raisonnement par l'absurde
Pardon d'avance déjà de ne pas venir souvent, j'ai de travail alimentaire en retard, des soucis de dégâts des eaux dans un (enfin bref)..
Cela fait 2 fois en une semaine que je croise à nouveau la grosse faute d'annoncer à des lycéens ou étudiants que les preuves publiées dans les cours de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ utilisent un RPA (:= raisonnement par l'absurde).
Et même en 3 mois, je l'ai vue 4 fois sur le forum. Elle est en plus répandue par des enseignants de CPGE, ce qui est "un peu plus dommage", car affichée dans des documents qui se veulent justement introduire des études sérieuses (un doc, par ailleurs très sérieux et de qualité mis en ligne par LLG, pourtant prudent et ne parlant pas de "vérité" comme d'autres la commet et en plus la met en gras en la commettant.
Je me force (bien qu'ayant peu de temps) à reprendre dans le présent fil (pour que chacun puisse le mettre dans ses favoris si besoin) ce que j'ai déjà dit 100 fois, mais pas forcément dans un fil uniquement dédié à ça.
1) Le mot <<mathématique>> est une abréviation de <<recherche de certitudes formelles absolues>>. Elles sont nommées "théorèmes de mathématiques" et non pas "certitudes" (pour des raisons évidentes d'éviter les jalousies diverses ou les confusions inappropriées avec les religions ou les fausses sciences (politiques, économiques, humaines, de l'éducation, cognitives, sociales, etc>>
[small]1.1) Le mot <<science>> abrège <<recherche de "bonnes certitudes">>. Les productions des sciences sont construites de la manière suivantes: on démontre des théorèmes de MATHS de la forme "A=>B", et des experts, une collégialité sceptique, et autant que possible apportant des atouts matériels décident de "faire confiance à A", donc vont envoyer "B" dans le champ des "acquis partiels scientifiques" avec un tacite "sous réserve que". L"expérimentation et plein d'autres choses sont à ranger dans les travaux d'experts lors de la décision du degré de confiance qu'on va avoir en A. Par ailleurs, si j'utilise le mot "confiance" et non pas "croyance", c'est parce qu'à la différence des fanatisme politiques ou religieux, le scientifique ne croit pas en A, là n'est pas son problème. Il ne le défendra pas contre des gens qui le nieraient. Il "espère juste" ne pas s'être trompé en "pariant sur" A. (Pour voir la différence avec la politique ou la religion, vous pouvez par exemple aller voir les pages wikipedia sur "le Coran" ou "le jihadisme": elles sont très documentées et on y voit l'interdiction absolue de douter comme un commandement divin que le "prophète" exige des adeptes. Rien de tel en science: DOUTER est à l'opposé une éternelle exigence de la science.[/small]
2) L'accès aux théorèmes de maths se fait par les preuves. N'est déclaré théorème que les énoncés qui ont été prouvés.
3) Qu'est-ce qu'une preuve?
3.1) On a deux réponses à cette question:
3.1.1) la "en pratique" (qui ne concerne que la façon dont l'humain se dépatouille pour les archiver, les lire, les mémoriser, les écrire, etc, sur du papier réel ou les enregistrer dans des fichiers réels).
3.1.2) la réponse formelle "quasi-officielle", qui est légère et que tout le monde comprend (mais que personne ne pratique en raison de la longueur des textes impliqués :-D ) . Je ne vais pas m'étendre sur (3.1.1).
La version la plus épurée, me semble-t-il, de preuve est la suivante: une preuve est une suite finie d'énoncés tels que le premier est un énoncé de la forme Z=>Z et pour chaque énoncé X de la suite sauf le dernier, celui Y qui le suit est tel qu'il existe A tel que X = (A=>Y) et A est un axiome (ou si vous préférez une hypothèse de la preuve.
Exemple de preuve de longueur 4:
0) C=>((A=>B) => (A=>D)) => [ C=>((A=>B) => (A=>D))]
1) C=>((A=>B) => (A=>D))
2) ((A=>B) => (A=>D))
3) A=>B
4) B
Ses axiomes étant : C=>((A=>B) => (A=>D)) ; C; A=>B; A
Sa conclusion étant : B
En pratique, on gaspillerait beaucoup d'encre à disposer les preuves de sciences de cette façon, donc on a mis en place tout un tas de petits tags qui ne servent qu'à une chose: zipper ce qui précède (et non pas le changer).
Si on choisit une structure de phrases libre plutôt que (voir plus bas) des SPA, une preuve est juste la donnée d'une phrase de la forme X=>X, sa conclusion étant la phrase obtenue en retirant (de gauche à droite jusqu'à plus possible) "les si X alors" tels que X est un axiome de la théorie dans laquelle on travaille.
A noter que si on travaille dans une SPA, (voir ci-dessous), pas besoin d'utiliser les axiomes de la logique linéaire (automatiquement vérifiés), il ne reste alors plus que les axiomes tendancieux qui pour ce qui concerne la partie logique sont au nombre de 2 ou 3: 2 si on travaille en logique intuitionniste et 3 pour avoir la logique classique.
LI, les deux suivants:
K) A=>(B=>A)
W) (A=> (A=>B))=>(A=>B)
LC, on ajoute aux 2 précédents un axiome du RPA
RPA) par exemple : ((A=>B)=>A)=>A
ENLSPTA (énoncé non logique supposé par la théorie ambiante)
Le fait d'être dans une SPA étant essentiellement automatique (donné par la nature syntaxique des communications écrites et électroniques), on obtient d'ailleurs un passionnant théorème: un énoncé P est un théorème de maths (dans ses SPA) si et seulement s'il existe une suite finie $(H_1,..H_n)$ finie composée d'énoncés tous d'une des formes K;W; RPA ci-dessus tel que $H_1 = [H_2\to (H_3\to (...\to (H_n\to P)...)]$, et si la théorie ambiante est fixée et que tout le monde est d'accord dessus, on peut ajouter ENLSPTA dans la définition de théorème de maths (actuellement, depuis 100ans en gros, c'est ZF)
4) Pour éviter le prétexte des non logiciens de "ne pas comprendre parce qu'ils ne s'y connaissent pas en logique", je vais à nouveau (je l'ai déjà fait souvent) présenter les choses "pour les matheux". Donc tout sera sémantique. J'adapte chaque théorème (y compris ceux obtenus dans le cadre de recherches récentes) à ce style choisi de présentation.
