Agrégation Interne, sujet 2

Rombaldi

Bonjour,
et voilà le sujet de l'épreuve 2 de l'agrégation interne 2017.
Et maintenant, candidats et candidates, il faut penser à préparer l'oral.
Bonne soirée.
J. E. Rombaldi

Maradona2b

Bonjour,
Serait-il possible d'avoir un rapide aperçu de la correction de cette seconde épreuve ?
En vous en remerciant d'avance.

gerard0

Oui, avec 2 croissants.

Ang

Bonjour,
Le début m'a perturbé avec f de R dans C qui est un grand O de 1/x^2. Ca sous entendait sûrement des modules mais on ne travaille qu'avec des fonctions dans R en général.
Ensuite, dans la question 5, beaucoup ont voulu remplacer par Pi dans la série de Fourier, moi également, pour finalement me rendre compte que c'était tout simplement 0...sauf que j'en ai oublié que t était un complexe et que pour trouver t^2 + k^2 au dénominateur ??? (j'avais du (t-in) dans mes coefficients de Fourier, j'ai multiplié par (t+in), hahaha!!! t est complexe). Dur ce sujet...
Enfin, pour grapiller des points dans les dernières parties, j'ai du coup fait la question 24 a) où là il fallait remplacer par pi (mais il y a toujours ce problème de t complexe...) et 24 (b), je me dis "et si je dérivais par rapport à t", super ça marche, mais t est complexe . NOOOOOOOON
Bref, ils ont vraiment mis un sujet complexe (c'est le cas de le dire) qui en a découragé plus d'un!
Et si quelqu'un a une idée pour la 13 , je n'en ai aucune idée...
Merci!
Bon week-end!

ev

Bonjour Ang.

Pour la 13,
1. tu utilises $\sum_{n=1} nq^n = \dfrac q{(1+q)^2}$ pour $q = \exp(x-(2k+1)\pi)$ puis pour $q = \exp(-x-(2k+1)\pi)$.
2. tu constates dans les deux cas que $\vert q \vert < 1$.
3. tu intervertis les signes de sommation en faisant gaffe à rien casser.
4. tu écris $q = r^2$ avec $r = \exp(\pm x/2-(2k+1)\pi/2)$, du coup $\dfrac q{(1+q)^2} = \dfrac 1{(r^{-1}+r)^2} = \dfrac1{4\cosh^2(\pm x/2-(2k+1)\pi/2)}$.
5. un peu de trigo hyperboloss avec $1+\cosh(2u) = 2\cosh^2(u)$.
6. tu fais le ménage dans les indices de sommation pour transformer tes deux sommes de $k=0$ à $+\infty$ en une seule de $-\infty$ à $+\infty$.

Business as usual.

e.v.

[ PS. C'est moi ou on dirait que c'est jandri qui a écrit le sujet ? ]

did63

Bonjour, je suis surpris par le nombre de commentaires qui diminue d'année en année .Lorsque j'ai commencé à me présenter ils se comptaient par centaines. Cela voudrait-il dire que la plupart des candidats participant à ce forum ont fini par être admis? Si tel est le cas alors çà pourrait être un bon argument "publicitaire".

ev

Did a écrit:

Cela voudrait-il dire que la plupart des candidats participant à ce forum ont fini par être admis?

Tu sembles oublier les nombreux suicidés qui jonchent le phôrüm quand revient la saison des écrits/oraux ou résultats d'iceux.

e.v.

[ Faites pas les cons, c'est qu'un concours ! ]

Manu2014

Ha ha ha je me faisais la même remarque...
Did 63 admis en 2015...moi même en 2014.
Je sais pas...
Ce que je sais c'est que les petits bouquins du Grand JE Rombaldi (je crois que je les ai tous) qui ouvre ce fil, c'est de la pure balle pour être admis.
Mais avant y'avait un modérateur sur ce site aussi...
Snif...où sont-ils tous passé ?

Ang

Ecrivons donc un maximum sur le forum!!!
Merci ev pour votre réponse! Aucun regret en tout cas, ça demandait pas mal de travail et je n'y aurais jamais pensé en peu de temps.
Par contre la question 5 avec t dans C...compliqué ! Dans le cas réel ça se fait avec déjà un peu de travail mais s'il faut travailler avec le conjugué de t...

bigveve

Bonjour,

Personnellement, j'ai eu beaucoup de mal avec ce sujet .... mais bon, j'ai essayé de me battre avec ce que je connaissais ...
J'aimerais avoir des pistes pour la question 19.

