Composé d'une séquence

Syddoux

Salut à tous! Je m'adresse ici aux experts de Bourbaki.

Il s'agit de construire de manière formelle le composé d'une séquence d'éléments d'un magma E, à l'aide du critère C63 (E III.46) ou éventuellement du critère C60 (E III.18).

Je rappelle qu'une séquence est une famille finie dont l'ensemble d'indices est totalement ordonné.
Voici la définition d'un composé: "soit (Xa) une séquence d'éléments d'un magma E dont l'ensemble d'indices A est non vide. On appelle composé (pour la loi T) de la séquence (Xa) et on note [large]T[/large](Xa), l'élément de E défini par récurrence sur le nombre d'éléments de A, de la facon suivante:
1)Si A={b}, alors [large]T[/large](Xa) = Xb
2)Si A a p>1 éléments, si b est le plus petit élément de A, et si A' = A-{b}, alors [large]T[/large](Xa) = Xb T [large]T[/large](Xa) (a appartenant à A').

Merci à tous pour votre aide!

Amicalement,
Syddoux.

Thierry Poma

Bonjour,

S'agit-il de ceci ? Si tel est le cas, que viennent faire les critères métamathématiques C60 ou C63 ici même ? Je te le rappelle, étant donné un ensemble $\text{A}$ d'indices, fini et totalement ordonné, le collectif Bourbaki définit son terme par récurrence sur le nombre d'éléments (ou cardinal) de $\text{A}$ (Cf. alors E.III.32 et plus précisément E.III.33). Le collectif se sert de cette définition dans la suite de son exposé. Voir par exemple le théorème 1 (A.I.4), théorème d’associativité et son texte démonstratif.

Cordialement,

Thierry

Syddoux

Je ne vois pas du tout en quoi le principe de récurrence me serait utile.
Par contre, Bourbaki précise bien que le critère C60 sert à la "définition d'une application par récurrence transfinie" (E III.18) et que le critère C63 sert à la "définition d'applications par récurrence" (E III.46).
De fait, quand il est écrit "l'élément de E défini par récurrence sur le nombre d'éléments de A", c'est bien un raccourci pour dire qu'il faut construire la suite adéquate, le composé étant le dernier élément de cette suite.

Thierry Poma

Bonsoir Syddoux,

Dans la référence susmentionnée, le collectif Bourbaki ne définit en aucun cas une application par récurrence. Reprenons. Soit $(E,\,\odot)$ un magma, $A$ un ensemble non vide fini et totalement ordonnée (donc bien ordonné !) et $\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in{A}}$ une séquence d'éléments de $E$. Je te rappelle que $\odot:E\times{E}\rightarrow{E}$ est une application, i.e. un élément de $E^{E\times{E}}$, qui a la particularité d'être ici une loi interne sur $E$, i.e. telle que pour tous $x$, $y\in{E}$, $E\ni{x\odot{y}}:=\odot(x,\,y)$. En revanche, pour toute partie non vide $X$ de $A$, le composé $\bigodot\limits_{\alpha\in{X}}x_{\alpha}$ est un terme qui appartient à $E$ (il ne s'agit donc pas d'une application !). Et c'est ce terme que le collectif définit par récurrence sur le cardinal de $A$. Plus précisément et par définition de $A$, désignons par $\Gamma_A$ le graphe de l'ordre sur $A$ et posons
\[
\beta_A:=\min\,A=\tau_m\left(m\in{A}\text{ et }(\forall\,y)\left(y\in{A}\Rightarrow(m,\,y)\in\Gamma_A\right)\right)
\]
Remarquons immédiatement que
\[
(\mathrm{card}\,A=1)\Rightarrow\left(\Gamma_A=\left\{(\beta_A,\,\beta_A)\right\}\right)
\]
Cela dit, tout revient finalement à écrire que
\[
\bigodot\limits_{\alpha\in{A}}x_{\alpha}=
\left\{\begin{array}{ll}x_{\beta_A}&\text{si }\mathrm{card}\,A=1\\x_{\beta_A}\odot\left(\bigodot\limits_{\alpha\in{A-\{\beta_A\}}}x_{\alpha}\right)&\text{si }\mathrm{card}\,A\in\N-\{0,\,1\}\\\end{array}\right.
\]
si bien que le composé de la séquence $\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in{A}}$, qui est un terme (et non une application) qui appartient à $E$, se trouve bien défini par récurrence sur le cardinal de $A$. J'espère avoir été clair.

