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Comptons !

On dispose de huit cubes blancs et de huit cubes noirs.
On en choisit huit avec lesquels on forme un cube plus grand.

(A) Combien de cubes différents peut-on former,
aux rotations près du grand cube ?

(B) Et si, en plus, on ne distingue pas un cube de celui obtenu
en inversant les "couleurs" ?

Réponses

  • Flûte, je dois être mal réveillé : je ne comprends pas la deuxième phrase ("avec huit cubes on en fait un plus grand").
  • Oui, tu dois avoir la comprenette bouchée. ;-)
    $2^3=8$.
    Une application de la formule de Burnside qui change un peu des colliers de perles.
  • Ha oui, quelle méprise !
  • Pour A :

    $$ \frac1{24}(2^8+6\times 2^4+3\times 2^4+8\times 2^4+6\times 2^2)=23$$
  • Pour B :
    $$
    \begin{align}
    \frac1{48}\,&\big(2^8+6\times 2^4+3\times 2^4+8\times 2^4+6\times 2^2\\
    &\quad 0+6\times 2^4+ 3\times 2^4+ 8\times 0 + 6\times 2^2\big)=15
    \end{align}$$
  • Théorème de Burnside-Polya, en contrées germaniques.

    15, ce n'est pas beaucoup. Peut-on voir les 3/5 (3 d'une couleur et 5 de l'autre)
    et les 4/4 ?
  • Et de deux !78150
  • Il y a à la fois la formule (ou lemme) de Burnside, et le théorème d'énumération de Polya. Ce n'est pas tout à fait la même chose.
  • Ah oui, j'ai vérifié.
  • Puisqu'on parle du théorème d'énumération de Polya, voir ci-dessous. Le polynôme marche pour le problème A, par exemple le coefficient de $X^3Y^5$ donne le nombre de cubes distincts avec 3 blancs et 5 noirs. Pour $B$, c'est un peu plus délicat, mais on retrouve bien 15=1+1+3+3+7.78180
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