4.1) Un structure $S$ de "phrases abouties" (SPA) est un triplet $(E,\leq, \to, 1)$ tel que:
a) $\to$ est une application de $E^2$ dans $E$
b) pour tout $x\in E: (1\to x)=x$
c) $\leq$ est un ordre COMPLET ** sur $E$, autrement dit toute partie de $E$ a une borne supérieure et une borne inférieure
d) Pour tous éléments $a,b,c$ de $E: (a\to (b\to c))=(b\to (a\to c))$
e) Pour tous éléments $a,b$ de $E: a\leq b $ si et seulement si $1\leq (a\to b)$
f) $\to$ est croissante à droite, ie pour tous éléments $a,x,y$ de $E$, si $x\leq y$ alors $(a\to x)\leq (a\to y)$
4.2) Exercices d'appropriation:
ea) Prouver que $\to$ est décroissante à gauche
eb) Donner un exemple de SPA où $1$ n'est pas le plus grand élément de $E$
ec) Prouver que si $1$ est le plus grand élément de $E$ alors pour tous éléments $x,y$ de $E: y\leq (x\to y)$
ed) Donner un exemple de SPA où on n'a pas forcément $(x\to (x\to y))\leq (x\to y)$
4.3) Définitions subalternes:
4.3.1) On appelle $\wedge $ l'application de $E^2$ dans $E$ définie pour tout $a,b$ dans $E$ par $(a\wedge b):=inf(\{a;b\})$
4.3.2) On appelle $\vee $ l'application de $E^2$ dans $E$ définie pour tout $a,b$ dans $E$ par $(a\vee b):=sup(\{a;b\})$
4.3.3) On appelle $\otimes$ l'application de $E^2$ dans $E$ définie pour tout $a,b$ dans $E$ par :
$$ (a\otimes b) := inf ( \{ t\in E \mid \exists x\in E: [((a\to (b\to x))\to x)=t] \} )$$
exercice5: prouver que pour tous $a,b,c$ de $E: (a\to (b\to c)=((a\otimes b)\to c)$
exercice6: prouver que pour tous $a\in E: (1\otimes a) = a$
4.3.4) Soit $J$ un ensemble et $f$ une application de $J$ dans $E$. Alors :
$$<< \forall x: f(x)>>$$
est une abréviation de $inf(\{x\in E\mid \exists y\in J: f(y)=x\})$. Autrement dit, c'est la borne inférieure de l'image directe de $f$.
4.3.5) 4.3.4) Soit $J$ un ensemble et $f$ une application de $J$ dans $E$. Alors :
$$<< \exists x: f(x)>>$$
est une abréviation de $sup(\{x\in E\mid \exists y\in J: f(y)=x\})$. Autrement dit, c'est la borne supérieure de l'image directe de $f$.
4.3.6) Les bornes inférieures et supérieures de $E$ sont respectivement notées $T$ et $\perp$.
5) Ajout de symétrie: on appelle SPAS un quadruplet $(E,\leq , \to, 1, not)$ tel que:
a) $(E,\leq, \to, 1)$ est une SPA et
b) $not$ est involution décroissante pour l'ordre $\leq$ de $E$ dans lui-même
5.1) Construction très facile de SPAS: prendre une SPA $(E,\leq, \to, 1)$ (pas forcément complète), choisir dans $E$ n'importe quelle phrase $p$ puis prendre $F:= \{x\in E\mid \exists y : x=(y\to p)\}$, prendre les restrictions de l'ordre et de l'implication et poser $not(x):=(x\to p)$. Le caractère involutif de $not$ découle alors du fait que
$$\forall x\in E: (x\to p)=(((x\to p)\to p)\to p)$$
5.2) Attention, ne pas confondre $not$ avec $non$ qui pour l'instant n'est pas défini ci-dessus. Par définition, il est exigé que "non" soit involutif en toute circonstance!
6) Digression: oublions quelques instants les SPA et les SPAS, et revenons à nos bonnes vieilles habitudes formelles, autrement dit, ne cherchons pas "spécialement à tout définir" et raisonnons comme si la notion de phrase était une notion première comprise par tous. Supposons connu ce que veut dire "non". Pour des raisons typo, je continue cependant dans cette digression de noter l'implication par $<< \to >>$
6.1) Abrégeons par $Tout$ la phrase affirmant <<Tout est vrai>>.
6.2) 6.2) Théorème de MATHEMATIQUE (et non pas convention ésotérique): pour toute phrase $P$, il y a équivalence entre $non(P)$ et $(P\to Tout)$
6.3) Ce théorème est trop peu connu, et cette méconnaissance entraine des très nombreuses idioties enseignementales à tous les niveaux d'étude, et même hors études:
a) Dans le secondaire, par un véritable guerilla consistant à rendre TABOU le fait que $(non(A))=>B$. Voir même pire, un certain nombres D'ENSEIGNANTS ne SAVENT PAS que si les hypothèses d'un exercice sont prouvées contradictoires l'élève qui le prouve A RAISON de déduire ce qu'il en déduit ensuite (j'ai vu de terribles erreurs de correction, ayant fait beaucoup de mal pour les années suivantes à une certaine proportion d'élèves, car en maths, le moindre bug est bien plus conséquent qu'on ne le pense, et une incohérence technique peut faire chuter. D'où nécessité d'une loi qui un jour interdira la pédagogie (du moins celle qui transgresse par le droit qui revendique qu'on énonce des choses fausses au nom de simplifier un énoncé vrai plus compliqué).
b) En politique ou lors de polémiques diverses dans les réunions ou les forums, on voit, lit ou entend souvent des dialogues de la forme:
<< Dupont : bon, mais ça, je le suppose, je suppose X, donc blabla, donc Y
Durand: mais je ne suis pas du tout d'accord avec ton X, ce que tu dis est faux, car non(X)>>
c) En CPGE et autre, des tendances à s'énerver de nombreux guides en prétendant CONVENTIONNEL (et non pas théorémique) ce théorème.
6.4) Preuve du théorème: si non(A) alors non(Tout) => non(A), donc A=>Tout. Réciproquement, si (A=>Tout) alors (non(Tout)) =>(non A), or (non(Tout)) donc non(A)
7) Parmi les SPA (sans S à la fin), et si on accepte un postulat platonicien, le sentiment que $(a\otimes a)$ doit être supposé égal à $a\wedge$ habite depuis presque la nuit des temps tous les scientifiques. C'est pourquoi historiquement, un grand nombre de théorèmes de maths se sont révélés appartenir à toutes les SPA qui vérifient $\forall (x,y)\in E^2: (x\otimes y)=(x\wedge y)$
8) A l'intérieur de n'importe quelle SPA (complète), on peut aussi DEFINIR la fonction "non", qui n'est rien d'autre que,
$$ x\mapsto (x\to \perp)$$
et que l'on défend en invoquant le théorème 6 ci-dessus
9) Mais attention. Soit $S$ une SPAS.
9.1) Définition: $<< 0>>$ est une abréviation de $not(1)$.
9.2) Il n'y a strictement aucune raison, même dans une SPAS où on a un "not" que $not(x) = non(x)$. Pourquoi?
9.3) Parce que tout simplement, il n'y a aucune raison pour que $\perp = 0$.