Cordialement,

Thierry

christophe c

@Syddoux: la notion de définition par récurrence n'a pas de sens "primaire", ie ce n'est pas un procédé qu'on rajoute, comme on le ferait pour un axiome. Formellement, c'est d'ailleurs mathématiquement invalide, puisque ça donne l'impression (ce n'est pas qu'une impression d'ailleurs) d'être une définition circulaire quand on le lit.

Oublie Bourbaki, qui est un peu lourdingue sur ce genre de fondement, et reviens aux maths en bonne et due forme. Tu es face à un théorème:

Théorème : soit $(E,*)$ tel que $*$ est une application de $E^2$ dans $E$. Soit $A$ un ensemble totalement ordonné par $\leq$. Soit $Z$ l'ensemble des toutes les fonctions, de domaine fini*** et non vide inclus dans $A$, à valeurs dans $E$. Il existe alors une unique application $\phi$ de $Z$ dans $E$ ayant la propriété suivante: pour tout singleton $s:=\{(i,x)\}\in Z: \phi(s)=x$ et pour tout $i\in A$, $x\in E$ et toute $f\in Z$ telle que $\forall j\in dom(f): i<j$, $\phi(\{(i,x)\} \cup f) = x*(\phi(f))$.

Exercice: démontre ce théorème. Tu te sentiras mieux après car tu auras prouvé (et non pas décrété) "qu'on peut faire des constructions par récurrence".

[small]*** j'utilise la définition suivante de fonction et de domaine (pour éviter l'usine à gaz des triplets, qui ne sont utiles qu'en catégorie): une fonction $f$ est un ensemble de couples telle que $\forall x,y,z: $ si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y=z$
Le domaine de $f$ est l'ensemble $\{x\mid \exists y: (x,y)\in f\}$.[/small]

Syddoux

@Thierry: Je ne suis pas convaincu. Pourrais-tu, si tu le voulais, exhiber le terme que tu as ainsi "défini"?
En tout cas, je n'ai jamais pensé que le composé d'une séquence est une application. Pour moi, il s'agit de définir une suite d'images itérées, le composé étant le dernier terme de cette suite. D'ailleurs, Bourbaki n'a jamais parlé de "définition d'un terme par récurrence" (il a toujours exhibé ses termes de manière très concrète), ce qui me laisse penser que c'est une ellipse pour "définition d'une application par récurrence, puis on prend le terme adéquat".

@Christophe: il ne s'agit pas ici d'une question de vie ou de mort, comme dans mon post "ensembles ordonnés"; j'arrive très bien à avancer sans savoir à quel assemblage précis correspond le composé d'une séquence. Je n'ai donc pas besoin d'un théorème de "remplacement" (sans connotation péjorative, bien sûr).

Thierry Poma

Bonjour Syddoux,

De quel terme veux-tu parler ? Il y en a plein dans mon message.

Pour moi, il s'agit de définir une suite d'images itérées (...)

Peux-tu préciser ?

Cordialement,

Thierry

Syddoux

Je parle du composé d'une séquence (Xa).
Bourbaki montre (E III.47), comme exemple d'application du critère C63, que lorsqu'on se donne une application g de E dans lui même et un élément a appartenant à E, il existe une application f de N dans E telle que f(0)=a et f(n+1)=g(f(n)) pour tout n.

Quand je parle "d'exhiber" un terme, je veux dire que ton terme (qui peut être une lettre) doit vérifier certaines propriétés bien précises correspondant à la définition. De fait, il y a deux façons de définir un terme:

1)on utilise un théorème d'existence; c'est ce qu'on fait lorsqu'on définit l'image par f d'un élément.
2)on dit qu'on dénomme le terme d'une certaine façon si il vérifie les propriétés voulues; c'est ce qu'on fait avec le majorant d'une partie d'un ensemble ordonné (mais on peut utiliser la 1ère méthode).

Ta définition de composé d'une séquence (qui est celle de Bourbaki) est elliptique, mais je pense qu'elle correspond plutôt à la 1ère méthode. Je ne vois pas comment tu pourrais utiliser la 2ème.