J'ai essayé de faire une IPP : la présence de 1/ch²(t) dans l'intégrande était tentante pour intégrer cette partie en th(t) et la dérivée de cos(2tx) faisait apparaitre un "prometteur" sin(2tx) sous l'intégrale, mais le terme "uv" de l'IPP donnait th(t).cos(2tx) qui n'a pas de limite en +infini ... d'où impasse

J'ai aussi tenté les relations trigonométriques : transformer cos(2tx) en 1 - 2sin²(tx) mais après j'étais bien embêté avec mon sin²(tx) dans l'intégrale et pas de sin(2xt) ...

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance !

PS : je ne sais pas utiliser les formules, désolé pour la mise en forme assez austère

ev

@ Ang

Je ne comprends pas tes scrupules. que $t$ soit réel on non, $(t-in)\cdot(t+in)$ ça fait toujours $t^2+n^2$.

e.v.

Timal

Je pense qu'il suffisait de prendre th(x)-1 comme primitive, mais je me trompe peut-être.

Ang

Oh mais oui ev!!! Merci! Donc ce que j'ai fait est bon. Tu me fais un grand plaisir là merci!!! J'avais oublié que t était complexe quand je faisais mes calculs mais ça marche quand même.
Pour bigveve; j'ai eu le même souci que toi, j'ai commencé en mettant th(t) comme primitive de 1/ch²(t) mais je n'y arrivais pas. Donc j'ai pris le (1+e^(2t)) et je l'ai dérivé et ça faisait apparaître le 1/ch²(t) avec un facteur 2 près. Donc il fallait prendre 2/(1+e^(2t)) comme primitive. Ca doit être en rapport avec th(t) mais je n'ai pas cherché plus loin hier quand j'ai vu que ça marchait..je ne comprenais pas pourquoi d'ailleurs avec th(t) ça n'aboutissait pas..

ev

@ bigvev.

Dans 19. Tu dérives $u(t) = \dfrac1{1+e^{2t}}$ en $\dfrac{-1}{2\cosh^2(t)}$ et ton IPP roule toute seule.

e.v.

zorg69

Merci Jean Etienne pour cet envoie.A ce sujet, je trouve votre site sur la prépa agreg-capes excellent.

Cordialement, Zoheir

Ang

Du coup, pour la 24(b), j'ai dérivé les expressions de l'égalité de la 24(a) mais t est complexe, donc ça c'est faux ?
Quelle était l'idée pour passer de la 24(a) à la 24(b) ?

ev

Ang a écrit:

j'ai dérivé les expressions de l'égalité de la 24(a) mais t est complexe, donc ça c'est faux ?

Tout dépend comment tu l'as présenté. Si tu as écrit que tu dérivais au sens des fonctions holomorphes, c'est légal. Faut justifier ensuite...

e.v.

Ang

Les fonctions holomorphes ne sont pas à notre programme. J'ai juste dit que je dérivais chaque expression par rapport à t...il restait 10min je n'ai pas cherché plus mais je suppose qu'il fallait faire autre chose. En plus de dériver par rapport à un complexe, il fallait justifier le fait de dériver sous le signe somme.
Merci ev pour tes réponses ! Le sujet était compliqué et en sortant, on ne sait pas trop quoi en penser. Beaucoup sont sortis avant la fin.

Ryuk

Bonjour,

Dans ce sujet, bien faire la partie I sera surement encore suffisant pour être admissible... Il risque d'y avoir encore des copies de 20 ou 30 pages et qui vont pourtant donner des non admissibles. La qualité plutôt que la quantité....


Question 1 : je vois bien des $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2} dx$ qui vont titiller le correcteur.

Question 2.c) Montrer la convergence normale sur tout segment nécessite d'être organisé. A noter que le sujet mentionne la convergence sur tout compact. Des candidats écriront-ils que tout compact de $\R$ est un segment...

Question 3 : Justifier l'échange entre somme et intégrale par la CVU en particulier sur $[0, 2\pi]$.

Question 4.a : La division par $t-in$ sans insister sur le fait que le terme est non nul de par le choix de $t$. Quelques candidats seront aussi comme toujours ennuyés par le $(-1)^{-k}$, petit truc habituel de dire $\frac{1}{-1}=-1$ mais qui fait parfois croire des candidats à une erreur de calcul qu'ils tentent parfois de camoufler en changeant mine de rien le $-k$ en $k$ (ce qui est correct, mais ça ne doit pas donner lieu à l'impression d'une tentative d'arnaque).

Question 4.b : Convaincre le correcteur que $h_t$ n'est pas continu en discutant par exemple les solutions de $e^{-t\pi}=e^{t\pi}$

Question 4.c : Citer le théorème de Dirichlet correctement, sans zone d'ombre.

Avant d'aller descendre les pistes ;o).... quelques éléments manuscrits de réponses pour la partie I. Peut-être la suite ce soir ou demain si le temps ne se prête guère aux boules de neige. En espérant ne pas avoir écrit trop de conneries en bâclant le travail avant de retourner glisser !

