Limite h->0 et remplacer h par 0 ?

gerard0

Cyrano,

c'est bizarre ce que la volonté de défendre une thèse peut faire écrire ! Tu serais prêt à soutenir publiquement qu'un grand scientifique peut se contenter de son intuition, et que ce n'est que la faiblesse d'esprit des autres qui l'oblige à justifier soigneusement ses travaux ? :-)

Newton a étudié soigneusement la géométrie d'Euclide (base des maths à cette époque) et ses Principia, destinés au monde savant de l'époque sont soigneusement rédigés avec des preuves géométriques. Alors même qu'il a déjà posé les bases du calcul différentiel.

Edit : la suite est une réflexion sur l'ensemble du fil.

Rappelons aussi que la notion de limite apparaît peu à peu à la fin du dix-huitième siècle; que la notion actuelle de fonction n'est pas considérée par les mathématiciens avant le milieu du dix-neuvième. Donc on peut, à la Dieudonné, dire qu'avant le vingtième siècle il n'y avait pas de mathématiques, et prétendre qu'avant 1970 on ne parlait pas vraiment de fonctions aux lycéens, mais n''est-ce pas forcer le trait ?

Méfions-nous de l'erreur du néophyte, qui croit que la seule connaissance "vraie" est celle qu'il vient d'apprendre.

Cordialement.

sebsheep

Il y a une petite différence entre la définition de limites qui est élémentaire et la définition de R

La définition de limite est un énoncé quantifié contenant 3 quantificateurs alternés. Ce n'est pas élémentaire au lycée et c'est encore difficile en math sup/spé (si tu oses affirmer le contraire, c'est que tu n'as jamais tenté d'enseigner ces notions).

La réalité c'est qu'on peut faire l'intégralité de l'analyse dans R sans connaître sa définition mais en connaissant sa "propriété". (Densité des rationnels.)

Remplacer "dans R" par "du lycée" et sa "propriété" par "les propriétés élémentaires des limites sur les expressions algébriques".

on ne peut plus rester dans le flou artistique.

C'est pourquoi je propose une approche axiomatique de la limite, de la même façon que tu utilises une approche axiomatique de IR. Au final, on fait de la même façon toi et moi : tu considères comme acquis les propriétés de R, je considère comme acquis les propriétés sur les limites.

Par contre en sup/spé, je pense qu'il est temps de voir la "vraie" définition de limite et de démontrer ces propriétés élémentaires qui avaient été admises comme axiomes. Les définitions évoluent au fil de l'étude des maths, elles ne sont pas figés et s'affinent et se généralisent au fur et à mesure (quand on fait du Fourier, on a un "théorème de Pythagore" qui parle de fonctions....).

Cyrano

Je me suis sans doute mal exprimé.

La première chose qu'il faut rappeler c'est que les grands scientifiques de l'époque comme Newton ne font pas que des mathématiques. Ces gens-là étaient biberonnés à la philosophie depuis leur plus jeune âge, ils lisaient des oeuvres très profondes ce qui structurait énormément leurs réflexions. Ainsi, même si la rigueur du langage mathématique n'était pas encore présente, leur rigueur intellectuelle n'était plus à démontrer. Une intuition de Newton ce n'est pas équivalent à une intuition d'une personne lambda au 21ème siècle, tout simplement car le background intellectuel derrière n'est pas du tout le même. (Et ça je ne vois pas en quoi il serait scandaleux de l'affirmer.)

Le phénomène est très intéressant avec Euler. Enormément de preuves d'Euler sur les séries sont fausses (manipulation de séries divergentes, etc ...) mais ce qui est remarquable c'est que toutes ces preuves fausses peuvent "sans trop de problèmes" être rapidement modifiées pour devenir correctes ! On voit donc que, même si la pauvreté du langage mathématique de l'époque ne permettait pas la vraie rigueur, les grands mathématiciens, à leur façon, expérimentait déjà cette rigueur via leur intuition. A nouveau, tout ne se vaut pas.

Aujourd'hui la situation est différente. Les élèves arrivent à l'école avec un background intellectuel beaucoup moins étoffé et ce dont ils ont besoin avant tout, c'est de structurer leur pensée. Les intuitions viendront plus tard. Il faut arrêter de faire les choses dans le désordre. On a la chance d'avoir un langage mathématique assez simple d'accès (peu de symboles si on se limite aux maths élémentaires) qui permet d'exprimer des choses très riches. Et encore une fois, on a jamais interdit à personne de faire un dessin à côté de la définition.

