Pythagore implique-t-il Fermat ?:-)

Charles Delaporte

Bonsoir,

Je m'interroge sur la portée exacte (en mathématiques) des phrases comme :

"le faux implique le faux", "le faux implique n'importe quoi", etc.

Ces phrases sont (pour ce que j'en comprends) des interprétations (abusives ?) de la table de vérité de l'implication.

Mais chacun sait que cette implication-là n'est qu'un connecteur logique (non p ou q), qui ne rend pas compte de l'idée de causalité que l'on met derrière l'idée d'implication (quand on dit p implique q, on sous-entend que l'on peut démontrer q à partir de p. Par exemple, pour illustrer que le faux implique n'importe quoi, on entend souvent dire qu'à partir de quelque chose de faux on peut démontrer ce qu'on veut. Dans le genre, il y a la célèbre démonstration de Russell, légèrement hors-mathématiques : si 2 + 2 = 5, alors je suis le pape).

Existe-t-il vraiment un chemin qui ramènerait n'importe quelle proposition fausse à une autre (0 = 1 par exemple) ?

Peut-on vraiment démontrer ce qu'on veut à partir de quelque chose de faux ?

En quel sens dit-on cela ?

En tout cas, pour le vrai qui implique le vrai, ce serait génial si on avait une technique de démonstration standardisée pour passer d'une proposition vraie à une autre. :-)

Bonne année à tous.
Charles.

[Corrigé selon ton indication. AD]

Charles Delaporte

Correction : si 2+2 = 5, alors je suis le pape.

(et démo : j'enlève 3 de chaque côté, j'obtiens 1 = 2. Or le pape et moi sommes 2 personnes distinctes. Donc le pape et moi sommes une seule et même personne. cqfd.)

SonneOuTonne

Soit (P) une proposition "fausse" (absurde), (Q) la proposition à démontrer.
Supposons (P).
Supposons par l'absurde que (Q) soit fausse, on obtient une contradiction ((P) !); d'où (Q).
Cordialement

Vassia Pupkin0

(p et (p-->q))-->q est un théorème du calcul propositionnel, dans lequel on peut substituer n'importe quelle assertion aux variables p et/ou q ( "je suis le pape" par exemple ...).

Si un atome (variable p, ou q, ou r, ou s ...) peut être déduit dans le calcul propositionnel, alors toute proposition est vraie (par la règle de substitution). Et donc le calcul propositionnel est contradictoire puisque a et (non a) sont vraies.

Réciproquement, si il y a une contradiction (a et (non a)), alors toute proposition est théorème du calcul. En effet, on en déduit les propositions :

((a et (non a)) ou (a et q))
(a et ((non a) ou q))
(a et (a-->q)) puis, en utilisant le théorème :
q

Charles Delaporte

Ha ha, je n'avais jamais vu ce tour de passe-passe. Merci beaucoup.

Je comprends les intuitionnistes...

Cordialement.

Vassia Pupkin0

Qu'est ce que tu veux dire par là ?

Vassia Pupkin0

Alors comme ça tu n'utilisera plus le tiers exclu et le raisonnement par l'absurde ! Ca va être difficile ...

oumpapah0

Bonsoir
mon point de vue:
1.en logique on etudie les implications :
p==>q
dont on connait la table de verité qui en particulier indique que l'implication est vraie en particulier lorsque p est fausse que q soit vraie ou non
2.en mathematiques on utilise l'inférence comme un des procedes de demonstration
" p vraie et (p==>q) vraie permet d'inférer que q est vraie"
3. si on revient à la logique: de la verité de (p==>q) on ne peut rien conclure sur q lorsque p est fausse : donc la verité de (p==>q) laisse le matheux de marbre et il est specieux de détacher de la verite de cette implication une conclusion scandaleuse sur q.. tout au plus le matheux à la limite inférera de p faux la verité de l'implication (p==>q) sans plus ,ce qui ne donnant aucune indication sur q , ne lui apporte rien..
Alors évitons d'aborder ces pseudos paradoxes mal construits propres à épater le bourgeois, ce qui n'est pas grave, mais risque de désorienter des élèves , ce qui est nettement plus grave!
J'ai ouvert le parapluie dans mon en tete pour éviter d'éventuelles discussions stériles..
Oump.

Charles Delaporte

Cher monsieur Oumpapah,

merci pour votre réponse.

Ca me passionnerait d'avoir quelques discussions stériles avec vous... M'offrirez-vous cette joie ?

Comme je sais que ça vous agace un peu, je choisis une seule question, celle qui me brûle les lèvres depuis que vous avez écrit (de mémoire) :

"Pour moi, les maths, c'est des actions, qui se traduisent en définitions après coup, quand ça vaut le coup."

J'aurais beaucoup aimé vous demander à partir de quand (et sur quels critères) on peut estimer que ça vaut le coup de fixer une définition...

Surtout ne le prenez pas pour de la provocation (tout au plus du titillement :-), et un réel désir de m'instruire ).

Cordialement.

Charles.