9.4) Exercice 9 : prouver que dans toute SPAS, $not(x) = (x\to 0)$
10) Définition: $<<S$ est une SPAI (pour "SPA intuitionniste")$>>$ abrège $<<S$ est une SPA qui vérifie $\forall (x,y)\in E^2: (x\otimes y)=(x\wedge y)>>$
10.1) Théorème: une SPA est une SPAI si et seulement si pour tout $a: a=(a\otimes a)$
10.2) Exercice: prouver ce théorème
10.3) Exercice: prouver que pour n'importe quelle topologie $T$, il existe $\to, 1$ tels que $(T,\subseteq, \to, 1)$ est une SPAI
11.1) Les SPAI sont généralement renommées en "algèbres de Heyting", mais la signature est un peu différente. Une topologie est une algèbre de Heyting quand on la munit de l'inclusion. Sans donner la correction de (10.3), je signale spoiliquement que dans n'importe quelle topologie non est définie pour chaque ouvert U par non(U):=intérieur du complémentaire de U dans l'espace entier. Les adeptes de "non non = Id" s'éclateront avec ça :-D
11.2) Les SPAC sont les SPAI qui sont aussi des SPAS. "C" pour "classique".
11.3) Théorème: un SPA est une SPAC ssi c'est une SPAI qui vérifie $non=not$
12) Raisonnement par l'absurde: revenons au SPA et SPAS quelconques. Comme il a été vu ci-dessus, l'involutivité de not peut donner envie de penser que l'ajout de $[non(non(a))]\leq a$ (remarque: on a toujours $a\leq [non(non(a))]$ ) n'est qu'une toute petite chose. Après tout, on peut imaginer que les gens qui veulent absolument dire que $\notin \sqrt{2}\Q$ sont même prêts à prétendre que la notion primitive est l'irrationalité et que rationnel voudrait par définition dire "non irrationnel" (bon bien sûr, on y soupçonnerait de la mauvaise foi, mais peu importe).
12.1) J'insiste donc que le problème n'est pas là
12.2) Il n'y a pas vraiment de différence entre supposer (SEUL) que $non=not$ ou ne pas le supposer, tant qu'on n'a pas documenté quels AUTRES AXIOMES LOGIQUES on se déclare prêts à admettre. Dans les SPAS génériques, supposer $non=not$ ne fait que passer, en vocabulaire d'expert, de la logique linéaire à la logique affine, puisque ça ne revient au fond qu'à demander à $0$ d'être égal à $\perp$, ou encore à $1$ (qui est le nom de "vrai" dans les SPA) d'être égal à $T$ (ie la borne inférieure de l'ensemble vide).
12.3) Ce qui fait la très forte explosion (puissance) de l'ajout de $non=not$, c'est le fait de supposer EN PLUS que
$$ (a\times a ) = (a\wedge a)$$
12.4) Pour dire les choses autrement (et ce sera PARFAITEMENT digéré et compris pour ceux qui auront fait les exercices proposés), peu importe qui est nonA et qui est A, mais ce qui importe c'est de savoir si dans une preuve, vous avez utilisé AU MOINS DEUX FOIS nonA, bien que supposé UNE SEULE fois pour en arriver à une contradiction.
12.5) Pour le dire encore autrement, l'axiome $(nonB\to nonA)\to (A\to $ qui est officiellement l'un des plus de 10 ou 15 énoncés célèbres connus à être "officiellement" équivalents au RPA (le RPA est l'axiome $[(nonA)\to A]\to A$ ) et donc ne fait pas partie de la logique intuitionniste peut malgré tout être "considéré à la limite" comme intuitionniste.
12.7) Bilan: sur le fond des choses, vous faites un RPA quand vous prouvez $[(nonA)\ et\ (nonA)] \to Tout$. Et quanbd vous écrivez à suivre <<Donc A>>
12.8) En particulier, c'est pour cela que j'ai choisi d'exprimer formellement le RPA par $[(nonA)\to A]\to A$. Car, dans cette présentation, il n'y a aucune ambiguité: si, pou raccourcir on admet que $non(non(A)) = A$ en dur, cet énoncé dit:
$$ [(A\to \perp) \to ((A\to \perp)\to \perp)] \to ((A\to \perp)\to \perp)$$
où ON VOIT TRES CLAIREMENT la "duplication" se produire!
12.9 J'en reviens au lien: à ceux qui veulent y voir un RPA de montrer que pour prouver qu'on réutilise plusieurs fois (au moins DEUX fois) l'hypothèse que $\sqrt{2}$ est rationnel avant d'aboutir!
Cela fait 2 fois en une semaine que je croise à nouveau la grosse faute d'annoncer à des lycéens ou étudiants que les preuves publiées dans les cours de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ utilisent un RPA (:= raisonnement par l'absurde).
Et même en 3 mois, je l'ai vue 4 fois sur le forum. Elle est en plus répandue par des enseignants de CPGE, ce qui est "un peu plus dommage", car affichée dans des documents qui se veulent justement introduire des études sérieuses (un doc, par ailleurs très sérieux et de qualité mis en ligne par LLG, pourtant prudent et ne parlant pas de "vérité" comme d'autres la commet et en plus la met en gras en la commettant.
Je me force (bien qu'ayant peu de temps) à reprendre dans le présent fil (pour que chacun puisse le mettre dans ses favoris si besoin) ce que j'ai déjà dit 100 fois, mais pas forcément dans un fil uniquement dédié à ça.
1) Le mot <<mathématique>> est une abréviation de <<recherche de certitudes formelles absolues>>. Elles sont nommées "théorèmes de mathématiques" et non pas "certitudes" (pour des raisons évidentes d'éviter les jalousies diverses ou les confusions inappropriées avec les religions ou les fausses sciences (politiques, économiques, humaines, de l'éducation, cognitives, sociales, etc>>
[small]1.1) Le mot <<science>> abrège <<recherche de "bonnes certitudes">>. Les productions des sciences sont construites de la manière suivantes: on démontre des théorèmes de MATHS de la forme "A=>B", et des experts, une collégialité sceptique, et autant que possible apportant des atouts matériels décident de "faire confiance à A", donc vont envoyer "B" dans le champ des "acquis partiels scientifiques" avec un tacite "sous réserve que". L"expérimentation et plein d'autres choses sont à ranger dans les travaux d'experts lors de la décision du degré de confiance qu'on va avoir en A. Par ailleurs, si j'utilise le mot "confiance" et non pas "croyance", c'est parce qu'à la différence des fanatisme politiques ou religieux, le scientifique ne croit pas en A, là n'est pas son problème. Il ne le défendra pas contre des gens qui le nieraient. Il "espère juste" ne pas s'être trompé en "pariant sur" A. (Pour voir la différence avec la politique ou la religion, vous pouvez par exemple aller voir les pages wikipedia sur "le Coran" ou "le jihadisme": elles sont très documentées et on y voit l'interdiction absolue de douter comme un commandement divin que le "prophète" exige des adeptes. Rien de tel en science: DOUTER est à l'opposé une éternelle exigence de la science.[/small]
2) L'accès aux théorèmes de maths se fait par les preuves. N'est déclaré théorème que les énoncés qui ont été prouvés.