Manu2014

Ses bouquins sont encore mieux que son (très bon effectivement) site.
Y'a pas que Rouvière dans la vie y'a Rombaldi aussi...:-)
Bon ça s'anime enfin...sur la toile.

bigveve

@ Timal, ev et Ang

Effectivement, prendre th(t) - 1 comme primitive de 1/ch²(t) permettait d'aboutir ...
ah si j'y avais pensé hier, à cette heure-ci c'était encore bon :-X

On pouvait aussi utiliser la solution évoquée par ev et Ang, qui revient en fait au même puisque th(t) - 1 = -2/(e^2t +1).

Merci à vous pour vos réponses.

Merci aussi à Ryuk pour son début de corrigé, où les justifications essentielles figurent au bon endroit,
ce qui permet de voir celles que l'on a pu oublier :-?

Petite remarque pour Ryuk : pour la question 4, au début de la page 4, 2eme ligne, je pense qu'il y a un (-1)^k prématuré.
Et bonne glisse, veinard ;-)

christophe c

Juste un très léger HS pour rappeler que l'agreg interne est devenue beaucoup plus difficile (ratios) que l'externe et qu'elle promeut le salaire des agents reçus, ayant entre 30 et 60ans, mais qu'ils travaillent déjà (elle ne sert donc pas à recruter).

Mais je viens de jeter un oeil au sujet**, je ne comprends pas pourquoi inflige cette suite de calculs punitifs aux dits agents qui veulent augmenter leur salaire et changer de corps :-S :-S . Qu'évalue ce genre de sujet? Qu'apportera à l'EN un vieux quinqua ayant réussi cette épreuve de calculs.

-HS off-

Je peux poser la question autrement: y a-t-il un fil conducteur et la volonté de faire effleurer un théorème de maths derrière?

** j'ai une collègue qui l'a passée (pas encore de nouvelles)

abetorius

Bonjour,

Euh, fallait pas aussi utiliser Dirichlet pour la question 3 ?

Zhx

Question, peut-être naïve, et s'adresse particulièrement à ceux qui ont déjà corrigé ou bien réussi des concours avec ce style. Est-il acceptable le jour d'une épreuve de rédiger d'une façon similaire au corrigé proposé par Ryuk ? Je passe beaucoup de temps à faire des phrases en français complet mais je ne suis pas certain que ce soit rentable, elles sont parfois plus difficile à structurer qu'un ensemble d'accolades et de flèches.

ev

@ Zhx.

Le style télégraphique, les abréviations, les flèches sont désagréables pour un correcteur. Ils sont à proscrire de la part d'enseignants qui sont la plupart du temps dans le rôle du correcteur.
On pourrait parler de politesse du candidat envers un correcteur qui est somme toute son collègue.

La politesse prend du temps, mais il n'est pas interdit de s'entraîner.

@ Christophe.
Un rappel : Si tu n'aimes pas les calculs, n'en dégoûte pas les autres. Ce sujet est riche. Il permet d'invoquer un grand nombre de théorèmes d'analyse. Tu peux t'amuser à nous rédiger la partie II, pas calculatoire pour deux sous.

e.v.

christophe c

Merci ev, tu réponds à une partie de la question: "ce sujet utilise-t-il des théorèmes?". Est-ce que par ailleurs tu sais s'il en préparer un à démontrer (est-ce qu'il y a "une conclusion ou des conclusions en gros"? )?

abetorius

Désolé, je n'avais pas vu le début de corrigé joint. Merci beaucoup Ryuk !

christophe c

ev a écrit:

Tu peux t'amuser à nous rédiger la partie II, pas calculatoire pour deux sous.

Je n'ai pas le temps là, mais je recliquerai plus tard, mais je ne comprends pas quand j'ai cliqué je pensais avoir tout parcouru et n'ai vu que du calculatoire. Est-ce que le sujet a été posté en plusieurs pdf dans le fil? :-S

ev

@ Christophe.

D'après ta terminologie, il y a un théorème par question, et même un théorème par ligne de calcul...

Pour répondre sincèrement à ta question, non. Si j'en comprends le sens, il s'agit de démontrer que la fonction elliptique de Weierstrass est méromorphe, mais si tu prononces le mot "holomorphe" ou dérivation complexe, tu as un gage.

L'intérêt à mon sens, c'est le voyage et les paysages traversés.

Des spécialistes des fonctions elliptiques t'en diront plus.

amicalement,

e.v.

Pythagore31

Bonjour à tous.

Ils ont du trouver qu'on était trop fort l'année dernière sur les séries indexées dans Z, alors ils nous ont remis ça... en compliquant avec des "doubles séries" ;-)...