Bruno

Bonjour Charles (et bonne année).

Juste pour faire un peu plus laconique que Vassia Pupkin.

si $a$ et $p$ sont deux variables propositionnelles, le schéma :
$$\neg a \vee a \vee p$$
est universellement valide puisqu'il contient la disjonction d'une variable propositionelle et de sa négation ensuite tu interprète $\neg a \vee (a \vee p)$ c'est, par définition du connecteur $\Longrightarrow$, $a \Longrightarrow (a \vee p)$ puis $a \vee p$ est équivalent (a les mêmes valeurs de vérité que $(\neg\neg a) \vee p$ et il s'ensuit que le schéma :
$$(\neg a) \Longrightarrow (a \Longrightarrow p)$$
est une tautologie.

Bruno

PS Finalement, je ne suis pas convaincu d'avoir fait plus succinct que VP.

Nipolag0

(Mon clavier polonais ne me permet aucun accent)
Un peu plus synthetique :

Affirmation : Les expressions $\neg x\Longrightarrow y$ et $x\vee y$ sont equivalentes.

On applique deux fois cette affirmation (ordre sans importance) a l'expression tautologique de Bruno
$\neg a\vee a\vee p$ et on obtient $\neg a\Longrightarrow(a\Longrightarrow p)$.

Charles Delaporte

Cher Oumpapah,

permettez-moi de reprendre la discussion sur la base de votre réponse :

vous conviendrez avec moi que tout le monde est d'accord pour dire, dans le langage courant du mathématicien, que l'irrationnalité de pi² implique celle de pi, mais que personne (pas même un logicien, je pense) ne dira que l'irrationnalité de pi implique celle de pi².

Or, à strictement parler, on devrait le dire.

C'est inutile, j'en conviens avec vous, mais ce n'est pas spécieux. C'est mathématiquement exact, si l'on en croit la table de vérité de l'implication.
Et ça se démontre rigoureusement. (En une ligne, avec un raisonnement tour de passe-passe du style de ceux que m'ont fourni nos amis logiciens).

Il y a donc quelque chose dans le langage courant dont la table de vérité de l'implication ne rend pas compte.

Bien.

Nous sommes donc face à deux sens différents du mot "implique".

A partir de là, deux questions :

1) ce qui m'intéresserait, ce serait de dégrossir ce qu'il y a derrière le "implique" de tous les jours. Car c'est lui qui est intéressant. A quelles conditions sur p et q la proposition "p implique q" est-elle vraie au sens de tous les jours? Mais ce n'est pas une petite question... Et j'ai bien peur qu'en dernière analyse, ce ne soit pas une question mathématique. Mais reconnaissez que ce n'est pas une question inintéressante (c'est la question numéro 1 du logicien, en fait), même si elle risque en effet parfois d'entraîner des discussions stériles par manque d'outils adéquats.

2) De façon plus terre à terre, pourquoi a-t-on appelé "implication" le connecteur non p ou q, alors qu'il ne rend pas compte de l'implication de tous les jours? Ce n'est pas moi qu'il faut accuser de déstabiliser les élèves, c'est celui qui a fait cela.
Moi, je suis du côté de l'élève déstabilisé. Je ne l'ai toujours pas digérée, cette table de vérité, depuis qu'on me l'a présentée il y a 13 ans :-)

Cordialement.

Charles.

oumpapah0

Bonsoir,
Je dirais pour vous répondre que l'important est de distinguer ce que j'ai appelé l'inférence qui permet de démontrer et l'implication logique
(p==>q) avec sa table de vérité qui je le répéte ne permet rien de dire sur q lorsque p est fausse : en reprenant votre exemple: vous dites
"à stictement parler on devrait dire que l'irrationnalité de Pi implique celle de Pi²" et c'est la que je ne suis pas d'accord du tout : ce qui est vrai c'est simplement (p==>q) est vraie et on n'a rien à dire sur q! pretendre le contraire c'est vouloir faire rentrer un sens commun donné au mot implique dans un cadre ou cela n'a pas de sens..
d'ailleurs en logique pure on peut empiler des tautologies qui n'ont jamais permis de démontrer qui que ce soit en dehors de leur vérité formelles
ainsi ayant remarque que lorsque p est faux alors l'implication (p==>q) est vraie permet d'ecrire la tautologie
(nonp)=>(p=>q)
signifiant (nonp)ou p ou q
et vous m'accorderez qu'avec ça on ne pourra jamais rien dire sur q..
Alors ce n'est pas moi qui ai inventé la logique thomiste!
Il y a autre chose : en pratique mathématique on parle rarement
de p=>q avec p et q "isolées" de tout contexte : on utilise à tour de bras
les "il existe " et "quel que soit" bref on sort du calcul propositionnel pour entrer dans le calcul de prédicats et de ce point de vue les images de ce calcul à l'aide de "patates" d'inclusion réunion etc. est plus parlant auprés des élèves qui en pratique arrivent à se débrouiller en mettant en valeur leur esprit de contradiction ( " toutes les filles du bahut sont blondes à lunettes..msieur c'est faux ! francesca est brune dit l'un Sonia est blonde mais n'a pas de lunettes dit un autre.. and so on)
Et on récupére les sophismes (à mes yeux ) quand on appauvrit le contexte en resortant les " l'eau bout à 0 degré donc j'ai trop chaud
puisque n'est ce pas "l'eau bout à 0 degré implique j'ai trop chaud"
Je ne sais pas si ce que je viens d'écrire est utile ou non ,mais il faut bien en sortir un jour de tous ces pbs (vrais en pratique mais faux en théorie)
Cordialement
Oump.
si je dis