Cyrano

sebsheep : Tout dépend de ce que tu appelles axiome des limites. Je trouve ça contre-productif par exemple "d'admettre" que la limite de la somme (resp. du produit) c'est la somme (resp. le produit) des limites. Pour la simple et bonne raison que ces preuves sont élémentaires et sont justement faisables en secondaire. Ce sont peut-être même de très bons exercices pour dédramatiser les quantificateurs.

Ce n'est pas anodin que tu mentionnes les 3 quantificateurs alternés. Je me rends compte qu'il y a, même chez les matheux "pros", une horreur des quantificateurs qui est assez surprenante. Je lisais récemment les consignes de rédaction pour les revues liés à l'EMS (european mathematical society) et il est explicitement mentionné qu'il ne faut JAMAIS utiliser les symboles "$\forall, \exists$" mais écrire en toute lettre "for all, there exists". (Ce qui est d'autant plus drôle, car, "there exists" ne se dit pas en anglais, il faut dire "there is". :-D )

sebsheep

Tu sembles glisser sur le fait que je propose une approche axiomatique et donc tout à fait valide mathématiquement (c'est ce que tu fais toi même à un autre niveau).

Mais passons. Dans l'hypothèse où l'on prenne ta définition au lieu de mon approche axiomatique, quels problèmes mathématiques ou physiques "rencontrables au lycée" cette définition permet de résoudre que ne permet pas mon approche ? Structurer l'esprit c'est bien, mais structurer l'esprit en apprenant à résoudre de vrais problèmes**, c'est mieux.

Pour le langage mathématique "simple d'accès", tu m'apprends un truc. Ce n'est pas pour rien qu'il a mis des milliers d'années à émerger ce langage "permettant d'exprimer des choses très riches". C'est un langage très abstrait, qui paraît simple quand on l'a assimilé et qu'on s'y est habitué, comme tout chose "abstraite".

** je ne parle pas de "tâche complexes" hein, mais de détermination de limites pour des expressions "compliquées", de trajectoires, d'équa diffs... Tout ce genre de choses qui devraient être accessibles (et faites) en lycée.

GaBuZoMeu

Cyrano a écrit:

Je lisais récemment les consignes de rédaction pour les revues liés à l'EMS (european mathematical society) et il est explicitement mentionné qu'il ne faut JAMAIS utiliser les symboles "$\forall, \ \exists$" mais écrire en toute lettre "for all, there exists".

Peux-tu donner la référence exacte ? Il me semble évident qu'il ne sera jamais déconseillé d'utiliser les symboles $\forall, \exists$ dans une formule. Ne serait-ce pas plutôt qu'il est fortement déconseillé d'utiliser les symboles $\forall, \exists$ comme abréviations dans une phrase de texte (ce qui me semble parfaitement raisonnable) ?

Cyrano

Je ne dis pas qu'une approche axiomatique n'est pas mathématique, je dis juste qu'en général on essaie de se contenter d'un minimum d'axiomes.
Avec ton approche, tu dois certainement mettre les propriétés de somme et produit en axiomes par exemple, et je trouve ça tristounet car ça se démontre sans trop de problèmes. A contrario, je ne trouve pas anormal d'admettre la loi De l'Hôpital en secondaire.

Après il y a aussi différentes conceptions de l'enseignement. Tu sembles vouloir axer ton enseignement sur la "résolution de problèmes concrets." Une approche bourrée d'axiomes permettant de faire rapidement les calculs est peut-être adaptée si l'on souhaite se diriger vers de tels objectifs. Personnellement je ne suis pas certain qu'il soit si vital de résoudre des problèmes de trajectoire en secondaire mais tout se discute.

Pour la simplicité du langage, je parle essentiellement de la simplicité à le mémoriser. Je ne dis pas qu'il n'y a pas d'efforts intellectuels à faire, mais enfin, la mémoire est 100x plus utilisée pour étudier les langues vivantes avec les déclinaisons, les conjugaisons, les milliers d'exception. La langue mathématique a peu de "mots" et n'a aucune exception. Elle me semble de fait une langue plus facile à enseigner que les autres à notre époque où la mémoire des élèves est en moyenne aussi catastrophique.

Cyrano

Voici une référence GBZM.
C'est à la page 13, 14. Comme tu le constateras, il est "très déconseillé" d'utiliser les quantificateurs, même au sein des formules. (Je suis d'accord qu'il vaut mieux les éviter dans les parties littéraires)
Cela dit je ne pense pas qu'un article serait refusé à cause de ça, bien évidemment. Mais enfin, selon moi, cela traduit un petit problème "psychologique" avec les quantificateurs.