3) Qu'est-ce qu'une preuve?
3.1) On a deux réponses à cette question:
3.1.1) la "en pratique" (qui ne concerne que la façon dont l'humain se dépatouille pour les archiver, les lire, les mémoriser, les écrire, etc, sur du papier réel ou les enregistrer dans des fichiers réels).
3.1.2) la réponse formelle "quasi-officielle", qui est légère et que tout le monde comprend (mais que personne ne pratique en raison de la longueur des textes impliqués :-D ) . Je ne vais pas m'étendre sur (3.1.1).
La version la plus épurée, me semble-t-il, de preuve est la suivante: une preuve est une suite finie d'énoncés tels que le premier est un énoncé de la forme Z=>Z et pour chaque énoncé X de la suite sauf le dernier, celui Y qui le suit est tel qu'il existe A tel que X = (A=>Y) et A est un axiome (ou si vous préférez une hypothèse de la preuve.
Exemple de preuve de longueur 4:
0) C=>((A=>B) => (A=>D)) => [ C=>((A=>B) => (A=>D))]
1) C=>((A=>B) => (A=>D))
2) ((A=>B) => (A=>D))
3) A=>B
4) B
Ses axiomes étant : C=>((A=>B) => (A=>D)) ; C; A=>B; A
Sa conclusion étant : B
En pratique, on gaspillerait beaucoup d'encre à disposer les preuves de sciences de cette façon, donc on a mis en place tout un tas de petits tags qui ne servent qu'à une chose: zipper ce qui précède (et non pas le changer).
Si on choisit une structure de phrases libre plutôt que (voir plus bas) des SPA, une preuve est juste la donnée d'une phrase de la forme X=>X, sa conclusion étant la phrase obtenue en retirant (de gauche à droite jusqu'à plus possible) "les si X alors" tels que X est un axiome de la théorie dans laquelle on travaille.
A noter que si on travaille dans une SPA, (voir ci-dessous), pas besoin d'utiliser les axiomes de la logique linéaire (automatiquement vérifiés), il ne reste alors plus que les axiomes tendancieux qui pour ce qui concerne la partie logique sont au nombre de 2 ou 3: 2 si on travaille en logique intuitionniste et 3 pour avoir la logique classique.
LI, les deux suivants:
K) A=>(B=>A)
W) (A=> (A=>B))=>(A=>B)
LC, on ajoute aux 2 précédents un axiome du RPA
RPA) par exemple : ((A=>B)=>A)=>A
ENLSPTA (énoncé non logique supposé par la théorie ambiante)
Le fait d'être dans une SPA étant essentiellement automatique (donné par la nature syntaxique des communications écrites et électroniques), on obtient d'ailleurs un passionnant théorème: un énoncé P est un théorème de maths (dans ses SPA) si et seulement s'il existe une suite finie $(H_1,..H_n)$ finie composée d'énoncés tous d'une des formes K;W; RPA ci-dessus tel que $H_1 = [H_2\to (H_3\to (...\to (H_n\to P)...)]$, et si la théorie ambiante est fixée et que tout le monde est d'accord dessus, on peut ajouter ENLSPTA dans la définition de théorème de maths (actuellement, depuis 100ans en gros, c'est ZF)
4) Pour éviter le prétexte des non logiciens de "ne pas comprendre parce qu'ils ne s'y connaissent pas en logique", je vais à nouveau (je l'ai déjà fait souvent) présenter les choses "pour les matheux". Donc tout sera sémantique. J'adapte chaque théorème (y compris ceux obtenus dans le cadre de recherches récentes) à ce style choisi de présentation.
4.1) Un structure $S$ de "phrases abouties" (SPA) est un triplet $(E,\leq, \to, 1)$ tel que:
a) $\to$ est une application de $E^2$ dans $E$
b) pour tout $x\in E: (1\to x)=x$
c) $\leq$ est un ordre COMPLET ** sur $E$, autrement dit toute partie de $E$ a une borne supérieure et une borne inférieure
d) Pour tous éléments $a,b,c$ de $E: (a\to (b\to c))=(b\to (a\to c))$
e) Pour tous éléments $a,b$ de $E: a\leq b $ si et seulement si $1\leq (a\to b)$
f) $\to$ est croissante à droite, ie pour tous éléments $a,x,y$ de $E$, si $x\leq y$ alors $(a\to x)\leq (a\to y)$
4.2) Exercices d'appropriation:
ea) Prouver que $\to$ est décroissante à gauche
eb) Donner un exemple de SPA où $1$ n'est pas le plus grand élément de $E$
ec) Prouver que si $1$ est le plus grand élément de $E$ alors pour tous éléments $x,y$ de $E: y\leq (x\to y)$
ed) Donner un exemple de SPA où on n'a pas forcément $(x\to (x\to y))\leq (x\to y)$
4.3) Définitions subalternes:
4.3.1) On appelle $\wedge $ l'application de $E^2$ dans $E$ définie pour tout $a,b$ dans $E$ par $(a\wedge b):=inf(\{a;b\})$
4.3.2) On appelle $\vee $ l'application de $E^2$ dans $E$ définie pour tout $a,b$ dans $E$ par $(a\vee b):=sup(\{a;b\})$
4.3.3) On appelle $\otimes$ l'application de $E^2$ dans $E$ définie pour tout $a,b$ dans $E$ par :
$$ (a\otimes b) := inf ( \{ t\in E \mid \exists x\in E: [((a\to (b\to x))\to x)=t] \} )$$
exercice5: prouver que pour tous $a,b,c$ de $E: (a\to (b\to c)=((a\otimes b)\to c)$
exercice6: prouver que pour tous $a\in E: (1\otimes a) = a$
4.3.4) Soit $J$ un ensemble et $f$ une application de $J$ dans $E$. Alors :
$$<< \forall x: f(x)>>$$
est une abréviation de $inf(\{x\in E\mid \exists y\in J: f(y)=x\})$. Autrement dit, c'est la borne inférieure de l'image directe de $f$.
4.3.5) 4.3.4) Soit $J$ un ensemble et $f$ une application de $J$ dans $E$. Alors :
$$<< \exists x: f(x)>>$$
est une abréviation de $sup(\{x\in E\mid \exists y\in J: f(y)=x\})$. Autrement dit, c'est la borne supérieure de l'image directe de $f$.
4.3.6) Les bornes inférieures et supérieures de $E$ sont respectivement notées $T$ et $\perp$.
