Point fixe dans $\Z[x]$

pourexemple

Bonsoir,

Soit $P\in\Z[x]$, tel que $\forall k\in\N,P(k)\geq (k+1)\times |P'(k)|\geq 1$.
$P$ n'a-t-il aucun point fixe sur $\N$ ?

Bonne soirée.

b.b

La condition que tu imposes m'a l'air très restrictive.
Sauf erreur, il n'y a que les polynômes de degré un qui vont pouvoir la vérifier et on montre que sous ces hypothèses, ils n'ont pas de « point fixe » dans $\mathbb{N}$.

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Bonjour,

@b.b : bravo, si $deg(P)>0$, alors $deg(P'(x)x)=deg(P(x))$ et le terme de plus haut degrés est plus grand dans $xP'$ sauf dans le cas de degré 1.


Bonne journée.

pourexemple

Soit $P\in \Z[x]$ tel que $P$ croissante convexe sur $\R^+$ et $\exists M>0, \forall k \in \N, P(k)\geq \max\left(\frac{(k+1)^2}{M},M\times P'(k)\right) $.
$P$ n'a-t-il aucun point fixe sur $\N$ ?

Bonne journée.