Thierry Poma

Soit $\Gamma_A$ le graphe de l'ordre sur $A$ qui est également celui d'un bon ordre sur $A$. Posons
\[
\alpha:=\min\,A=\tau_m\left(m\in{A}\text{ et }(\forall\,y)\left(y\in{A}\Rightarrow(m,\,y)\in\Gamma_A\right)\right)\text{ et }
\omega:=\max\,A=\tau_m\left(m\in{A}\text{ et }(\forall\,x)\left(x\in{A}\Rightarrow(x,\,m)\in\Gamma_A\right)\right)
\]
Ce faisant, pour tout $\kappa\in{A}$, posons
\[
[\alpha,\,\kappa]=\left\{\begin{array}{c|c}\iota&\iota\in{A}\text{ et }(\alpha,\,\iota)\in\Gamma_A\text{ et }(\iota,\,\kappa)\in\Gamma_A\end{array}\right\}
\]
et donc
\[
\mathfrak{S}_A=\left\{\begin{array}{c|c}[\alpha,\,\kappa]&\kappa\in{A}\end{array}\right\}
\]
Il est clair que $\{\alpha\}=[\alpha,\,\alpha]\in\mathfrak{S}_A$, $A=[\alpha,\,\omega]\in\mathfrak{S}_A$ et que le sous-ensemble $\mathfrak{S}_A$ de $\mathfrak{P}(A)$ est bien ordonné pour l'inclusion. D'autre part, si $\mathrm{card}\,A\geqslant2$, alors, pour tout $(\iota,\,\kappa)\in{A\times{A}}$ tel que $\iota\ne\kappa$, l'un des ensembles $[\alpha,\,\iota]$, $[\alpha,\,\kappa]$ est un segment initial propre de l'autre. Cela dit, ton objectif serait-il de construire cette famille
\[
\left(\bigodot\limits_{\iota\in{X}}x_{\iota}\right)_{X\in\mathfrak{S}_A}
\]
voire celle-là ?
\[
\left(\bigodot\limits_{\iota\in{g(m)}}x_{\iota}\right)_{m\in[1,\,n]\cap\N}
\]
où $n=\mathrm{card}\,A$ et où $g:[1,\,n]\cap\N\longrightarrow\mathfrak{S}_A$ est définie de la manière suivante. $g(1)=A$ et si $n\geqslant2$, alors, posant
\[\max\,{\bf u}=\tau_m\left(m\in{\bf u}\text{ et }(\forall\,x)\left(x\in{\bf u}\Rightarrow(x,\,m)\in({\bf u}\times{\bf u})\cap\Gamma_A\right)\right)\]
l'on a
\[
g(m+1)=g(m)-\left\{\max\,g(m)\right\}
\]
pour tout $m\in[1,\,n-1]\cap\N$.

Je ne ferai aucun commentaire sur ta dernière intervention. Tout a été dit !

Cordialement,

Thierry

Syddoux

Très bien; mais pourquoi me poser une question puis ecrire: "Tout a été dit!"? En outre, il me semble que ta construction n'est pas achevée! Tu t'es justement arrêté au point d'achoppement.
Pour te répondre, ce n'est pas spécialement mon objectif de construire une telle famille, je cherche tout simplement une définition rigoureuse, formelle et la plus naturelle possible du composé d'une séquence. Si tu as tes idées sur la question n'hésites pas à les partager!

Cordialement,
Syddoux.

Thierry Poma

Bonjour Syddoux,

En outre, il me semble que ta construction n'est pas achevée! Tu t'es justement arrêté au point d'achoppement.

Peux-tu expliciter, s'il te plait ? J'avoue ne pas vraiment comprendre de quel point d'achoppement tu parles. En effet, jusque là, ce n'est que critiques vaseuses de ta part que je lis et aucun apport personnel rigoureux. Sois donc plus précis pour que je puisse te répondre avec précision.

Cordialement,

Thierry

Syddoux

Reprenons les choses simplement.
Pourrais tu, si tu le voulais, écrire le composé d'une séquence (Xa), sans utiliser de symboles abréviateurs introduits après la page A I.2? C'est-à-dire sans tricher.

Edit: bon petit cafouillage; mais tu m'as compris: la définition d'un composé donnée par Bourbaki ne me satisfait pas d'un point de vue formel. Tu n'as pas l'air de comprendre cette insatisfaction, et tes messages n'incitent pas au débat. Donc effectivement tout est dit.
Merci tout de même.