5) Ajout de symétrie: on appelle SPAS un quadruplet $(E,\leq , \to, 1, not)$ tel que:
a) $(E,\leq, \to, 1)$ est une SPA et
b) $not$ est involution décroissante pour l'ordre $\leq$ de $E$ dans lui-même
5.1) Construction très facile de SPAS: prendre une SPA $(E,\leq, \to, 1)$ (pas forcément complète), choisir dans $E$ n'importe quelle phrase $p$ puis prendre $F:= \{x\in E\mid \exists y : x=(y\to p)\}$, prendre les restrictions de l'ordre et de l'implication et poser $not(x):=(x\to p)$. Le caractère involutif de $not$ découle alors du fait que
$$\forall x\in E: (x\to p)=(((x\to p)\to p)\to p)$$
5.2) Attention, ne pas confondre $not$ avec $non$ qui pour l'instant n'est pas défini ci-dessus. Par définition, il est exigé que "non" soit involutif en toute circonstance!
6) Digression: oublions quelques instants les SPA et les SPAS, et revenons à nos bonnes vieilles habitudes formelles, autrement dit, ne cherchons pas "spécialement à tout définir" et raisonnons comme si la notion de phrase était une notion première comprise par tous. Supposons connu ce que veut dire "non". Pour des raisons typo, je continue cependant dans cette digression de noter l'implication par $<< \to >>$
6.1) Abrégeons par $Tout$ la phrase affirmant <<Tout est vrai>>.
6.2) 6.2) Théorème de MATHEMATIQUE (et non pas convention ésotérique): pour toute phrase $P$, il y a équivalence entre $non(P)$ et $(P\to Tout)$
6.3) Ce théorème est trop peu connu, et cette méconnaissance entraine des très nombreuses idioties enseignementales à tous les niveaux d'étude, et même hors études:
a) Dans le secondaire, par un véritable guerilla consistant à rendre TABOU le fait que $(non(A))=>B$. Voir même pire, un certain nombres D'ENSEIGNANTS ne SAVENT PAS que si les hypothèses d'un exercice sont prouvées contradictoires l'élève qui le prouve A RAISON de déduire ce qu'il en déduit ensuite (j'ai vu de terribles erreurs de correction, ayant fait beaucoup de mal pour les années suivantes à une certaine proportion d'élèves, car en maths, le moindre bug est bien plus conséquent qu'on ne le pense, et une incohérence technique peut faire chuter. D'où nécessité d'une loi qui un jour interdira la pédagogie (du moins celle qui transgresse par le droit qui revendique qu'on énonce des choses fausses au nom de simplifier un énoncé vrai plus compliqué).
b) En politique ou lors de polémiques diverses dans les réunions ou les forums, on voit, lit ou entend souvent des dialogues de la forme:
<< Dupont : bon, mais ça, je le suppose, je suppose X, donc blabla, donc Y
Durand: mais je ne suis pas du tout d'accord avec ton X, ce que tu dis est faux, car non(X)>>
c) En CPGE et autre, des tendances à s'énerver de nombreux guides en prétendant CONVENTIONNEL (et non pas théorémique) ce théorème.
6.4) Preuve du théorème: si non(A) alors non(Tout) => non(A), donc A=>Tout. Réciproquement, si (A=>Tout) alors (non(Tout)) =>(non A), or (non(Tout)) donc non(A)
7) Parmi les SPA (sans S à la fin), et si on accepte un postulat platonicien, le sentiment que $(a\otimes a)$ doit être supposé égal à $a\wedge$ habite depuis presque la nuit des temps tous les scientifiques. C'est pourquoi historiquement, un grand nombre de théorèmes de maths se sont révélés appartenir à toutes les SPA qui vérifient $\forall (x,y)\in E^2: (x\otimes y)=(x\wedge y)$
8) A l'intérieur de n'importe quelle SPA (complète), on peut aussi DEFINIR la fonction "non", qui n'est rien d'autre que,
$$ x\mapsto (x\to \perp)$$
et que l'on défend en invoquant le théorème 6 ci-dessus
9) Mais attention. Soit $S$ une SPAS.
9.1) Définition: $<< 0>>$ est une abréviation de $not(1)$.
9.2) Il n'y a strictement aucune raison, même dans une SPAS où on a un "not" que $not(x) = non(x)$. Pourquoi?
9.3) Parce que tout simplement, il n'y a aucune raison pour que $\perp = 0$.
9.4) Exercice 9 : prouver que dans toute SPAS, $not(x) = (x\to 0)$
10) Définition: $<<S$ est une SPAI (pour "SPA intuitionniste")$>>$ abrège $<<S$ est une SPA qui vérifie $\forall (x,y)\in E^2: (x\otimes y)=(x\wedge y)>>$
10.1) Théorème: une SPA est une SPAI si et seulement si pour tout $a: a=(a\otimes a)$
10.2) Exercice: prouver ce théorème
10.3) Exercice: prouver que pour n'importe quelle topologie $T$, il existe $\to, 1$ tels que $(T,\subseteq, \to, 1)$ est une SPAI
11.1) Les SPAI sont généralement renommées en "algèbres de Heyting", mais la signature est un peu différente. Une topologie est une algèbre de Heyting quand on la munit de l'inclusion. Sans donner la correction de (10.3), je signale spoiliquement que dans n'importe quelle topologie non est définie pour chaque ouvert U par non(U):=intérieur du complémentaire de U dans l'espace entier. Les adeptes de "non non = Id" s'éclateront avec ça :-D
11.2) Les SPAC sont les SPAI qui sont aussi des SPAS. "C" pour "classique".
11.3) Théorème: un SPA est une SPAC ssi c'est une SPAI qui vérifie $non=not$
12) Raisonnement par l'absurde: revenons au SPA et SPAS quelconques. Comme il a été vu ci-dessus, l'involutivité de not peut donner envie de penser que l'ajout de $[non(non(a))]\leq a$ (remarque: on a toujours $a\leq [non(non(a))]$ ) n'est qu'une toute petite chose. Après tout, on peut imaginer que les gens qui veulent absolument dire que $\notin \sqrt{2}\Q$ sont même prêts à prétendre que la notion primitive est l'irrationalité et que rationnel voudrait par définition dire "non irrationnel" (bon bien sûr, on y soupçonnerait de la mauvaise foi, mais peu importe).
12.1) J'insiste donc que le problème n'est pas là
12.2) Il n'y a pas vraiment de différence entre supposer (SEUL) que $non=not$ ou ne pas le supposer, tant qu'on n'a pas documenté quels AUTRES AXIOMES LOGIQUES on se déclare prêts à admettre. Dans les SPAS génériques, supposer $non=not$ ne fait que passer, en vocabulaire d'expert, de la logique linéaire à la logique affine, puisque ça ne revient au fond qu'à demander à $0$ d'être égal à $\perp$, ou encore à $1$ (qui est le nom de "vrai" dans les SPA) d'être égal à $T$ (ie la borne inférieure de l'ensemble vide).
