu'on finisse par parler de ces objets-là (du moins ceux qui existent :-D )

EDIT : je sais que l'algèbre universelle est un truc qui existe et je sais que mon copain Wikipédia sait des choses dessus, mais je ne m'y suis pas encore intéressé de très près.

Maxtimax

Oh pourtant l'anneau libre sur un ensemble il est pas compliqué. En fait tous les "machins libres" se construisent exactement de la même manière, que je pourrai décrire si ça t'intéresse.

Le plus drôle dans les exemples que tu as donnés c'est celui d' "espace vectoriel libre". Il est drôle, parce que contrairement à la notion de "module libre" qui est intéressante, les espaces vectoriels libres bah... c'est les espaces vectoriels: c'est le théorème d'existence d'une base qui affirme ça. Il pourrait aussi bien s'énoncer "Tout espace vectoriel est libre" (et ça c'est beau, on dirait un début de la "Déclaration universelle des droits de l'espace vectoriel")

Homo Topi

J'ai bien ri à ta remarque sur les EV libres :-D :-D :-D

On a zappé les magmas libres mais je n'ai pas l'impression que ça sert à grand-chose... Je me doute bien que tous les objets libres se construisent de la même manière (on a dit, algèbre universelle) et j'entrevois à peu près comment on va faire, mais j'aime bien avoir un exemple de chaque objet, et j'ai encore un peu de mal à conceptualiser une multiplication sur les mots d'un alphabet qui soit distributive sur la concaténation...

Maxtimax

Le truc c'est que ce ne sont pas exactement des mots en général : là l'exemple du monoïde est trompeur en un sens (on comprend bien pourquoi - l'ensemble des mots sur un alphabet c'est ... le monoïde libre sur cet alphabet, pas étonnant qu'il y ait un lien) parce qu'en général il faut aller un chouia plus loin

Homo Topi

Bon alors... ce que mon livre fait au sujet des groupes libres est assez laid. Ils font une construction d'un groupe libre avec des "mots" comme on l'a fait avec le monoïde libre, donc en principe ça devrait étendre la construction que j'avais utilisée comme définition du monoïde libre, mais je n'aime pas comment c'est présenté.

Ils prennent un ensemble $X$ et définissent $Y = X \times \{+1,-1\}$. je pense qu'on peut prendre n'importe quelle paire au lieu de $\{+1,-1\}$ mais bon. Ils notent $x$ l'élément $(x,1)$ de $Y$, et $x^{-1}$ l'élément $(x,-1)$. Ils disent que $x$ et $x^{-1}$ sont associés (j'ai plus l'habitude de voir ce mot dans le contexte des anneaux mais bon).

A ce stade : $X$ est l'alphabet pour notre ensemble de "mots" $\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} Y^n$.

Cependant, c'est juste une partie de $\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} Y^n$ qui servira de support pour la structure de groupe libre. Si on a un mot $y = (y_1 ,..., y_n) \in \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} Y^n$, on va dire qu'il est réduit si deux lettres consécutives $y_i$ et $y_{i+1}$ ne sont jamais associées.

On note $M(X)$ l'ensemble des mots réduits sur l'aplhabet $X$. Muni de la concaténation, c'est un groupe.

L'élément neutre est le mot vide $()$.
L'inverse de $y = (y_1 ,..., y_n )$ est $y^{-1} = (y_n^{-1} ,..., y_1^{-1} )$.
Ils démontrent l'associativité par récurrence sur la longueur des mots.

Ensuite, dans mon livre, ils font les remarques suivantes :
1) $i : X \longrightarrow M(X)$, $x \longmapsto (x)$ est une injection. De plus, $M(X)$ est le groupe engendré par $X$.
2) Théorème : Pour tout groupe $G$, et pour toute application $f : X \longrightarrow G$, il existe un unique morphisme de groupes $\varphi : M(X) \longrightarrow G$ tel que $\varphi \circ i = f$.

Max : je pressens que tu vas transformer ce théorème final en une définition (on dit que machin est un groupe libre sur $X$ s'il existe...) comme avec le monoïde libre. Leur construction du groupe libre fait écho à celle du monoïde libre que j'avais utilisée, donc on peut s'en servir pour se convaincre qu'il existe au moins un groupe libre sur tout ensemble (il faut quand même supposer l'alphabet non vide, je présume) mais je pense qu'on peut le faire un peu plus joliment.