Héhéhé

Quand on lit un article de recherche où il y a des quantificateurs, on peut être sûr à 95% qu'il a été écrit par un ou des français.

sebsheep

sebsheep : Tout dépend de ce que tu appelles axiome des limites. Je trouve ça contre-productif par exemple "d'admettre" que la limite de la somme (resp. du produit) c'est la somme (resp. le produit) des limites. Pour la simple et bonne raison que ces preuves sont élémentaires et sont justement faisables en secondaire. Ce sont peut-être même de très bons exercices pour dédramatiser les quantificateurs.

Euh... As-tu déjà fait ça avec des élèves (qui plus est, des élèves "actuels") ? Ok a montré que le produit des limites c'est la limite des produits. Et après on fait quoi de cette preuve ? Où peut-on réinvestir ce procédé de découpage d'epsilon ?

Avant de s'intéresser à ça, il y a pleins de techniques intéressantes à découvrir sur les limites : comme déterminer par exemple la limite de $\frac{x^2+1}{x^3+3}$ et toutes les autres formes indéterminées qui peuvent survenir.

Je ne dis pas qu'il faut jamais parler de cette définition, mais qu'en première approche, on a pleins d'autres choses plus accessibles et "utiles" que de jouer avec les epsilons.

Après il y a aussi différentes conceptions de l'enseignement. Tu sembles vouloir axer ton enseignement sur la "résolution de problèmes concrets."

Je ne suis pas forcément un partisan des "problèmes concrets pour les problèmes concrets" ("déterminer une limite d'une expression compliquée", ce n'est pas forcément très "concret"), mais on ne développe pas des outils pour le plaisir de développer des outils, même en maths. C'est s'enfermer dans une tour d'ivoire de penser de la sorte. Même les matheux pros ne s'amusent pas à ajouter de l'abstraction par plaisir, ils développent des outils pour résoudre leur problème (mathématique).

C'est pourquoi je pense que suivre l'évolution "historique" des sciences dans leur enseignement est le plus naturel.


D'autre part, au lycée, ils n'ont pas formalisé et manipulé le langage quantifié, donc tu dois faire ça avant de donner la définition, sinon tu pourrais parler ouzbek ça serait la même ; c'est beaucoup de travail pour un résultat "peu utile". C'est pour ça que je préfère rajouter quelques axiomes.

Pour répondre à ta question, les axiomes que je prendrais (au débotté sans avoir regardé de près le plus pertinent/économique) :
* le produit/somme des limites est la limite des produit/somme (sauf pour les "formes indéterminées")
* lim 1/x en 0 et $\pm\infty$
* si f > g alors lim f $\ge$ lim g
(* et évidemment si f=g, alors lim f = lim g, m'enfin... c'est "comme d'hab" en math ça : <<si a =b alors F(a) = F(b)>>)
Je pense qu'avec ces 3 règles (et demie) simples, on peut refaire quasiment toute la théorie de Newton.

nicolas.patrois

sebsheep a écrit:

Même les matheux pros ne s'amusent pas à ajouter de l'abstraction par plaisir, ils développent des outils pour résoudre leur problème (mathématique).

Dont la rationalisation de théories et la preuve d'affirmations, ie de théorèmes.
Un des principaux intérêts des mathématiques est que ce n'est pas parce que le prof dit un truc que c'est vrai (enfin, pas seulement) mais surtout parce qu'il peut le prouver (à partir d'axiomes accordés par l'auditoire). Au collège et au lycée (et au-delà avec $\R$), on planque des trucs sous le tapis mais on peut déjà avoir l'honnêteté de le dire mais aussi en planquer le moins possible. J'ai l'impression ces temps-ci qu'on ne veut plus que des maths prétendues utilitaires, à l'ancienne en oubliant la base épistémologique : on prouve ce qu'on affirme, élève comme prof. Après tout, si le prof planque plein de choses sous le tapis et ne prouve pas grand-chose, pourquoi l'élève ne pourrait pas faire de même ?

Ramon Mercader

Si f > g alors lim f > lim g

HORREUR !!!! J'avais crû comprendre que les inégalités strictes supportaient mal le passage à la limite....

sebsheep

"à partir d'axiomes accordés par l'auditoire"

Trouve moi des élèves de lycée qui remettraient en cause les axiomes que j'ai proposé. Il faut voir aussi que présenter la définition, c'est perdre au bas mot 80% des élèves actuels qui retiendront que "les limites c'est compliqué". Minimiser le nombre d'axiomes, ça vient après, on ne forme pas exclusivement des matheux qui feront des recherches en logique (et ceux là passeront sans problème l'étape de formalisation de la limite).