Charles Delaporte

Cher Oumpapah,

Concernant l'inférence, je ne sais pas si c'est suffisant pour sortir de l'impasse :

Démontrons par inférence que pi² est irrationnel :

pi est irrationnel, (pi irrationnel => pi² irrationnel) est vraie, donc pi² est irrationnel.

Concernant le passage du calcul des prédicats au calcul propositionnel, je vous rejoins tout à fait.

quand on dit x=2 => x²=4, on pense en fait : quelque soit x, x=2 => x²=4

Vous savez, je n'ai pas votre expérience mais à mon petit niveau je crois qu'il ne faut pas trop dénigrer ces problèmes car ce sont certainement eux qui ont donné naissance à cette fameuse table de vérité. Sinon, si vraiment ce n'était que du pur calcul sans signification, on ne l'aurait pas appelée implication, on l'aurait appelée schmulb.

Cordialement.

Charles.

P.S. logique thomiste ? Me serais-je trahi ? Ou bien google...

Charles Delaporte

Cher Oumpapah,

maintenant que vous avez commencé, il faut aller jusqu'au bout. :-)

N'êtes-vous pas d'accord avec moi pour dire que l'irrationnalité de pi entraîne vraiment celle de pi², dans tous les sens du terme, puisque ça se démontre par inférence ?

Cordialement.

Charles.

Nipolag0

Charles,

Je n'ai pas compris votre raisonnement. Pouvez-vous me montrer que l'irrationnalité de pi entraîne vraiment celle de pi² ?
Vous devez utiliser que (non p)=>(p=>q)
signifiant (non p)ou p ou q

(On le voit parce que (non a)=>b signifie a ou b.)

Ce devrait etre qqch comme :

pi est RATIONNEL
pi est IRRATIONNEL => pi² est irrationnel et les poules ont des dents

Mais ce n'est pas la ce que vous proposez.

Charles Delaporte

Cher Nipolag,

j'ai utilisé ce qu'Oumpapah appelle l'inférence (appelé aussi modus ponens) :

si p est vrai et si p=>q est vrai, alors q est vrai.

Cordialement.

Charles Delaporte

Votre remarque est intéressante car elle montre bien la confusion des deux niveaux de langage.

Ma démonstration visait simplement à montrer que l'irrationnalité de pi "implique" bien celle de pi² au sens commun du terme.

Nipolag0

Tout de meme Charles,

Voulez-vous dire que vous faites la deduction suivante ?

(premisse 1) p
(premisse 2) p => q
________________
(conclusion) q

avec p = "$\pi$ est irrationnel" et q = "$\pi^2$ est irrationnel".

Est-ce bien cela ?

Dans ce cas, la premisse 2 est certainement fausse.
Autant pour le modus ponens.

Charles Delaporte

Oui, c'est bien cela que je fais.

Et la prémisse 2 est vraie (puisque p et q le sont)

Où est le problème ?

Nipolag0

J'ai pense que pi carre etait rationnel, mais j'en doute maintenant.

Et moi, je vous montre que le fait que les cercles carres n'existent pas implique l'irrationnalite de pi.

Charles Delaporte

Et je peux vous démontrer de la même manière que 2+2 = 4 implique le théorème de Fermat-Wiles, ce qui est assez jouissif et procure un sentiment de toute-puissance pas désagréable du tout. :-)

Toutefois, jusqu'à preuve du contraire, c'est en toute rigueur exactement ce qui se passe si on applique jusqu'au bout ce qu'on nous apprend en logique. Non ?