12.3) Ce qui fait la très forte explosion (puissance) de l'ajout de $non=not$, c'est le fait de supposer EN PLUS que
$$ (a\times a ) = (a\wedge a)$$
12.4) Pour dire les choses autrement (et ce sera PARFAITEMENT digéré et compris pour ceux qui auront fait les exercices proposés), peu importe qui est nonA et qui est A, mais ce qui importe c'est de savoir si dans une preuve, vous avez utilisé AU MOINS DEUX FOIS nonA, bien que supposé UNE SEULE fois pour en arriver à une contradiction.
12.5) Pour le dire encore autrement, l'axiome $(nonB\to nonA)\to (A\to $ qui est officiellement l'un des plus de 10 ou 15 énoncés célèbres connus à être "officiellement" équivalents au RPA (le RPA est l'axiome $[(nonA)\to A]\to A$ ) et donc ne fait pas partie de la logique intuitionniste peut malgré tout être "considéré à la limite" comme intuitionniste.
12.7) Bilan: sur le fond des choses, vous faites un RPA quand vous prouvez $[(nonA)\ et\ (nonA)] \to Tout$. Et quanbd vous écrivez à suivre <<Donc A>>
12.8) En particulier, c'est pour cela que j'ai choisi d'exprimer formellement le RPA par $[(nonA)\to A]\to A$. Car, dans cette présentation, il n'y a aucune ambiguité: si, pou raccourcir on admet que $non(non(A)) = A$ en dur, cet énoncé dit:
$$ [(A\to \perp) \to ((A\to \perp)\to \perp)] \to ((A\to \perp)\to \perp)$$
où ON VOIT TRES CLAIREMENT la "duplication" se produire!
12.9 J'en reviens au lien: à ceux qui veulent y voir un RPA de montrer que pour prouver qu'on réutilise plusieurs fois (au moins DEUX fois) l'hypothèse que $\sqrt{2}$ est rationnel avant d'aboutir!
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
En résumé: définition de ce qu'est un raisonnement par l'absurde.
condition 1: vous avez supposé non(A) et vous en avez déduit une contradiction
condition 2: vous avez utilisé AU MOINS DEUX FOIS dans votre raisonnement le fait que vous disposiez de non(A)
Et pourquoi pas une fois? Et pas trois fois? Bref, cela ressemble pour moi à de l'alchimie (mettre deux pincées de poudre de perlimpinpin et pas trois...).
PS:
Qu'est-ce que cette recommandation/condition signifie?
Après, chacun est libre d'utiliser les mots dans un autre sens que celui donné par leur définition, mais "officiellement", la convention est que l'axiome du RPA doit être "au moins" un axiome tel que
Autrement dit, si tu utilises des mécaniques de raisonnement qui ou bien, sont déjà dans l'intuitionniste, ou bien ne sont pas dans la classique (bon, dans ce cas, tu te crashes par Godel-complétude, donc ça n'arrive que peu et ne dure pas) et ce quel que soit le paradigme dans lequel tu reformalises ces 2 logiques robustes, la convention veut que ce n'est pas malin de les appeler des RPA. Après libre à toi de faire ce que tu veux, les définitions de maths ne sont que des abréviations, pas des lois :-D
Peux-tu donner un exemple élémentaire de RPA ?
Élémentaire étant une abréviation de compréhensible par et utile à un lycéen ?
amicalement,
e.v.
@max :pas compris. J'ai déjà dit que nona => a donc a est un rpa (on utilise a deux fois)
Tu as compris que je n'écoute pas en classe.
TE est un peu trop abrégé pour moi.
Tu peux développer ou je dois jouer au pendu ?
amicalement,
e.v.
Ce qui s'écrit en symboles $(A\to \bot)\to \bot \vdash A$
On s'intéresse au fil...mais ça part très vite en cacahuète...dès la première phrase...
Pourquoi commencer par la provocation "maths" est une abréviation de "recherche de certitudes formelles absolues".
Puis après d'ajouter le truc de la jalousie...
Bon, ce n'est qu'un détail du discours. On passe dessus, pas grave.
Mais après c'est trop long, on "perd le fil" car on se dit qu'il faut peut-être lire en diagonale...et plouf....il ne fallait pas.
Pourrais-tu, cher @cc, écrire cela comme si tu écrivais dans un bouquin édité : pas de fioriture, pas de prose, pas de politique, pas d'idéologie, et définir tout ce que tu utilises (symboles) etc.
Aussi le terme "tout" semble bien vague.."tout est vrai". Est-ce à dire qu'on est avec des choses' vraies et choses fausses ?
Je provoque en début de message, peut-être, mais les trois lignes précédentes sont on ne peut plus sérieuse.
@max, oula pardon, je t'avais mal lu de mon téléphone. Bin justement merci pour ta très pertinente question à laquelle :-D j'ai tapé un post de 3km pour y répondre ;-)
On peut donner deux explications succintes (les autres seraient plus longues).
1) ou bien, on répond comme tout quidam qui connait uniquement les logiques classiques et intuitionnistes, autrement dit, qui sans le savoir, n'a pas été mis au courant que la vraie cassure n'est pas entre elles, mais entre supposer ou pas
"(A + A ) =A" (je mets le signe + exprès). Dans ce cas, non(nonA)=>A est considéré "officiellement" (par cette ancienne école) comme le RPA. (C'est l'énoncé que tu évoques). Et le fait que (non(A)=>A) =>A s'en déduit par le fait que
si (non(A)=>A) =>A alors [non(A) =>(nonA => Tout)] => [(nonA) =>Tout]
Mais cette réponse est la "réponse bête" (je ne dis pas de mauvaise foi, les gens qui la feront seront de parfaite bonne foi), en particulier, elle est souvent émise par les gens qui font l'autre grosse erreur (beaucoup plus grave elle) de répandre publiquement le fait que la logique intuitionniste serait mieux que la classique car plus constructive.
2) La deuxième explication est plus courte. Tu ne me fourniras (tu verras, essaie :-D ) jamais aucun théorème de maths, sans tricher, ie en utilisant le mot "non", prouvé avec non(nonA) =>A, mais sans duplication, dont on ne puisse pas trouver une preuve purement intuitionniste. Autrement dit, s'il est vrai qu'officiellement "on fait un RPA quand on utilise (non non A) => A", hélas, les seules fois qu'on ne pourrait pas s'en passer c'est en ajoutant la condition2 que j'ai signalée. Du coup tout est une affaire de différence entre "prouvé intuitionnistiquement" et "prouvable intuitionnistiquement". Les RPA ne vérifiant pas la C2 sont des "preuves ratées" en ce sens qu'elles auraient pu l'éviter.
