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Constante d'Euler

Bonjour, je viens sur votre forum puisque je cherche de l'aide avec cette fameuse constante d'Euler.

Je sais à quoi elle correspond etc, ici n'est pas le problème.

Je souhaiterais simplement la programmer sous PYTHON avec une précision (donnée dans les arguments).
Et avec une erreur inférieur à 10^-6.

Et là, je ne sais pas du tout comment m'y prendre, si quelqu'un s'y connait.

Cordialement.

Réponses

  • je viens de me rendre compte que je me suis trompé de section ... Désolé
  • $\gamma$ est la limite de la suite $(u_n)$ suivante : $u_n = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} - ln(n) = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1}(\frac{1}{k} -\frac{1}{t})dt$, cette suite ainsi écrite est croissante. La dernière écriture la donne même $\gamma$ comme somme de la série (à termes positifs) de terme général $\int_{n}^{n+1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{t} ) dt$. Et dans ce cas, si on veut évaluer l'erreur, il suffit d'estimer le reste de la série :
    $$R_n = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k}^{k+1}(\frac{1}{k} -\frac{1}{t})dt = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k}^{k+1} \frac{t-k}{kt}dt \leq \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k-1}^k \frac{1}{k^2} dt \leq \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k-1}^k \frac{1}{t^2} dt = \int_{n-1}^{\infty} \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{n-1}.$$ Donc au final, on a $$ 0 \leq \gamma - u_n < \frac{1}{n-1}$$ et si tu veux une précision supérieure à $10^6$, il suffit de prendre $u_{1000001}$ par exemple.
  • Sauf que je n'arrive pas à la programmer informatiquement, je me retrouve avec un programme , qui selon certaines personne est bien trop long.
  • Voir ce lien : https://fr.wikibooks.org/wiki/Mathématiques_avec_Python_et_Ruby/Suites_en_Python#La_constante_d.27Euler
    même si la série $ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n) $ est lente.
  • Tu as intérêt à sommer à partir de la fin pour être plus précis.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • est-ce qu'on parle de la constante $\gamma$ d'Euler (lente à calculer avec la définition $\gamma = -\lim_{n \to \infty} \ln n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$, peut-être que $\gamma = -\Gamma'(1) = -\int_0^\infty e^{-x} \ln(x)dx$ est plus efficace ?)

    ou de la constante $e$ d'Euler (rapide à calculer à partir de la définition $e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$)
  • Si tu veux calculer la constante d'Euler avec précision, il y a de jolies méthodes dans le sujet du capes 1988.

    En tant que problème de travail pour des étudiants d'aujourd'hui, il mériterait une réécriture car c'est de l'époque "sans convergence dominée", ce qui impose des détours, mais c'est très intéressant.
  • Avec une simple utilisation d'Euler-Maclaurin on arrive à
    $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\log n+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^{2}}+\frac{1}{120n^{4}}+...$$
  • Avec l'exponentielle integrale, voir par exemple ici
  • J'espère que vous allez bien Neptune
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