oumpapah0

pour Charles,
Vous écrivez:
"Pi est irrationnel, (Pi irrationnel =>Pi²irrationnel) est vraie, donc Pi² est
irrationnel"
votre raisonnement est faux , comme nipolag l'a indiqué..
en fait (Pi irrationnel =>pi² irrationnel) equivaut logiquement à
(Pi rationnel ou Pi²irrationnel) vous ignorez si elle est vraie en sachant simplement que Pi est irrationnel car vous ne savez rien de Pi²!
donc vous ne pouvez rien inférer..
vous auriez raison si on avait la verite logique de
(Pi irrationnel)=> ( Pi irrationnel => Pi² irrationnel)
d'une part et d'autre part si on sait que Pi est irrationnel !
une premiere inférence vous donne la verite de (Pi irrationnel => Pi² irrationnel) puis une deuxiéme inférence vous donnera Pi² irrationnel
mais mais..l'implication de départ
(Pi irrationnel =>(Pi irrationnel =>Pi² irrationnel)
equivaut logiquement à
(Pi non irrationnel) ou ( Pi irrationnel=>Pi²irrationnel)
soit encore
(Pi non irrationnel)ou [ Pi non irrationnel ou Pi² irrationnel]
soit finalement
(Pi rationnel) ou (Pi rationnel) ou (Pi² irrationnel)
et comme Pi est irrationnel on est ramené au point de départ : quid de Pi²?
Et comme je l'ai deja écrit , et que nicolag a redit on a la tautologie
( nonP) =>(P=>Q)
equivalente à (P ou nonP ou Q) toujours vraie.. mais sans interet pour avoir un renseignement sur Q..
Au point ou nous en sommes , je ne vois pas ce que je pourrais ajouter
Il est rare qu'un individu seul dans sa conviction face à tous ses semblables ( excepté les rares qui la partagent) ait raison..
Errare humanum est..persevare diabolicum.
Oump.

Charles Delaporte

Cher Oumpapah,

je sais que pi² est irrationnel, et je m'autorise à l'utiliser quand je veux, fût-ce pour démontrer que pi² est irrationnel.

Ce qui m'intéresse, je vous le rappelle, c'est de savoir quelles propositions impliquent quelles propositions, au sens commun du terme.

Pour cela, j'ai utilisé l'inférence telle que vous me l'avez décrite, qui est censée rendre compte de cette implication de sens commun :

" p vraie et (p==>q) vraie permet d'inférer que q est vraie"

Votre objection ne tient donc pas.
Ou alors l'inférence est autre chose que ce que vous m'avez dit.

Je ne persévère pas dans l'erreur pour le plaisir, je cherche juste à comprendre.

Cordialement.

Charles.

oumpapah0

joker!!

GERARD5

Cher Charles :
Vous ne pouvez pas vous entendre avec Oumpapah, car vous employez les mêmes mots pour des notions différentes (Philosophiquement). Vous appelez démonstration un mélange de ce que Oumpapah appelle parfois inférence, parfois implication. Et vous appliquez la table de vérité de l'implication à l'inférence. Si vous partez de pi² est irrationnel (vrai) et Pi est irrationnel (vrai), tout ce que vous écrivez est une tautologie (peu d'intérêt démonstratif).
Par contre, l'utilisation de :
Pour tout x, x irrationnel ==> x² irrationnel
aurait un sens de preuve (sens habituel).

Mais c'est faux !

Si vous voulez comprendre Oumpapah, il faudra aller voir plus loin en logique.

corentin0

"je sais que pi² est irrationnel, et je m'autorise à l'utiliser quand je veux, fût-ce pour démontrer que pi² est irrationnel."
Ca méchappe. On utilise le fait qu'une proposition est vraie por montrer qu'elle estr vraie? Ca m'a l'air d'un intérêt rare...

Probaloser

<!--latex-->Je ne comprend pas tres bien le debat. Ce que dit Charles est vrai (ce que j'ai lu en tout cas). Je pense par exemple à "pi irrationnel implique pi^2 irrationnel". Je pense que c'est clair pour tout le monde. Maintenant, on ne va rien démontrer d'intelligent a partir de ca. Je pense que ce dernier point est egalement clair pour tout le monde.
<BR>
<BR>Du coup je ne vois pas pourquoi les messages continuent a s'accumuler...
<BR>
<BR>Quelqu'un pour m'expliquer ou pour me dire ou je me plante?<BR>

Charles Delaporte

Bien.

Je ne vais pas pousser le bouchon plus loin, je me doutais avec mon dernier message qu'on arriverait au point de rupture et que je risquais d'exaspérer mon interlocuteur.

En conclusion, quand même :

- Dorénavant, lorsque j'aurai à enseigner la table de vérité de l'implication, pour ne pas déstabiliser les élèves, je leur dirai que cette appellation est vraiment malheureuse. (Et je ne crois pas être seul contre tous en pensant cela)

- Pour Gérard : même avec mon petit bagage, je pense pouvoir comprendre le sens des mots employés par Oumpapah dans le cadre restreint de cette discussion. Et dans toute l'arrogance de ma jeunesse, je vais même vous dire que c'est lui qui ne les emploie pas à bon escient. La définition qu'il m'a donné de l'inférence (qui est exacte) ne correspond pas à ce qu'il voulait dire, et ne résout aucunement le problème posé. Car s'il veut utiliser l'inférence, il faut bien qu'à certains moments il décrète que p=>q est vraie avec p vraie. Moi je l'ai fait devant lui et il m'a répondu "joker !". Alors quand est-ce qu'on a le droit de le faire et quand est-ce qu'on n'a pas le droit de le faire ?

La solution du problème est plutôt à chercher du côté que vous nous donnez :

la clé est dans le fait qu'on a : tout nombre dont le carré est irrationnel est irrationnel. Alors que la réciproque est fausse.

