Sous-groupes de $\mathbb{H}_{8}$

b.b

Bonjour

Pour déterminer tous les sous-groupes du groupe des quaternions $\mathbb{H}_{8}$, j'ai cherché « à la main » ceux d'ordre 1,2, 4 et 8, à savoir : $\{1\}$, $\{-1,1\}$, $<i>$, $<j>$, $<k>$ et $\mathbb{H}_{8}$. N'y a-t-il pas une manière plus élégante de rédiger ça ?

Merci

GaBuZoMeu

On peut utiliser le fait que $H_8/\{\pm1\}\simeq (\Z/2\Z)^2$ et que le seul élément d'ordre $2$ de $H_8$ est $-1$.

b.b

D'accord, j'essaie de suivre tes indications.

L'ensemble des sous-groupes de $H_8$ contenant $\{\pm1\}$ est mis en bijection avec l'ensemble des sous-groupes de $H_8/\{\pm1\}$ par $H\mapsto\pi(H)$ où $\pi$ désigne la surjection canonique $H_8\longrightarrow H_8/\{\pm1\}$. Vu que $H_8/\{\pm1\}\simeq(\Z/2\Z)^2$ et que les sous-groupes de $(\Z/2\Z)^2$ sont $\{(0,0)\}$, $<(1,0)>$, $<(0,1)>$, $<(1,1)>$ et $(\Z/2\Z)^2$ les sous-groupes de $H_8/\{\pm1\}$ sont $\{\overline{1}\}$, $<\overline{i}>$, $<\overline{j}>$, $<\overline{k}>$ et $H_8/\{\pm1\}$, ce qui nous donne $\{\pm1\}$, $<i>$, $<j>$, $<k>$ et $H_8$. Tout sous-groupe $H$ non trivial de $H_8$ contient un élément d'ordre $2$ et donc $\{\pm1\}\subset H$.

Edit : correction d'une coquille.

AD

Finalement en résumé, voici le treillis des sous-groupes de $\mathbb H_8$.
À droite la colonne donnant l'ordre des sous-groupes.
Chaque sous-groupe est donné par son type de sous-groupe, un système de générateurs et quand il est distingué, le type du quotient associé introduit par $\ \scriptsize{\mathrm {q:}}$.
Le sous-groupe dérivé est souligné.
Les sous-groupes centraux sont en caractère droits et les traits d'inclusion entre eux sont épaissis.
Alain

b.b

J'en profite pour généraliser ma question vu qu'il y en a qui s'y connaissent bien en théorie des groupes sur ce fil.

Est-ce un problème difficile de déterminer tous les sous-groupes d'un groupe fini donné ? Y a-t-il des techniques qui fonctionnent systématiquement ou bien faut-il raisonner au cas par cas en faisant preuve d'astuce ?

Poirot

Tu peux lire l'excellent livre d'AD "Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes" chez Calvage & Mounet pour avoir la réponse à ta question ;-)

Math Coss

Quelques idées ici, ici (chapitre 3) ou ici.

b.b

Merci pour vos réponses.

@Poirot

Haha, il est bien sûr dans ma liste de livres à acheter, mais les éditions C&M font un peu mal au portefeuille (:D.