Je ne comprends pas ta première phrase, qu'entends-tu par "rationnalisation de théories" ?

Ramon: merci de m'avoir si gentiment signalé mon inattention (et flemme de passer en mode "TeX").

GaBuZoMeu

Merci pour la référence.

Cyrano a écrit:

les consignes de rédaction pour les revues liés à l'EMS (european mathematical society)

Il serait plus exact d'écrire "des revues", parce que ces consignes ne concernent pas la grande majorité des publications de l'EMS. Je te laisse la responsabilité de généraliser d'une lubie typographique des Rendiconti del Seminario Matematico
della Università di Padova à un problème psychologique des mathématiciens avec les quantificateurs.

Ramon Mercader

@sebsheep

Mis à part ce passage à la limite douteux, je suis d'accord avec toi. Au lycée, il est prématuré d'apprendre à couper les epsilons en quatre......
Si les élèves maîtrisaient les techniques de base ( formes indéterminées, changements de variable, utilisation d'un nombre dérivé bien choisi), ce serait déjà formidable....
Il est regrettable que les limites aient été éjectés des programmes de 1 ère car deux années ne sont pas de trop pour tenter d'assimiler ces notions compliquées....

SERGE_S

Héhéhé a écrit:

Quand on lit un article de recherche où il y a des quantificateurs, on peut être sûr à 95% qu'il a été écrit par un ou des français.

Bon, tout ce qu'on peut écrire avec quantificateurs on peut écrire sans. Il y eu un engouement pour les quantificateurs pendant la période des maths modernes, mais même là il faut faire preuve de discernement. Certains auteurs étaient adeptes des quantificateurs d'autres pas du tout. Lisez les ouvrages de Chambadal Ovaert (Fondements d'analyse et d'algèbre, Analyse II et Algèbre II). On peine à trouver un quantificateur dans le cours. Et pourtant c'est des maths modernes. Prenez maintenant le Ramis Odoux Deschamps, c'est la foire des quantificateurs. Il y en tellement qu'on a l'impression de lire un listing informatique. Même époque, style différent.

Cyrano

@GBZM : Il me semblait au début du papier que les informations concernaient plusieurs revues. (En tout cas moi je suis tombé là-dessus en cherchant une autre revue que celle-là.) Mais cela dit, je suis bien entendu rassuré que cette demande ne soit pas générale. :-D

GaBuZoMeu

Il faut distinguer l'utilisation de quantificateurs de l'utilisation des symboles $\forall, \exists$. On peut quantifier clairement en toutes lettres un texte mathématique, avec des formes de style variées.

nicolas.patrois

sebsheep a écrit:

Trouve moi des élèves de lycée qui remettraient en cause les axiomes que j'ai proposé.

Je ne dis pas le contraire, je dis simplement que la tendance actuelle vide les maths de leur partie centrale.

Je ne comprends pas ta première phrase, qu'entends-tu par "rationnalisation de théories" ?

Par exemple, explicitation de pratiques physiciennes, élagage d'axiomes et approfondissement de théories...

Foys

Soit $A$ l'ensemble de toutes les applications $f$ de $\N$ dans $\N$ telles que pour tout $p\in \N \backslash \{0\}$, $f(p)\leq 9$.
$\R$ peut être défini comme le quotient par $\equiv$ de $\{0\}\cup \left( \{-1\}\times A \right ) \times \left( \{1\}\times A \right )$ où $\equiv$ est la plus petite relation d'équivalence telle que $0 \equiv \left (1, (i\mapsto 0)\right ) \equiv \left (-1,(i \mapsto 0)\right )$ et telle que pour tout $\varepsilon\in \{-1,1\}$, tout $k\in \N$, tout $n\in \N$ tous $a_0,...,a_{n-1}\in \{0,...,9\}$, on a, lorsque $n=0$ ou $n\geq 1$ et $a_n\leq 8$, $(\varepsilon,\alpha) \equiv (\varepsilon, \beta) $ (en posant pour tous $i\in \N$, $\alpha(i):=\beta(i):=a_i$ si $i\leq n-1$, $\alpha(i):=9$ et $\beta(i):=0$ si $i\geq n+1$, $\alpha(n):=a_n$ et $\beta(n):=1+a_n$).