Maxtimax

Je suis d'accord que la construction avec les mots réduits est extrêmement laide. Elle aide pourtant dans certains problèmes combinatoires donc on ne peut pas en vouloir à ton livre.. Mais il y a plus beau, et avec moins de lemmes sur les mots réduits etc. (Et une description de la multiplication plus efficace)

Et effectivement, ce théorème est la définition de groupe libre, la construction que tu proposes prouve "pour tout $X$, il existe un groupe libre sur $X$" (et non, pas besoin de supposer $X$ non vide. Exercice : à partir de ma définition de groupe libre [ton théorème] déterminer le groupe libre sur l'ensemble vide).

Comme je le disais, il y a plus simple, et moins ad hoc (parce que pour le coup les mots réduits c'est très ad hoc et peu adaptable)

Homo Topi

Du coup, si on prend le théorème de mon bouquin comme la définition, ça donne :

Soient $X$ un ensemble, $L$ un groupe, et $i : X \longrightarrow L$ une application.
On dit que $L$ est un groupe libre sur $(X,i)$ si : pour tout groupe $G$, pour toute application $f : X \longrightarrow G$, il existe un (unique ?) morphisme de groupe $\varphi : L \longrightarrow G$ tel que $\varphi \circ i = f$.

Remarque : Dans le cas du monoïde, tu n'avais pas précisé qu'il existe un unique morphisme de monoïdes. Pas un unique morphisme universel pour tous les monoïdes, mais : pour tout monoïde, il existe un seul morphisme de monoïdes blabla. Dans la théorème de mon livre (sur les groupes libres), ils précisent qu'il existe un unique morphisme de groupes entre le groupe libre et un groupe donné. ça m'étonnerait que l'unicité/la non-unicité dépende du type de structure libre qu'on regarde... à vérifier. "Lemme : si machin est un bidule libre sur truc, alors pour tout bidule, le morphisme de bidules est unique".

Une présentation jolie du groupe libre "avec les mots", je ne serai pas contre :-D

Le groupe libre sur l'ensemble vide... est le groupe trivial. Il ne contient que le mot vide, qui est l'élément neutre pour la concaténation.

Maxtimax

Ah je n'avais pas dit unique ? Mince, désolé oui c'est extrêmement important que ce soit unique ! Je corrige ! Juste après ce message

Oui c'est ça pour le groupe libre sur l'ensemble vide. Peux-tu calculer celui sur un singleton ?

Une presentation plus jolie, qui se généralise mieux, et qui rend toutes les preuves plus simples : Soit $M$ un monoïde. On appelle congruence sur $M$ une relation d'équivalence compatible avec la multiplication, i.e. $xRx', yRy' \implies (xy)R(x'y')$. Si $R$ est une congruence, on peut définir de manière évidente une unique structure de monoïde sur l'ensemble quotient telle que la projection canonique $M\to M/R$ soit un morphisme de monoïdes.

Deuxième chose : toute intersection de congruences est une congruence. En conséquence, pour tout sous-ensemble $X\subset M^2$, il existe une plus petite congruence contenant $X$, dite engendrée par $X$. C'est la plus petite congruence telle que si $(x,y)\in X$, alors $x=y$ dans $M/R$. On a de plus un "premier théorème d'isomorphisme" : si $f: M\to N$ est un morphisme de monoïdes et $R$ est une congruence sur $M$ telle que $(x,y)\in R\implies f(x)=f(y)$, alors $f$ se factorise de manière unique par $M/R$ . En fait mieux : si $X\subset M^2$ est tel que $( x,y)\in X\implies f(x)=f(y)$, alors $f$ se factorise de manière unique par $M/R$ où $R$ est la congruence engendrée par $X$.

Tout ceci est évident. Maintenant soit $A$ un ensemble, et soit $M$ le monoïde libre sur $A\times\{1, -1\}$ (effectivement n'importe quelle paire convient); je noterai aussi $(a,1) = a$ et $(a,-1) = a^{-1}$ et je ferai comme si $A\times\{1,-1\}\subset M$; et soit $X=\{(a, a^{-1}) \in M^2\mid a\in A\}$, $R$ la congruence engendrée par $X$. (attention !! c'est une énorme bêtise de ma part, je suis surpris que personne ne l'ait relevée !! je voulais évidemment dire $X=\{(a\times a^{-1},1) \in M^2\mid a\in A\}\cup \{(a^{-1}\times a,1) \in M^2\mid a\in A\}$, où $1$ est l'élément neutre de $M$ et $\times$ la multiplication de $M$. Désolé pour cette grosse étourderie !!)

