sin(x)/x
Bonsoir à tous et merci à ceux qui liront et répondront.
Je dois montrer que la fonction qui à x associe sin(x)/x n est pas intégrable sur l'intervalle [1;+inf[ mais je n'y parviens pas. (par des comparaisons?)
Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Merci beaucoup.
Vincent.
Je dois montrer que la fonction qui à x associe sin(x)/x n est pas intégrable sur l'intervalle [1;+inf[ mais je n'y parviens pas. (par des comparaisons?)
Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Merci beaucoup.
Vincent.
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Réponses
L'intégrale $\int_{1}^{+\infty}\frac{sin(x)}{x}dx$ est convergente ! (Il suffit de faire une intégration par parties.).
Amicalement.
Olivier.
ptite précision : garde le sin(x) ds l'intégrale qd mm...
Amicalement.
Olivier.
la fonction sin(x) / x est parfaitement intégrable sur l'intervalle [1;+infini]
tu connais le développement polynomial valable quelle que soit x de cette fonction: sin(x) / x = 1 - x²/3! + x^4 /5! - x^6 /7! +......
tu peux intégrer terme à terme puisque le rayon de convergence de la série est infini et trouver la primitive qui s'annule pour x=0 de ta fonction
je rappelle l'intégrale de Dirichlet: int de 0 à +infini de sin(x) / x = pi/2
et la même intégrale calculée de 0 à 1 donne avec la méthode du développement polynomial: 0,946083
tu en déduits ton intégrale calculée de 1 à l'infini: elle est égale à 0,624713.....
cordialement
Effectivement il y a ambiguité. En prépa maintenant on parle d'intégrabilité si
$|f|$ est intégrable. Donc la fonction ne l'est pas.
Pour le voir tu découpes ton intervalle en $(n\pi, (n+1)\pi)$.
Apres il faut montrer que la série $\sum_n \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(x)dx$ diverge.
tu la minores en te restreginant aux intervalles $(n\pi,(2n+1)\pi/2)$ et tu dois minorer le sinus par $x/2$ sur chacun d'eux. Tu as une série divergente.
Si on ne prend pas la valeur absolue, l'intégrale converge. Le plus simple
est de faire une IPP. On peut alors majorer par une fonction $\frac{1}{x^2}$.
Ou alors j'ai mal compris (mais je doute fort que le sinus reste longtemps au-dessus de $x/2$ !).
Amicalement.
Olivier.
amicalement.
Vincent
pour moi cette fonction n est pas intégrable sur cet intervalle puisqu'elle est minorée en valeur absolue pas la fonction qui à x associe (1-cos(2x))/2x qui n est pas intégrable sur cet intervalle.
bonne journée et merci.Vincent.
on garde l'intégrale de |sin x| sur le segmt bien choisi pr coller avec les bosses et cette intégrale vaut simplemt 2.
le dénominateur suffit amplement à faire diverger la série.
Jean
C'était bien la peine de déterrer un sujet vieux de huit années pour dire une telle bêtise.