(informellement, les réels sont des suites de chiffres avec un signe éventuel et des identifications comme $-54.31999999...=-54,32$).

Après pour définir les opérations et la relation d'ordre vous souffrez même si c'est celles auxquelles on pense (*)et qu'on se convainc que ça va marcher; c'est pour ça que les gens préfèrent le complété de $\Q$-noter que la propriété de la borne supérieure est triviale: on a une suite qui s'ajuste chiffre par chiffre), cependant il est raisonnable de dire que le "vrai" $\R$ intuitif c'est l'objet défini ci-dessus (à condition d'avoir d'abord appris aux élèves à calculer à la main, avec des nombres décimaux: l'intuition s'appuie toujours sur des images mentales préexistantes, ce que les pédagogos ont tendance à oublier allègrement. Quelqu'un qui est en terminale et qui a besoin d'une calculatrice pour multiplier deux nombres à un chiffre ne comprendra pas cette définition, pas plus qu'une autre).



*******

Ce qu'on attend de $\R$ est notamment la chose suivante:

Appelons monoïde archimédien un triplet $(M,+,\leq)$ où $(M,+)$ est un monoïde commutatif dont le neutre sera simplement noté $0$, $\leq$ une relation d'ordre totale sur $M$ telle que $0=\min M$ pour $\leq $ et pour tous $t\in M$, l' application $x\mapsto x+t$ est strictement croissante, et telle que pour tous $a,b\in M$, si $a\neq 0$, il existe $n\in \N$ tel que $b\leq na$.

Les couples $(M,x)$ où $M$ est un monoïde archimédien et $x$ un élément non nul de l'ensemble sous-jacent à $M$ constituent une catégorie ( les flèches entre $(M,x)$ et $(N,y) $sont les morphismes croissants de monoïdes de $M$ dans $N$ envoyant $x$ sur $y$).
On peut vérifier que $(\R_+,1)$ est un objet final de cette catégorie (autrement dit l'ensemble des nombres réels positifs constitue un cadre de mesure idéal pour les grandeurs exprimées à partir d'une grandeur de référence: en effet si $(P,u)$ est un monoïde archimédien et $\psi:P\to \R_+$ l'unique application comme ci-dessus, lorsque $a\in P$, un énoncé comme $\psi(a)=3.78$ se dit souvent "$a$ mesure $3.78u$", "$a$ vaut $3.78u$" etc).
$(\R,+)$ est juste le monoïde des fractions de $(\R_+,+)$.


[size=x-small](*) Ce sont des algorithmes!!! Le premier algorithme qu'un enfant devrait rencontrer dans sa vie c'est ceux-là-et non pas les imbécillités à la scratch- et ce sont ceux qui étaient enseignés jusqu'à une période très récente à l'école primaire.[/size]

Foys

sebsheep a écrit:

Euh... As-tu déjà fait ça avec des élèves (qui plus est, des élèves "actuels") ? Ok a montré que le produit des limites c'est la limite des produits. Et après on fait quoi de cette preuve ? Où peut-on réinvestir ce procédé de découpage d'epsilon ?

C'est énormément pratiqué en analyse... Sans cet artisanat, on ne peut presque rien faire.

Georges Abitbol

sebsheep a écrit:

Et après on fait quoi de cette preuve ?

Ben, rien ! Qu'est-ce que tu fais des autres démonstrations ? Moi, rien - à part, éventuellement, les regarder, droit dans les yeux, pour avoir l'impression de sortir grandi de cette expérience.

Foys

Cyrano a écrit:

Ce n'est pas anodin que tu mentionnes les 3 quantificateurs alternés. Je me rends compte qu'il y a, même chez les matheux "pros", une horreur des quantificateurs qui est assez surprenante.

Les symboles de quantification $\exists$, $\forall$ sont plutôt utilisés dans les activités où on se distancie du langage lui-même pour l'étudier comme un objet mathématique (c'est-à-dire en logique formelle).
Sinon ça fait un peu SMS (il s'agit d'une aversion d'ordre essentiellement esthétique).

Cyrano

Je comprends Foys. Mais disons que si un énoncé requiert plus de 4 quantificateurs (et cela n'arrive pas qu'en logique tout de même), il devient assez lourd d'écrire "Pour tout truc, il existe machin tel que pour tout bidule, il existe un bazard, tel que ..."

Personnellement, j'utilise toujours les quantificateurs pour des descriptions ensemblistes entre accolades $\{\}$ et je préfère l'écrire en français dans les énoncés.