HS, (pour toi max): je n'ai pas une grande dispo en ce moment (ce WE), du coup, si tu veux approfondir sans attendre mes réponses, tu peux te rencarder sur les travaux de JYGirard: c'est extrêmement facile à comprendre et pour toi, ce sera vraiment l'affaire de quelques demi-heure de lecture détendue. Ce que je raconte ci-dessus (présent post) est un de ses théorèmes (le théorème d'ailleurs qui l'a conduit à son poste d'éminence avec sa thèse, il n'a pas démontré grand chose d'autre au fond). Sa version formelle est que la logique linéaire NON-intuitionniste est une SOUS-logique de la logique intuitionniste. Autrement dit, la LI + RPA linéaire =LI (en corrigeant 2-3 bugs de notation pour éviter évidemment les objections du genre non(nonA)=>A n'est pas dans la LI)
Et non ce ne sont pas des provocs, je sais que ça demande un peu de temps pour les lecteurs qui découvrent la définition du mot math pour la première fois, mais j'ai fini par comprendre que tout le monde finit par se dire "effectivement c'est juste l'expression explicite de ce que tout le monde a toujours pensé, mais c'est dit". Du coup, je ne me fatigue plus beaucoup à dissiper les ambiguités de cette def, je laisse les gens s'en apercevoir seuls. (Ils ne mettent pas longtemps, vu que le seul mot-champ des maths est théorème (le mot définition est juste synonyme d'abréviation, lemme, corollaire, etc = théorème) et qu'un théorème n'est rien d'autre qu'un énoncé dont on a étibli son statut de certitude formelle).
Bon, mais ça, on s'en remet à la fin, t'inquiète :-D
supposons $a^2=0$. Supposons $a$ non nul. Soit $b$ tel que $ba=1$. Alors $ba^2=a$, donc $a=0$ donc $Tout$
J'ai mis en rouge, les 2 utilisation de $a$ non nul.
Dans le secondaire c'est celle qui précède ou la suivante (par cas) qui sont utilisées pour prouver ça (quand c'est prouvé, ce qui est rare):
supposons $a^2=0$. De deux choses l'une:
si $a=0$ alors $a=0$ donc WIN
si $ab=1$ alors $a=baa=0$ donc WIN
@ev: autres exemples:
1) $(\forall x: (A\ ou\ R(x)))\to (A\ ou\ (\forall x: R(x)))$
2) si non ($\forall xR(x)$) alors $\exists x: (nonR(x))$
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1209957,1210051
Il reste à passer tout cela au petit programme bleu en 10 lignes et voir si tout cet épanchement prouve que "tous les enseignants du secondaire racontent n'importe quoi" ou bien si cela prouve que "il existe au moins un enseignant du secondaire qui raconte n'importe quoi". En effet nul ne peut décider de ce que prouve une preuve.
Je suis un peu «étonné » parce que je croyais que les connaissances que tu présentais sur l’autre topic et sur celui-là étaient vraiment «officielles » et courantes mais en fait pas du tout et du coup je cherche un peu sur Internet avec les liens que tu donnes etc. et y a peu de références en fait et pourtant ce ne sont pas des choses qui ont l’air «super compliquées » (dans le sens où c’est compréhensible même pour un débutant j’ai l’impression) et comme tu disperses un peu tout ça sur le forum j’ai l’impression ça rend le tout difficile d’accès en version «tout en un ». T’as pas envie d’essayer d’un peu tout rassembler sur un lien/bouquin ? (Peut être que c’est déjà le cas d’ailleurs à moins qu’il y ait déjà des livres dessus)
Fin (Faudrait ?) que toutes ces infos soient centralisées et faciles d’accès parce que dans toutes mes études je n’en ai jamais entendu parler et apparemment même à haut niveau » ça a l’air assez hermétique alors que ce n’est pas pourtant des trucs de spécialités super- perchées dans un domaine où faut une spécialisation de 10 ans pour comprendre après je peux me tromper mais c’est Super-bizarre que ce ne soit une info pas plus que répandue que ça.
Bah oui c’est juste ça doit même être le niveau 0 de preuve celle qui a juste une forme de preuve mais où il faut bien être d’accord avec la conclusion pour être d’accord avec la conclusion lol on pourrait l’appeler « preuve triviale » :-D ou « niveau trivial de preuve »
Edit: et en admettant aussi "d'où nécessité d'une loi qui un jour interdira la pédagogie" implique "d'où nécessité d'une loi qui un jour interdira la pédagogie" non ?
Je te file 1000 euros si tu me prouves l'exemple2 sans rpa (je suis seul juge mais réglo)
Quand tu précises que tel truc est une proposition/assertion tu te réserves le droit de déclarer un truc faux, tu prends une certaine distance avec ce que tu affirmes. Mais quand tu écris abruptement, sans autre forme de procès, $a^2=0$ tu sous-entends que ce que tu racontes est vrai (les mathématiciens sont des gens sérieux ils ne gaspillent pas leur temps à écrire des trucs faux pour le plaisir)
Ce que je trouve drôle, c'est que tu as opposé cet argument là dont tu te dispenses ici.
... as a woodcock to mine own springe, (...) I am justly killed with mine own treachery ?
e.v.
PS. ils ne gaspillent pas leur temps à écrire des trucs faux pour le plaisir ?
C'est pourtant vachement plus jouissif !
Mais bon, je ne suis pas mathématicien.
Pas dans cette vie du moins.
J'attends que Christophe ouvre la boîte et m'explique qu'en mettant la main dans le cambouis on n'arrive pas, tel un chewing-gum collé sous la chaussure, à se débarrasser d'une preuve par l'absurde (on suppose un truc vrai et on arrive à une contradiction)
Les en... de mouches pour cataloguer si tel truc est une vraie preuve par l'absurde ou une contrefaçon frelatée (une "vulgaire" preuve par contraposée par exemple) je pense que l'honnête mathématicien s'en cogne grave !
Par contre,
puis quelques lignes plus bas:
Il faut donc être malhonnête, si je te suis, pour faire des maths pures et les "honnêtes gens" 'en font pas, seules les maths appli trouveraient grâce à tes yeux. Bon, bin reste avec tes certitudes, je ne t'explique rien, je ressens que tu n'as surtout pas envie de comprendre, et comme beaucoup de gens, quand tu ne comprends pas un truc, c'est qu'il est nul.