On a alors une application naturelle $i : A\to A\times\{1,-1\}\to M\to M/R$. Alors $M/R$ est un (le) groupe libre sur $(A,i)$. La preuve devrait être facile : je te la laisse.

Petite remarque : la preuve n'utilise pas la construction de $M$, juste la définition en tant que monoïde libre suffit !

Homo Topi

Le groupe libre sur un singleton est isomorphe à $(\mathbb{Z},+)$.

Par contre le groupe libre sur une paire, je ne vois pas tout de suite. J'y réfléchirai, tout comme à la démonstration de ce que tu viens d'écrire

Maxtimax

Le groupe libre sur une paire n'a pas vraiment de description plus explicite que "le groupe libre sur une paire". On peut trouver des matrices de $SL_2(\Z)$ qui génèrent un groupe libre sur une paire, mais ce n'est pas vraiment plus explicite

Homo Topi

Peut-on "dessiner" un groupe libre sur une paire ?

Par exemple, celui sur un singleton peut être assimilé à une droite, comme $\mathbb{Z}$, et on peut même construire un ordre dessus à partir de la longueur des mots. celui sur une paire, si on ne peut pas lui donner une description formelle explicite, peut-on au moins en faire une représentation géométrique ?

Maxtimax

Oui, on peut le dessiner, par son graphe de Cayley par exemple

Homo Topi

J'ai déjà vu ce dessin ! Dans un cours de probabilités, il me semble que c'était sur les marches aléatoires.

J'avais oublié le nom des graphes de Cayley. J'ai encore un peu de mal à les lire, je pense que c'est plus facile de comprendre le graphe quand on a une présentation du groupe avec des relations...

EDIT : du coup le groupe libre sur un ensemble à 3 éléments ça va être une sorte d'étoile aussi, mais en 3D avec 3 axes linéairement indépendants... les groupes libres ont-ils une structure de module naturelle sur un certain anneau ? Je pense à $\mathbb{Z}$... faut que j'y réfléchisse

Math Coss

Le graphe de Cayley est un graphe. On peut représenter celui du groupe libre à 3 générateurs comme tu le dis mais la structure spatiale n'est là que pour aider ton imagination. Un graphe, ce n'est pas plongé dans l'espace.

La catégorie des $\Z$-modules est naturellement équivalente à celle des groupes abéliens (notés multiplicativement). Correspondance : pour $n\in\Z$ et $x$ dans un groupe abélien, le produit de $n$ par $x$ est $x^n$. Pour que la multiplication par $2$ soit un morphisme de groupes, il faut que $(xy)^2=x^2y^2$, ce qui équivaut à $yx=xy$ pour tous $x$ et $y$. Si c'est le cas, on a bien un $\Z$-module. À l'envers, dans un $\Z$-module, l'addition est toujours commutative.

Homo Topi

Pour moi, un graphe n'a absolument pas besoin d'être plan... mais bon, on s'en fiche, c'est juste de la sémantique.

J'avais retrouvé le truc sur les groupes abéliens $\mathbb{Z}$-modules dans mon bouquin, entre temps.

Math Coss

Tu as raison mais moi aussi : un graphe n'est ni plan, ni spatial.

Homo Topi

Max : J'ai commencé à prendre le temps de réfléchir à ton message sur le groupe libre.

De 1, je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi c'est clair qu'on puisse parler "du" monoïde libre sur $(S,i)$. Si $M$ et $M'$ sont deux monoïdes libres sur $(S,i)$, on a entre autres que $i$ est une application définie sur $S$ et à valeurs "à la fois" dans $M$ et dans $M'$... donc $M=M'$ ? Cet argument ne me convainc pas entièrement, et en plus il ne montrerait que l'égalités des ensembles, pas celui des deux structures de monoïde...

De 2, tu m'as perdu au moment exact où tu as dit "je ferai comme si $A \times \{1,-1\} \subset M$", ça détruit toute la cohérence des notations (j'ai besoin de ça) et du coup je n'ai pas compris la fin :-(

Math Coss

J'aurais juré qu'on parlait du monoïde libre sur $S$ et que c'était une paire $(M,i)$ avec $i:S\to M$.