Vous me direz que c'est évident, et que je n'apprends rien à personne.

Certes mais c'est bien là et pas ailleurs qu'il faut chercher le vrai sens de l'implication. En ce qui me concerne, il a fallu que je lise un bouquin de philo de 1930 pour enfin commencer à comprendre ce qu'était l'implication (la définition en est très modeste et beaucoup moins lisse et achevée que la nôtre, certes, mais elle a le mérite d'être solide, cohérente, et de ne déstabiliser personne).

Je vous recopie l'extrait pour info :

"Pour qu’une proposition conditionnelle soit vraie, il suffit que la conséquence signifiée par elle soit bonne, c'est-à-dire que la seconde proposition suive bien de la première, quand bien même les deux propositions ainsi liées seraient fausses. Pour qu’elle soit fausse, il suffit que la conséquence soit mauvaise, quand même les deux propositions seraient vraies. Dans la proposition conditionnelle en effet le jugement porte sur la conjonction des propositions entre elles, conjonction nécessaire qu’on déclare être ou n’être pas. Ainsi la proposition conditionnelle «Si 20 est un nombre impair, 20 n’est pas divisible par 2», est une proposition vraie. Et la proposition conditionnelle «Si l’Angleterre est une île, deux et deux font quatre» est une proposition fausse."

Cordialement.

Charles.

GERARD5

Désolé, je n'aime pas ta définition de la proposition conditionnelle, elle restreint trop l'usage de l'implication (Même si je n'utilise pas des implications comme «Si l’Angleterre est une île, deux et deux font quatre» .
Mais il existe trop de preuves subtiles qui utilisent une implication dont l'hypothèse est fausse pour que je rejette la définition habituelle de l'implication.
Au fait, "vrai" ça veut dire quoi ?

Cordialement,
Gérard

Charles Delaporte

hé hé ! on ne peut pas ne pas s'intéresser à la philo !

oumpapah0

pour en finir..
si j'ai dit joker c'est par lassitude et eviter ce qui pourrait blesser..
et qu'avec "l arrogance de la jeunesse " charles continue à tourner en rond .. je rentre dans mon tipi , un peu soucieux tout de meme..

Charles Delaporte

Cher Oumpapah,

oui, bon... la sortie dédaigneuse, ok.

Je crois que chacun de nous deux a parfaitement compris ce que voulait dire l'autre.

Il reste que nous avons toujours un sens non explicité du mot "implique".

Il serait peut-être intéressant de se demander si, quand nous pensons dans le sens commun "p implique q", nous avons toujours en tête en réalité quelque chose du type "quelque soit x, p(x) implique q(x)".

(c'est le cas dans l'histoire de l'irrationnalité de pi², semble-t-il).

Sinon, si je suis complètement à côté de la plaque, je ne demande qu'à vous croire, mais il ne faut pas vous lasser aussi vite et me le faire comprendre plus clairement (et sans me blesser svp, c'est toujours humiliant :-) )

Cordialement.

Charles.

oumpapah0

bonsoir,
la ou nous en sommes , comme vraiment je ne vois que confusion dans vos raisonnements, j'essaie de me mettre à votre place :vous semblez en penser autant de ma prose , alors je ne vois qu'une porte de sortie:
si un tiers charitable veut bien dissequer nos messages respectifs, qu'il nous dise ses conclusions ..
mais je comprendrais que ça ne tente personne , et comme je n'ai pas de pb métaphysique( ou philosophique pour etre plus prudent) , je retourne aux questions qui m'interessent ..et me distraient.
(nb: il n'est jamais question dans mes propos d'humilier: en maths seule la vérité compte ..et une anerie reste une anerie dont tout un chacun est capable , moi le premier! mais j'ai l'impression que nous ne sommes pas dans le meme univers d'ou le sentiment que je dois sagement briser la ..
et sans aucun dédain.)
Oump.

Probaloser

Je continue a trouver que Charles dit des choses censees (au moins pour ce que j'ai lu et quand il parle de math). Je n'ai neanmoins pas pour ma part de problemes metaphysiques sur la question et ne suis pas convaincu par toutes les remarques non mathematiques.

Cependant, d'un point de vue pedagogique, les questions soulevees sont je crois tres pertinentes.

En fait, Oump, je ne vois pas trop ce qui te pose probleme (mis a part que le probleme ne semble pas trop t'interresser...). Peux-etre consideres-tu cela comme une question de math (au quel cas je partegerais ton desinteret).