Ce n'est d'ailleurs pas la première fois que tu affiches tes difficultés de compréhension et tes carences en logique, et ce n'est pas une blague maintenant quand je te dis que je t'admire (tu es un des seuls dans la communauté des gens un peu cultivés en maths). Plusieurs intervenants ont déjà loué ton bagage en arithmétique élémentaire et ta collection de trucs pour calculer des intégrales et intervenir de manière pertinente sur ces points dans le forum. Et bien sache que c'est une grande capacité (ceux qui comprennent les maths n'ont pas de mérite, mais j'avoue que tu dois être un des rares que je connaisse à avoir poussé la culture aussi loin, la plupart des gens qui appliquent des recettes et récitent par coeur abandonnent avant)
Lorsqu'on annonce "faisez gaffe, je vais raisonner par l'absurde" et qu'en fait on fait guili-guili avec tout autre chose, on est malhonnête, non ?
Et puis sur le Phôrüm, on s'est déjà vitrifié pour une virgule dans un théorème, on peut bien discuter sur l'art de raisonner, non ?
Enfin, l'enseignant devrait se sentir concerner par ce genre de distinguo, si j'en crois la leçon d'oral de capes :
27. Différents types de raisonnement en mathématiques.
Alors oui, je sais, le capes, c'est plus ce que c'était, j'en ai même trouvé un bout dans la gamelle du chien pas plus tard que ce matin et qu'il est de bon ton de conchier la pédagogie, pas plus tard que dans ce fil.
Je me permets - fort et clair - de ne pas être de cet avis, ni dans un cas, ni dans l'autre. Alors, ne serait-ce que par respect pour les étudiants qui préparent le capes, je ne trouve pas correct de confondre ce sujet avec un paillasson.
e.v.
[ MP: @Christophe, tu fais chier !! Suite à tes interventions, j'ai dû changer deux fois la rédaction de mon cours rien qu'aujourd'hui ! Faudrait pas que ça devienne une habitude ! ]
La petite tirade de FdP sur les "honnêtes mathématiciens" est typique de, j'ose le mot, la posture anti-intellectualiste (de même que ceux qui se vantent de ne pas comprendre quelque chose). Si je ne comprends pas, c'est qu'il n'y a rien à comprendre, et si quelqu'un vous dit le contraire, c'est qu'il est malhonnête, ou tout au moins quelque peu pervers.
Le raisonnement par contraposition consiste à partir de $A\implies \perp$ pour en déduire $non(A)$ (dans les systèmes où on ne considére pas que certains symboles sont des abréviations d'autres).
Un raisonnement visant a établir "$x$ est irrationnel" (c'est à dire $non \left [ \exists p,q \in \Z \times (\N \backslash \{0\}) : x=\frac{p}{q}\right ]$) en commançant par "supposons que $x$ est rationnel" (i.e. supposons qu'il existe $p,q$ ...) n'est donc pas un raisonnement par l'absurde, mais un raisonnement par contraposition (ces choses sont différentes, on le voit avec la logique intuitionniste).
Dans la pratique, l'intention de Dupont est souvent de prouver Y et non pas X->Y qui est accessoire.
Fin de partie, quand un célèbre raisonnement commence par "supposons qu'il existe $p,q$ entiers avec $q$ non nul, tels que $\frac{p}{q} = \sqrt 2$", la personne qui énonce ça pense pourtant toujours le contraire de ce qui est supposé.
Ce n'est pas vrai que "supposer" est synonyme de "se forcer à croire vrai".
Théorème: pour qu'il soit difficile ou impossible de transformer une preuve intuitionniste de
en preuve intuitionniste de
il est nécessaire qu'au cours de la preuve qui a mené à $\perp$ à partir de l'hypothèse nonA, on ait utilisé à au moins deux endroits différents l'hypothèse non(A). Ceci valant pour tout énoncé A sauf certains énoncés exceptionnels sans importance.
Bon, certes, ce petit supplément de précision pour les curieux de logique peut paraitre superflu, mais il ne me semble pas inutile de le signaler, car une fois qu'on l'a compris (et en particulier fait l'exercice de prouver le théorème, qui n'est pas très difficile à prouver, mais un peu long), on ne confond plus jamais une preuve "par contraposée" (comme disent certains) et une raisonnement par l'absurde. De plus, cela permet aussi d'ôter un argument par exemple à ceux qui prétendraient retrouver "le droit" de dire qu'ils raisonnent par l'absurde quand ils déclarent que irrationnel est une notion primitive et que rationnel serait par définition une abréviation de "non irrationnel" (il y en a qui sont capables de cette blague :-D )
Est-ce que sous prétexte qu'un mathématicien affuble d'un raisonnement qu'il fait du sobriquet "par l'absurde" alors que d'autres mieux renseignés l'affubleraient plutôt du sobriquet "par contraposée" que ce mathématicien produit un raisonnement qui est sévèrement contestable?
Quitte à passer pour anti-intellectualiste non-enc.. de mouches primaire j'ai tout de même l'impression que c'est la réponse à cette dernière question qui intéresse surtout un mathématicien.
PS:
Tu peux remplacer la formule "honnête mathématicien" par "brave mathématicien".
Ingo Blechschmidt explique ceci par exemple dans une vidéo tournée à l'IHES. Dans ce cadre là, il sera important de distinguer une preuve utilisant un rpa, et une autre n'en utilisant pas : donc non, ce n'est pas de l' "enc... de mouche", car ça sert, non seulement en logique, mais aussi dans les mathématiques que tu qualifierais sûrement d' "honnêtes" (si les géomètres algébristes ne sont pas des mathématiciens honnêtes il va falloir que tu expliques plus en détail ce que tu entends par là).
Quand on veut noyer son poisson rouge on l'accuse d'avoir la nage. X:-(
On admet notamment : $non(non(A))=A$. Ni implique, ni autre chose, c'est "égal".
Peut-on, doit-on ou faut-il en vouloir aux enseignants qui racontent cela ?
Et le $non$ revient à prendre l'autre élément (à ajouter $1$).
pour moi $A\rightarrow \perp$ n'est pas une définition de la négation de $A$ mais un théorème de la linguistique appliquée à la logique.
Par ailleurs, pour moi maths est une notion première, il n'y a pas de définition.
Que dire d'autre ?
Ah oui, grave stylé ton pavé cc. J'ai dû lire une centaine de lettres. Cela faisait longtemps qu'on avait pas eu droit à la définition post moderne du RPA dans une SPA de la RDA codée en cc++.
Enfin, pardon d'être si méchant.
S
Est-ce que $A \Rightarrow \neg \neg A $ est une "certitude formelle absolue" ?
Est-ce que $\neg \neg A \Rightarrow A $ est une "certitude formelle absolue" ?
J'ai l'impression que la semantique (je ne sais pas si j'utilise le bon terme), certains s'en tapent.
Ils ne regardent que l'évaluation dans ce cas.
@cc
À ce sujet ? (Table de vérité et 0 ou 1) qu'en dis-tu ?
Je veux dire : si l'on admet ne raisonner qu'avec ça et donc avec non(non(A))=A. Est-ce un crime ?
Devons-nous réellement insulter les profs qui feraient cela en sup/spe ou L1/L2 ?