Homo Topi

Ce n'est pas la définition de Max... ça commence à m'embrouiller, help :-S

Maxtimax

Pour ton 1 : Ok alors dans ma définition j'ai fait un truc pas très standard effectivement. J'ai dit ce que ça voulait dire que $M$ soit "librement généré par $(S,i)$", pas que $M$ soit "un truc libre sur $S$"; c'était peut-être pas judicieux de le dire comme ça (en fait c'est un changement de point de vue : chercher $(S,i)$ c'est qu'on part de $M$ et qu'on se demande s'il est libre sur un truc; chercher $(M,i)$ c'est qu'on part de $S$ et qu'on veut "le truc libre dessus")

Si effectivement on veut parler du truc libre sur $S$, il vaut mieux prendre la deuxième option et alors faire ce que MathCoss propose: Un truc libre sur $S$ c'est un couple $(M,i)$ tel que blabla. Mais si effectivement, $(M,i)$ est un truc libre sur $S$, alors $M$ est "librement généré par $(S,i)$" (au sens de la définition que j'avais donné avant).

Une fois ça vu, tu devrais voir que deux "trucs libres sur $S$" sont automatiquement isomorphes, avec un unique isomorphisme qui respecte $S$.

Pour ton 2., je ne comprends pas ton incompréhension, ça ne détruit aucune cohérence. Rappelle-toi que moi je prends $M$ un monoïde libre, pas forcément celui que tu as construit : même s'ils sont tous isomorphes, il y en a plein, et certainement il y en a un qui contient $A\times\{1,-1\}$, et qui est tel que le $i$ est l'inclusion.

Homo Topi

En fait ça va, ça m'a perturbé deux secondes, mais c'est bon.

Je crois que je préfère le point de vue de MathCoss. En tout cas je vais essayer de me débrouiller pour avoir une définition et un exemple pour les monoïdes libres et les groupes libres, après je viendrai demander de l'aide pour les structures plus compliquées :-)

Homo Topi

Du coup, déjà, si on prend maintenant la définition de MathCoss qui me convient un peu plus (pour l'instant du moins) :

Soit $E$ un ensemble.
Soit $L$ un [structure] et soit $i : E \longrightarrow L$ une application.

On dit que le couple $(L,i)$ est un [structure] libre sur $E$ lorsque pour tout [structure] $S$, pour toute application $f : E \longrightarrow S$, il existe un unique morphisme de [structure] $m : L \longrightarrow S$ tel que $m \circ i = f$.

J'espère que cette définition est juste maintenant. La question c'est de savoir pour quelles structures elle marche. On a déjà dit que pour les monoïdes et les groupes, c'est bon. Peut-on aussi remplacer [structure] par "anneau" ou par "corps" sans que ça pose de problème ? Je pense que oui au vu de ce qui a déjà été dit.

Je pense qu'on va aussi pouvoir parler d'un $A$-module (à gauche, disons) libre sur $E$, mais à quelles conditions sur l'anneau $A$ ? Doit-il être unitaire et/ou commutatif ? Je pense qu'on s'en fiche au vu de la tête de la définition mais je fais attention quand même.

De même pour une $A$-algèbre libre sur $E$... les algèbres c'est compliqué, il y en a qui ne sont même pas associatives. Celle qui m'intéresse c'est l'algèbre des polynômes (oui j'ai voulu comprendre le fonctionnement des objets libres et j'ai ouvert cette discussion uniquement pour pouvoir me donner la définition "$A[X]$ c'est la $A$-algèbre libre sur un singleton" :-D)

Maxtimax

Attention, ça ne marche pas pour les corps, parce qu'un corps ce n'est pas "algébrique" (dans la définition tu as une implication/un "il existe").
En fait on peut prouver qu'il n'existe jamais de corps libre : simplement en regardant sa caractéristique s'il existait

Par contre cette définition marche, et il y a toujours un truc libre sur tout ensemble lorsque "truc" est un truc algébrique, au sens où c'est une structure définie par des opérations d'arité fixée (bon en fait... - restons en aux arités fixées pour le moment) et par des équations: par exemple un groupe de ce point de vue c'est pas "un couple $(G,\times)$ tel que blabla", c'est "un quadruplet $(G,\times, e, ^{-1})$ tel que blabla".

En particulier, pour répondre à tes exemples spécifiques, ça marche pour anneau, $A$-module (à gauche si $A$ n'est pas commutatif / à droite), $A$-algèbre, mais pas pour corps

Homo Topi

Je m'attendais presque à ce que les corps posent une difficulté, j'essaierai peut-être de faire l'exercice pour voir ce qui cloche. C'est bizarre, les corps.

