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Questions sur le graphe d'Erdos-Renyi

Bonjour,

J'ai, à l'aide en partie du cours suivant : Celui ci vu les résultats suivants sur le graphe d'Erdos-Renyi :

En notant $p(n) = \dfrac{\lambda}{n}$ la probabilité de lien de G(n,p),

-on montre qu'il y a une transition de phase pour la taille de la plus grande composante connexe ;
- Si $ \lambda <1$ cette taille est un $O(\log n)$ (page 14 du slide dont j'ai donné le lien)
- Si $\lambda >1$, il existe un $a$ tel que cette taille soit plus grande que $a\log n$ (presque sûrement pour n infiniment grand).

J'ai plus ou moins compris les démonstrations, mais je n'arrive pas à "appliquer la théorie à la pratique".

- Dans les deux dernières slides (18, 19) on fait une application de ce modèle, mais je ne comprend pas d'où viennent les inégalités (je ne sais déjà pas comment exprimer l'espérance de la v.a. "size of epidemic as a fraction of the society"). Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

- Lorsque l'on dit qu'une fraction de la population est un $O(\log n)$, comment dans la pratique estimer numériquement cette fraction ?
Par exemple, si on a la constante $a$ telle que $\text{Taille composante connexe} \leq a\log n$ pour n assez grand presque sûrement, comment estimer à partir de quel rang $n$ il est légitime de dire que c'est vrai ?

Je vous remercie par avance !
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