oumpapah0

pour probaloser,
il faut donc reprendre un propos de charles , qui pensant utiliser l'inférence a écrit une "anerie"
je cite
" Pi irrationnel, (Pi irrationnel=>Pi²irrationnel) est vraie,
donc Pi² est irrationnel "

tu remarqeras avec moi qu'en remplaçant Pi par V2 , la meme phrase
permet de conclure que 2 est irrationnel
Charles prétend utiliser avec rigueur le "modus ponens"
en fait sa phrase est mal ficelée et ne résiste pas à l'examen ( dommage
on pouvait s'arreter de faire des maths!!)
je reprend briévement ce que j'ai répondu , pour t'éviter une perte de temps:
(pi irrationnel=>pi² irrationnel)) vraie équivaut à
(pi rationnel ou pi² irrationnel)
alors c'est sur que si cette implication est vraie , jointe a pi irrationnel on infére pi² irrationnel
le malheur veut que charles prouve la vérité de cette implication comme conséquence du fait que pi est irrationnel en sous entendant que
(pi irrationnel) ==> ( pi irrationnel => pi² irrationnel)
est une implication vraie en utilisant une fois de plus le modus ponens..
mais ce qu'il affirme est faux puisque son implication equivaut à
(pi rationnel ) ou (pi irrationnel =>pi² irrationnel)
soit finalement :(pi rationnel ) ou (pi rationnel) ou (pi² irrationnel)
donc comme pi est irrationel la verité de cette implication equivaut à pi² irrationnel ..ce qu'on ignore précisément..
Ce qui m'énerve , c'est l'entetement dans l'erreur malgré les explications
détaillées..
je voulais en résumé dire:
1. on peut manipuler des implications (p=>q) vraies avec p fausse
mais on n'en tirera jamais rien sur q
2.le matheux à la vérité de (p=>q) jointe à celle de p en déduira ( "inférera ") la verité de q
c'est quand meme pas la mer à boire.
(et Charles est apparemment prof d'ou mon entetement , vain , à expliquer la cause de ses malentendus..)
Mais bon pour ma part je clos le chapitre,mais ça m'a titillé de voir que tu entérinais ses propos , ce qui risque d'ajouter à la confusion
J'ai été trop long ; scuzi tu as d'autre choses à faire , et moi ça ne m'amuse plus..
cordialement

Probaloser

Je continue a penser que "pi irrationnel => pi^2 irrationnel" est vrai... L'argument pour montrer que c'est faux consistant a remplacer pi par racine de 2 ne me convainc pas. On ne dit pas "pour tout x dans R, x irrationnel => x^2 irrationnel" ou quelque chose dans ce genre la...

Apparement ce n'est pas si clair.
1) pi irrationnel est vrai.
2) pi^2 irrationnel est vrai.
Par consequent "pi irrationnel => pi^2 irrationnel" est vrai aussi... (meme si ca ne presente aucun interret).

Le probleme vient peut-etre du fait que devant un tel enonce, visiblement ininterressant sans quantificateur, un matheux va automatiquement en rajouter pour obtenir quelque chose qui a du contenu (et obtenir quelque chose de faux ici).

oumpapah0

tu oublies que le corps du delit est
" pi irrationnel=>pi² irrationnel" est vrai donc pi² est irrationnel
le pb est que sachant que pi² est irrationnel alors bien sur que l'implication est vraie : le pb est que au depart du raisonnement on ignore si pi² est irrationnel et que le raisonnement logique sous jacent de Charles veut faire croire que cela donne une demonstration du caractere irrationnel de pi²..et ce meme raisonnement sous jacent , s'il était pertinent , permettrait de prouver que 2 est irrationnel!
allez tant pis , nous survivrons malgré tout
et vive les maths!

Charles Delaporte

Cher Oumpapah,

alors ma démonstration est vraie pour ceux qui savent que pi² est irrationnel et fausse pour les autres ?

Allez, j'arrête de vous embêter.

un grand merci d'avoir accepté cet échange (stérile à vos yeux, passionnant et enrichissant aux miens !)

J'ai avancé d'un cran : à présent, je me demande si l'implication "intuitive" en maths peut toujours se ramener en fin de compte à : "quelque soit x, p(x) => q(x). Or p(a). Donc q(a)."

Si l'aventure vous tente, nous pourrons continuer sur cette base.

Sinon, j'ai pas mal d'autres discussions stériles en stock qui me viennent de mes contacts avec la philo (la droite n'est pas un ensemble de points, N a pas autant d'éléments que R, qu'est-ce que la continuité, etc...)
Il suffit de demander !

"En maths, seule la vérité compte", dites-vous.
C'est précisément en cela que les mathématiques sont une excellente préparation à la philosophie ;-)

Cordialement, et sans rancune pour l'agacement mutuel.

Charles.

Charles Delaporte

Une dernière précision après relecture : peut-être comprendrez-vous mieux mon point de vue si je vous dis que l'implication :

(pi irrationnel) ==> ( pi irrationnel => pi² irrationnel),

elle aussi, est vraie (puisque les trois machins qui sont dedans sont vrais).
Je ne fais aucun raisonnement sous-jacent, je ne fais qu'utiliser l'inférence telle que vous me l'avez définie.

Cordialement.

Charles Delaporte

Mais peut-être faites-vous volontairement une différence entre ==> et => (ou bien est-ce une faute de frappe ?).