Elle m'a fait mal à la tête la partie 2 avec tous ces indices...

Question : il y avait un piège dans la 6 b ou c'était comme la 6 a ?

geo

Sujet déroutant avec des grands O. J'ai mon collègue qui pensait que c'était des petits o. Ils auraient pu le préciser.
Cela demandait pas mal de temps et de calculs pour faire les trois premières questions. Bien utiliser les théorème sur es séries abs convergentes etc...
Bref ça m'a épuisé.

Pas facile quand même. Le problème c'est qu'avec la fatigue n'écrit des bêtises qu'on ne voit qu'après.
Bon courage pour la suite à ceux qui pensent avoir réussi.

ev

@ Pete Gore,

Je pense comme toi, c'est plus ou moins la même tambouille, Cauchy comme ça.

e.v.

did63

@Christophe.Je suis aussi allergique que toi aux calculs voire plus, je peux me tromper dans un développement niveau troisième, mais je suis pas d'accord avec toi pour une fois.Ce sujet me semble être intéressant et pas très calculatoire.Du moins pour la partie I), je n'ai pas essayé de répondre aux autres questions.

Balix

En tout cas ils nous ont bien soignés avec ce sujet

Pour l'anecdote, dans le centre ou j'étais, ils distribuaient les sujets à l'envers pour que tout le monde puisse commencer en même temps. Du coup on pouvait lire la question 29, et là avant même que ça ne commence, je me suis dit que ça sentait pas bon 8-).

Sinon, pour le Fubini des series indéxées sur $\mathbb{Z}$, j'ai essayé de suivre ce que je croyais l'énoncé voulait nous faire faire, mais je me pose la question, Fubini pour les séries entières étant au programme de l'agreg, est ce qu'on ne pouvait pas couper la somme en 4 :
$\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\sum_{l=-\infty }^{+\infty } u_{k,l}=\sum_{k=0 }^{+\infty }\sum_{l=0 }^{+\infty } u_{k,l}+\sum_{k=1 }^{+\infty }\sum_{l=0 }^{+\infty } u_{-k,l}+\sum_{k=0 }^{+\infty }\sum_{l=1 }^{+\infty } u_{k,-l}+\sum_{k=1 }^{+\infty }\sum_{l=1 }^{+\infty } u_{-k,-l}$
chacune des 4 doubles sommes héritant des hypothèses d'application de Fubini, on leur applique séparément, et on recolle ?

ev

Pas d'accord.

Les sommes partielles de la partie II sont symétriques.
Donc les familles (absolument) sommables sont des suites sommables au sens de la partie II.
La réciproque n'est pas assurée.

Par ailleurs, pour rattacher les suites de la partie II aux séries entières, il y a du boulot, que je ne vois pas bien.

Ce que tu racontes concernant la question 29. est un cas d'annulation de l'épreuve.
Ton centre a été avantagé par rapport aux candidats qui ont reçu leur sujet à l'endroit.

e.v.

Balix

Effectivement, on a eu 1 min pour lire la dernière question du sujet, gros avantage... la plupart des candidats partaient déjà avec un coup au moral avant même de commencer.
Dans ce cas là, faut aussi annuler pour les centres qui permettent aux candidats de paginer les copies à la remise (nous ils nous ont bassinés pour qu'on oublie pas de paginer dans temps réglementaire, ça prend bien une minute ou 2 de paginer ), même chose pour ceux qui ont oublié de remplir la fin de l'en-tête qui était donnée dans le sujet , le remplir après les 6h leur donne un avantage , ils ont pu composer plus longtemps .
Et puis on a été désavantagés; on était dans une salle frigorifique le premier jour (l'annulation des épreuves du mardi et mercredi faisait qu'ils n'ont allumé le chauffage que le jeudi matin), tu crois qu'on peut porter réclamation et faire annuler ?

ev

Pour les conditions générales (bruit, travaux) ou climatiques, très difficile, sauf à venir avec son huissier... ce qui dénote a priori d'un certain mauvais esprit.

L'histoire de la pagination est assez casse-pied. Je ne connais pas de texte précis là-dessus.

En revanche, l'histoire de laisser visible une partie de l'énoncé est factuelle, outre que c'est complètement idiot.

Mais qui, dans un autre centre donc qui n'est pas témoin direct de la chose, ira chercher un avocat pour déposer un recours en urgence au risque de se mettre sa hiérarchie à dos pour le restant de sa carrière ?

Des noms ?

e.v.

soleil_vert

Je peux poser la question autrement: y a-t-il un fil conducteur et la volonté de faire effleurer un théorème de maths derrière?

C'est juste un sujet classique qui était au programme de l'agrégation jusqu'aux années 1940...