Donc pour monoïde, groupe, anneau qui n'est pas un corps, module sur un anneau et algèbre sur un anneau, c'est bon. Bien, je vais essayer de m'écrire tout ce qu'on a dit pour l'instant proprement (définition générale, exemple du monoïde avec les mots, exemple du groupe avec les mots réduits, exemple du groupe qui est le monoïde quotienté par congruence) avant d'attaquer les structures libres à plusieurs lois.

Maxtimax

Attention, il ne faut pas entendre "anneau qui n'est pas un corps" ! Il faut juste entendre "anneau". Il s'avère que les anneaux libres ne sont pas des corps (tu le verras quand tu les décriras); mais leur propriété universelle est valable pour les corps aussi (qui sont des anneaux).

Par exemple, si $k$ est un corps, la $k$-algèbre libre sur l'ensemble vide c'est $k$, donc un corps.

Ce qui cloche pour les corps c'est la même chose qui fait qu'il n'y a pas en général de produit dans la catégorie des corps, ou de quotients: bref, ce qui fait qu'ils ne peuvent pas se décrire par des équations

Homo Topi

Donc un anneau libre sur un ensemble n'est jamais un corps... c'est ça que j'avais en tête mais je ne l'ai pas dit comme ça.

En fait tu viens justement de dire un truc qui m'embrouille encore un peu.

Si on prend un corps $k$, et qu'on regarde la $k$-algèbre libre sur $\varnothing$... c'est l'ensemble $k$ muni d'une structure de $k$-algèbre. Mais une $k$-algèbre, c'est un $k$-espace vectoriel et un anneau qui sont compatibles, si je me souviens bien (comme je disais, les algèbres, il y en a de plein de sortes, donc je m'embrouille). Je ne crois pas que la "partie anneau" de la $k$-algèbre est forcément un corps, si ?

Ce que je veux dire, c'est que, certes $k$ admet une structure de corps, et il admet une structure de $k$-algèbre libre sur un certain ensemble, mais... il n'y a, a priori, aucune garantie que ces deux structures sur l'ensemble $k$ sont les mêmes (les mêmes lois) ou "partiellement" isomorphes, si ?

Maxtimax

Non, quand je disais "$k$" je parlais de la structure usuelle de $k$-algèbre sur $k$; j'ai été un peu imprécis mais je pensais que ce serait clair :-D (retiens-le à l'avenir : quand on parle de "la $k$-algèbre $k$" sans plus de précision, c'est la structure usuelle).
Si tu veux l'énoncé plus précis c'est "La $k$-algèbre libre sur $\emptyset$ est $k$ muni de sa structure usuelle de $k$-algèbre".

Homo Topi

D'accord :-D

En fait, on ne dit rien de spécialement compliqué, c'est juste que c'est nouveau pour moi et qu'il y a des notions qui se mélangent donc ça m'embrouille un peu pour le moment.

GaBuZoMeu

Juste histoire de semer le bocson, je prétends qu'il y a bien un corps libre sur un anneau. Seulement, il faut prendre un peu de hauteur de vue. Le corps libre sur l'anneau $A$ n'habite pas dans la catégorie des ensembles, mais dans la catégorie des faisceaux sur le spectre premier de $A$ muni de sa topologie constructible.

Maxtimax

@GBZM : et quel bocson tu sèmes ! Il faudra que je réfléchisse à ce que tu viens de dire :-D (qu'appelles-tu la topologie constructible de $Spec(A)$ ? Un rapport avec celle de Zariski ? ) Et puis corps quand on est dans un topos non booléen, c'est pas méga clair: c'est quelle définition que tu utilises ? C'est $x\neq 0 \implies \exists y, xy=1$, ou $x=0 \lor \exists y, xy=1$ ?

Et d'ailleurs, moi j'avais parlé du corps libre sur un ensemble :-D

Homo Topi

Je préfère ne pas encore rentrer dans ces discussions qui utilisent du vocabulaire de théorie des catégories ou de géométrie algébrique pour l'instant. Sème ton bocson ailleurs :-D

Je plaisante, bien sûr ;-)

GaBuZoMeu

@Maxtimax : le corps libre sur un ensemble, c'est le corps libre sur l'anneau commutatif libre sur cet ensemble, non ? Donc, parler de corps libre sur un anneau commutatif, c'est plus général.