Cordialement,
Syddoux.

christophe c

Je n'ai pas compris la réponse que tu m'as faite Syddoux. Je t'ai donné définition et théorème qui font émerger la notion de composée de séquence comme tu dis. Que veux-tu de plus?

pete01

Il me semble que l'articulation avec le principe de récurrence (finie) est obtenu à l'aide de la relation de "semblabilité" entre séquences. Deux séquences d'éléments de $E$ $x:I\rightarrow E$ et $y:J\rightarrow E$ sont semblables si leurs ensembles d'indices totalement ordonnés et finis sont définis à une bijection croissante près $\phi: I\rightarrow J$ telle que $y=x\circ \phi$.

Toute séquence non vide $x$ d'éléments de $E$ (indexée sur $I$) est semblable à une suite $y$ (finie) définie sur $[1,N]$ ($N>0$). La correspondance entre $x$ et la suite associée $y=(y_n)_{n\in[0,1]}$ est bijective comme il découle des relations $y=x\circ \phi$ et $x=y\circ \phi^{-1}$ où $\phi:[1,N]\rightarrow I$ et son inverse sont des bijections croissantes univoquement déterminées par la séquence $x$. Ceci entraîne l'existence d'une bijection canonique de l'ensemble $S_N(E)$ des séquences de cardinal $N>0$ à valeurs dans $E$ sur l'ensemble $E^{[1,N]}$ des suites d'éléments de $E$ définies sur $[1,N]$ ou ce qui revient au même sur l'ensemble des $E^N$ des $N$-uples coordonnés dans $E$. Nous identifierons canoniquement ces trois ensembles.


On peut aisément définir, certes arbitrairement (on procède ci-dessous par "association à droite"), le composé d'une suite $y=(y_n)_{n\in [1,N]}$ d'éléments de $E$ par récurrence finie. Par exemple en utilisant la notation multiplicative pour la loi de $E$:

Si $N=1$ on pose $\prod_{n=1}^N y_n= y_1$. si $N>1$ on pose $\prod_{n=1}^N y_n= y_1 \prod_{n=2}^{N-1} y_n$

A une bijection croissante $\phi:[1,N]\rightarrow I$ près, ce n'est rien d'autre que la définition proposée par Bourbaki. On définit donc le composé de toute séquence $x$ par le composé de sa suite semblable $y$ indexée sur $[1,N]$. Ceci étant posé on montre aisément par récurrence finie que deux séquences semblables (en particulier deux suites finies semblables) ont même composé, l'argument essentiel de la démonstration étant que l'application composée de deux bijections croissantes est une bijection croissante.

Dans la terminologie de l'ensemble quotient.

La relation de "semblabilité" mentionnée plus haut est essentiellement une relation d'équivalence $\mathcal R$ dans $S_N(E)\sim E^{[1,N]}\sim E^N$. On notera cette relation $x\simeq y\ \textrm{mod.} \mathcal R$. La classe d'équivalence $[x]_R$ des séquences semblables à une séquence $x\in S_N(E)$ est non vide, elle admet outre $x$ lui-même un unique représentant $y$ qui est une suite d'éléments de $E$ indexée sur $[1,N]$ (univoquement déterminée par $x$). On note $Q_N(E)$ l'ensemble de ces classes
d'équivalence suivant la relation $\mathcal R$, c'est à dire l'ensemble quotient $S_N(E)/\mathcal R$. Soit $\bar c:E^{[1,N]}\rightarrow E$ l'application "composé des éléments d'une suite d'éléments de $E$ indexée sur $[1,N]$", qui est bien définie, nous l'avons vu, par récurrence finie. Soit l'application $x\mapsto c_{[x]_{\mathcal R}}(x)=\bar c(y)$ de $[x]_R$ dans $E$ où $y\in [x]_R$ est l'unique suite de $E^{[1,N]}$ semblable à tous les éléments de $[x]_\mathcal R$. L'application considérée est par construction constante sur sa classe définition $[x]_{\mathcal R}$. Du fait que la famille des classes $([x]_R)_{x\in S_N(E)}$ partitionne $S_N(E)$ la famille de fonctions $(c_{[x]_{\mathcal R}})_{[x]_R\in Q_N(E)}$ admet un unique prolongement à $S_N(E)$. Ce prolongement n'est rien d'autre que le l'application "composé d'une séquence de $N$ éléments de $E$", prolongement évidemment compatible par construction avec $\mathcal R$ i.e. constante par morceaux sur chaque classe de séquences d'éléments de $E$ semblables.