Charles Delaporte

OK, j'ai vérifié plus haut : c'est bien une faute de frappe

Jean-Louis4

Bonjour ,
Moi ,je donne tout à fait raison à Oumpapah. Mais pourquoi nos logiciens de service n'interviennent -ils pas dans ce débat fratricide??? ( @l vient à notre secours...)
Bonne journée.
Jean-Louis.

mthgl0

salut,

juste un petit mot

je n'ai pas eu le temps de tout suivre, mais si j'ai bien compris le post initial, charles interroge l'hétérogénéité entre l'implication formelle et l'implication matérielle (causale)
ou une interprétation sémantique de l'implication

le pbl est effectivement intéressant
(d'autant plus que l'implication matérielle semble parfois contre-intuitive, ce qui va à l'encontre de la finalité de la logique
ou de l'idée même de formalisme)

on peut sans doute préciser que
l'hétérogénéité relève moins du formalisme mobilisé que de la spécificité des domaines de référence de l'implication
en question
(le domaine de référence de l'implication matérielle excède celui de l'implication formelle,
le système d'objets considéré n'étant pas le même)

tu pourra plus facilement caractériser cette hétérogénité,
non pas en raisonnant sur les modalités de mise en oeuvre du formalisme, mais sur les système d'objets considérés
(dénotation /domaine de référence)

et on retrouve là des questions classiques
(certes plus philosophiques)

Bonne année à tous

mthl
(de passage furtivement)

Charles Delaporte

Cher mthgl,

je remarque que vos messages ont souvent un grave défaut : une fois qu'on les a lus, on meurt d'envie d'en savoir un peu plus :-)

Merci en tous cas.

Charles.

Yersinia pestis0

Bonjour et happy new year,

Quelques précisions :

1°) Dans tout ce qui suit j'utilise le mot "conditionnel" pour le connecteur => (si, alors). Le terme "implication" est contre-indiqué du fait précisement de sa non univocité, et en plus il peut introduir un lien de causalité temporelle (ce dont la logique n'a que faire).

2°) Il me semble claire que :
si "a irrationnel", alors "a^2 pas forcément irrationnel" (si je puis m'exprimer ainsi).
autrement dit : la proposition : ["a irrationnel"=>"a^2 irrationnel"] est une proposition fausse.

3°) Deux erreurs très graves commises par Charles :
a) post du 4/01 à 19h07 :
"vous conviendrez avec moi que tout le monde est d'accord pour dire, dans le langage courant du mathématicien, que l'irrationnalité de pi² implique celle de pi, mais que personne (pas même un logicien, je pense) ne dira que l'irrationnalité de pi implique celle de pi².

Or, à strictement parler, on devrait le dire."

"Or à strictement parler, on devrait le dire"; totalement faux : il y a confusion entre le conditionel (si, alors) (=>) et le biconditionnel (si et seulement si) (<=>). C'est très grave ça : sous prétexte qu'une proposition est vraie alors sa réciproque le serait... sans commentaire.

b) post 4/01 à 23h48 :

"Et la prémisse 2 est vraie (puisque p et q le sont)

Où est le problème ?"

Et bien justement tout le pb est là!! Et c'est extrêmement grave d'écrire cela!

Le conditionnel philonien (qui est celui utilisé dans la très grande majorité des logiques des propositions) ne se construit pas du tout comme ça!
"2+2=4"=>"Sein est une île" n'a aucun sens et à strictement parler aucune valeur de vérité quand bien même les deux propositions réliées sont elle-mêmes vraies!

4°) Explication sur la construction du conditionnel :

La table de vérité du conditionnel illuste un raisonnement :
je pars d'une proposition vraie (et que j'affirme vraie) et j'utilise un opérateur logique pour obtenir une proposition (vraie ou fausse d'ailleurs... d'où la possibilité de l'erreur). En aucun cas on ne s'amuse à joindre deux propositions vraies avec l'opérateur conditionnel, et à dire ensuite " et voilà j'ai un conditionnel vrai".
La table de vérité du conditionnel se construit à chaque utilisation du conditionnel! Cette table illustre le raisonnement, elle doit être utilisée de façon séquentielle : je pars d'une proposition et ensuite je raisonne... Toute autre utilisation nous fait tomber dans des paradoxes tout juste bon à "épater le bourgeois" comme le dit fort bien Oumpapah (que je soupçonne fort d'avoir des idées très à gauche : entre "épater le bourgeois" et "faire bégayer le marquis de l'Hospital"... (éclat de rire)).