Ensuite, la topologie constructible est la topologie dont les ouverts-fermés sont les parties constructibles du spectre, autrement dit c'est la topologie dont une base est formé des $$\{\mathfrak p\in \mathrm{Spec}(A) \mid a_1\in \mathfrak p,\ldots, a_n\in \mathfrak p, b\not\in \mathfrak p\}\;.$$
Et un espace annelé en corps, c'est un faisceau en anneaux commutatifs sur l'espace topologique dont toutes les fibres sont des corps. Pour le langage interne, axiomes d'anneau commutatif plus
$$\begin{aligned}
0=1&\vdash \bot\\
&\vdash x=0 \vee \exists y\ xy=1
\end{aligned}$$
(ne pas oublier le premier).

Maxtimax

@GBZM : Oui effectivement
Donc c'est la topologie induite par la topologie produit sur $2^A$, si je ne me trompe pas ?

Ok, merci pour la précision !

GaBuZoMeu

Exact, c'est un espace compact totalement discontinu.

claude quitté

@Homo Topi
Une question (indiscrète) : une fois que l'on dispose de définitions, on fait quoi ?
Exemple : soit $L = L(x,y,z)$ un groupe libre en 3 générateurs $x,y,z$ ($3$ est un entier quelconque) et le morphisme (surjectif)
$$
\pi : L \to \Z/2\Z, \qquad\qquad x \mapsto 0, \quad y \mapsto 0, \quad z \mapsto 1
$$
Alors les 5 éléments suivants :
$$
z^2,\quad x,\quad y,\quad zxz^{-1},\quad zyz^{-1} \qquad\qquad (\heartsuit)
$$
sont dans $\ker\pi$ (ça, c'est facile). Mais surtout, ils forment une base (au sens non commutatif) de $\ker\pi$. Ou encore : $\ker\pi$ est un groupe libre à 5 générateurs que l'on voit ci-dessus en $(\heartsuit)$.

En fait, j'ai pris $\Z/1\Z \times \Z/1\Z \times \Z/2\Z$ à l'arrivée mais on peut faire de multiples variations sur le groupe à l'arrivée et sur le morphisme $\pi$.

Nielsen-Schreier (1890-1959 & 1901-1929 dixit Wikipedia). Ci-dessous, c'est un dessin pas beau (je ne peux pas faire mieux). C'est un graphe régulier de degré 6 qui est revêtement de degré 2 d'un bouquet de 3 cercles avec un arbre sur le $Z$ du bas (arête épaissie). Laisse béton (peut-être dans quelques années).

Maxtimax

@claude quitté: d'aucuns affirment qu'il y a une preuve algébrique de Nielsen-Schreier utilisant des revêtements de groupoïdes qui montre qu'en fait la preuve algébrique usuelle et la preuve topologique usuelle ne sont que des avatars d'une même preuve.

Homo Topi

Je ne comprends pas grand-chose à ce que tu viens d'écrire. Je voulais juste une définition des machins libres pour le jour où j'en aurai besoin, et celle dont j'aimerais disposer en premier c'est celle de $A$-algèbre libre pour définir les ensembles de polynômes. J'ai préféré tout faire d'un coup (pour faire des constructions pas à pas, en commençant par la structure la plus pauvre et en compliquant au fur et à mesure) même si je ne me servirai pas des groupes libres de si tôt.

claude quitté

$\def\PSL{\text{PSL}}$@Homo Topi
Désolé pour le dérangement. Je pensais que cela te ferait plaisir de savoir, qu'en plus des définitions de groupes libres, il y a des théorèmes sur les groupes libres. Par exemple celui de Nielsen-Schreier que j'énonce franchement ici : soit $L$ un groupe libre à $n$ générateurs et $L' \subset L$ un sous-groupe d'indice $d$. Alors $L'$ est libre avec $d(n-1)+1$ générateurs que l'on peut expliciter (selon la manière dont $L'$ est donné). Dans mon exemple, $n = 3$, $d = 2$, ce qui explique le $5 = d(n-1) + 1$.

Et la nature contient des groupes libres. Par exemple le sous-groupe d'homographies $\Gamma(2) \subset \PSL_2(\Z)$ :
$$
\Gamma(2) = \langle T^2, U^2 \rangle , \qquad T = \pmatrix {1 & 1\cr 0 & 1}, \quad U = \pmatrix {1 & 0\cr 1 & 0}, \qquad
\hbox {ce groupe $\Gamma(2)$ est libre en $T^2, U^2$}
$$
Bon courage pour la suite.

@Maxtimax
Vu. Je manie les revêtements de graphes de manière combinatoire.

Note. On énonce souvent le théorème de Nielsen-Schreier de la manière suivante : tout sous-groupe d'un groupe libre est libre, ce qui réduit la précision.