Probabilités dans un graphe

Adaq

Bonjour,
j'ai un exercice à résoudre et je ne vois pas du tout comment faire, la situation est la suivante : On considère un $G = (V, E)$ avec n sommets et m arrêtes. On considère maintenant une coupe aléatoire de ce même graphe dans laquelle chaque coupe a la même chance d'apparaître. Sois la variable aléatoire $X$ = "Le nombre d'arrêtes appartenant à la coupe" ainsi que la variable indicatrice $X_e$ associé à l’événement $E_e$ = "e fait partie des arrêtes de la coupe". On indiquera encore $X = \sum_e(X_e)$.

Alors ma première question est qu'elle est la différence entre une variable aléatoire simple et une variable dite indicatrice ?

Ensuite on me demande :
1) Sois $ e, f \in E$. Calculer l'espérance de $X_e * X_f$ Indication : différencier les cas où $e$ et $f$ partage 0, 1 et 2 sommets.

2) Déterminer l'espérance de $X^2$ en utilisant le fait que $X^2$ est égal à la somme des $X_e * X_f $ $\forall e, f \in E$. Donc toute les combinaisons de $e$ et $f$ j'imagine.

3)Calculer la variance de $X$ ainsi que son écart-type.

Si quelqu'un arrive déjà à m'aider juste pour le premier, ça serait génial et peut-être que j'arriverai les deux autres seul, merci d'avance et bonne journée !

P.S- Si quelque chose est faux dans l'énoncé ou incohérent je suis à disposition.

GaBuZoMeu

Que veut dire "chaque sommet a la même chance d'apparaître dans la coupe" ? Une coupe est une partition de l'ensemble des sommets en deux sous-ensembles, n'est-ce pas ? Alors qu'est-ce que ça veut dire qu'un sommet apparaît dans la coupe ?

PS : "variable indicatrice" veut dire qu'elle vaut 1 si l'événement ("l'arête $e$ appartient à la coupe") se produit, 0 sinon.

Adaq

Cela veut dire qu'on ne va pas choisir certains plus que d'autre, donc que la coupe est choisie totalement aléatoirement.

Par exemple deux sommets voisins n'ont pas plus de chance d'être choisi que deux sommet totalement disjoints, cou alors que la coupe ne contenant pas de sommet à aussi la même chance d'apparaître que celle contenant tous les sommets.

GaBuZoMeu

Ne veux-tu pas donner l'énoncé exact ? Puisque tu dis "on me demande", il s'agit d'un exercice posé avec un énoncé dont on peut supposer qu'il précise clairement la modélisation.
Une coupe, c'est comme je l'ai rappelé une partie $A$ de $V$, avec son complémentaire (si l'on admet qu'une partition en deux peut avoir un des deux morceaux vide). Une possibilité d'interprétation : les événements $v\in A$ pour $v$ sommet du graphe sont indépendants et chacun de probabilité $1/2$.
Est-ce cela ?

Adaq

Je l'aurais volontiers fait mais la donnée est en allemand...
Et oui c'est cela même.

GaBuZoMeu

L'énoncé, même en allemand, serait plus clair pour moi que ce que tu as écrit !

D'autant plus que je me pose des questions sur la suite :
Question 2 : il est impossible de déterminer l'espérance de $X^2$ uniquement en fonction de $m$ et $n$, si on ne fait pas d'hypothèse sur le graphe (comme supposer qu'il est simple, par exemple). N'y a-t-il pas une telle hypothèse dans l'énoncé ?
Question 3 : on demande la variance de $X^2$ ou celle de $X$ ?

Adaq

Non il faut la donner en fonction de m et n.
Et il faut calculer la variance et l'écart-type de X

GaBuZoMeu

Je t'ai déjà dit que ce n'est pas possible si le graphe n'est pas simple (comme je t'ai dit que c'était sans doute la variance de $X$ et pas celle de $X^2$ qu'on te demandait de calculer). C'est probablement dans les hypothèses de ton exercice.
Pourquoi t'obstines-tu à ne pas communiquer l'énoncé exact ?

GaBuZoMeu

@Adaq. Si jamais tu reviens : soit $e$ une arête ; quelle est l'espérance de $X_e$ ? (L'espérance de la variable indicatrice d'un événement est la probabilité de cet événement).

Adaq

Merci d'avoir pris la peine de répondre, mon exercice étant à faire pour hier j'ai eu les solutions maintenant. Juste par curiosité, qu'est-ce qu'un graphe simple ?
Il ne me semble pas avoir déjà vu se terme quelque part.

GaBuZoMeu

Un graphe simple est un graphe qui ne comprend pas de boucle (arête dont les deux extrémités sont égales) et tel qu'entre deux sommets distincts il y a au plus une arête.

Adaq

Ah d'accord merci, et bien je suppose que comme on ne les a jamais vu, c'est évident à notre stade. Ce que je peux confirmer c'est qu'il y a toujours une seule arrête entre deux sommets J'imagine donc que c'est bien un graphe simple.