J'invite Charles à lire les propositions 5.0 à 5.641 du "Tractatus logico philosophicus" de Wittgenstein, et en particulier le proposition 5.442 : "Lorsqu'une proposition nous est donnée, les résultats de toutes les opérations de vérité qui ont cette proposition pour base, sont données avec ELLE (souligné dans le texte)".
Ca veut bien dire qu'on part d'une proposition et qu'on déduit, pas qu'on accole deux propositions; c'est ça un vrai raisonnement de type conditionnel, et c'est exactement ce que dit Oumpapah dans son post du 05/01 à 11h24 :
"vous ignorez si elle est vraie en sachant simplement que Pi est irrationnel car vous ne savez rien de Pi²!
donc vous ne pouvez rien inférer"

5°) Conclusion :
la vérité de "vrai conditionnel vrai" apparaît avec l' utilisation du conditionnel, je pars d'une proposition pour aller vers une autre (et si je ne me trompe pas, et si la proposition de départ est vraie, ALORS la proposition d'arrivée est vraie), en aucun cas le fait d'accoler deux propositions vraies avec un conditionnel permet d'obtenir un conditionnel valide! Je pense qu'il est impératif de bien expliquer cela aux élèves sinon on s'embarque dans des galères imaginaires...
Malheureusement il y a effectivement une grosse confusion entre le raisonnement codifié (la table de vérité) et l'application de ce raisonnement, d'où de pseudo-paradoxes du type "le faux implique n'importe quoi", qui ne sont finalement que des "interprétations (abusives?) de la table de vérité de l'implication" (premier post de Charles).
Ceci étant le plus beau paradoxe de cet échange : la réponse était contenue dans la question.... (moyennant une suppresion du "?").

Emmanuel

Probaloser

Bon, je ne comprend plus...

"$\pi$ irrationnel $\Rightarrow$ $\pi^2$ irrationnel" ne serait pas un th\'eor\`eme???

GERARD5

Je reviens sur le site après une brève absence, et je vois qu'on a bien avancé. Mais que personne (à part Oumpapah), ne semble disposer à différencier implication et inférence. La première est l'écriture d'une proposition (qui, dans un contexte précis est vraie, ou non, ou n'a pas de sens - ou même n'est peut-être ni vraie ni fausse pour un intuitionniste). La deuxième est le processus de déduction. Ne l'écrivons pas avec ==> pour ne pas mélanger. Charles, cela donne :

Pi² est irrationnel
Pi est irrationnel

---

(modélise l'inférence)
Pi est irrationnel ==> Pi² est irrationnel

Puis

Pi est irrationnel
Pi est irrationnel ==> Pi² est irrationnel

---

(modus ponens)
Pi² est irrationnel

Voilà, et on est tous d'accord pour dire qu'on a tourné en rond (Tautologie), exactement comme mes élèves qui résolvent l'équation x²-3x=2a et qui trouvent 2a=x²-3x.

Oumpapah : dire à Charles que sa déduction est fausse, maintenant que l'on sait qu'il tenait pour vrai, au départ que Pi² est irrationnel n'est plus tenable. Mais sa "déduction" n'a évidemment plus d'intérêt. Tu peux rentrer sous ta tente, avec raison.

Emmanuel-Yersinia pestis : Méfie toi du tractatus ! Wittgenstein a passé quelques années à l'écrire, puis un bien plus grand nombre d'année à expliquer pourquoi il n'a pas de sens! (En particulier il se base sur la notion de "fait", notion qui n'a pas de signification en soi - Voir ses derniers ouvrages, ou Popper, par exemple). Mais son analyse philosophique de la logique est intéressante. J'aime mieux l'analyse de Popper (contenu de vérité - CF conjectures et réfutations) ou, plus récent : La Norme du vrai, philosophie de la logique , Paris, Gallimard 1989 , 3ème tirage 2003 Pascal Engel.

Reste le problème pédagogique : Pour des preuves élémentaires, la distinction implication inférence est sans vraie utilité (de très nombreux matheux ne connaissent pas ou s'en moquent). C'est lorsqu'on attaque des preuves logiquement délicates qu'elle peut servir (en particulier en logique). Quant aux tautologies, il vaut mieux s'en passer au niveau élémentaire.

Charles Delaporte

Cher Gérard,

merci pour votre message, vous m'épargnez de l'encre (euh... des pixels) : vous démontrez très clairement vous-même que la distinction implication/inférence ne répond aucunement au problème posé.
Ce n'est quand même pas parce que vous jugez ma belle démonstration sans intérêt qu'elle est fausse. Seule la vérité compte, en maths, m'a-t-on dit...

Pour Emmanuel : effectivement, si j'en suis à confondre implication et équivalence, c'est très grave, et j'ai intérêt à changer de métier rapidement. Mais j'espère que je ne suis pas atteint à ce point, quand même :-)

Cordialement.

Charles.

oumpapah0

Pour se distraire et donner du grain à moudre à Charles.
schéma de preuve:
" si (nonP) alors P ..donc on a P "
connu des anciens sous le nom de " consequentiae mirabilis"
ce schéma se rencontre en maths
exemple qui me vient en tete ( et que j'ai deja cité)
soit G un groupe fini d'ordre p² avec p premier
on sait par l'equation des classes que le centre Z est d'ordre p ou p²,
Supposons G non abelien alors Z est d'ordre p , mézalor le quotient G/Z est cyclique et par suite G est cyclique donc abélien...et donc G est abélien!!
( si on parle vite : G non abelien implique G abélien ..contradiction.. donc G est abélien..)
Oump.

Charles Delaporte

J'eusse préféré que nous moulussions ensemble le grain initial. Car je ne vois pas immédiatement le rapport, si rapport il y a...