Théorie des catégories

n_wg

Bonsoir,

J'ai récemment découvert la théorie des catégories. Plus précisément, j'ai lu de la vulgarisation sur cette théorie, et j'ai été vraiment séduit par le côté philosophique de la chose. J'ai essayé quelques cours au pif sur Internet, et là j'ai été vraiment déçu : dès la définition de catégorie, c'est vague, on sent que l'auteur ne nous dit pas tout et fait un "saut" conceptuel qu'il veut garder secret pour lui : "une catégorie est la donnée de ... choses qui ne sont pas bien définies". Un enseignant de mon école d'ingénieur à qui j'ai exprimé cette micro-colère m'a donné un pdf qui parle des univers de Grothendieck, avec lesquels on peut apparemment faire un cours de mathématiques (donc en définissant tout et en étant honnête) sur les catégories. Malheureusement, ce pdf n'aborde les catégories qu'en surface, et je n'ai pas trouvé de livre qui les traite de cette façon proprement. J'imagine qu'il y en a en anglais (sûrement même), mais je préférerais largement un livre en français. Il y a bien un bon livre écrit en français sur les catégories qui les traite proprement et assez exhaustivement non ?

Merci pour votre aide.

Cyrano

Pas en français non.

Le livre qu'on conseille à tout le monde pour commencer la théorie des catégories (formalisme total + énormément d'explications littéraires à côté pour bien expliquer tout l'intérêt de cette matière) est le livre de Sanders Mac Lane "Categories for the working mathematician".

A titre personnel j'apprécie une autre référence mais elle est beaucoup plus ardue, en revanche sur le plan mathématique c'est le nec plus ultra : Categories and Sheaves de Pierre Schapira et Masaki Kashiwara.

n_wg

D'accord, dommage (et étonnant) qu'il n'y ait rien en français. Par curiosité, quelles sont les définitions de catégories dans chacun de ces deux livres ?

Cyrano

Dans "Categories and Sheaves" :

Une catégorie $C$ est la donnée

1) D'un ensemble $Ob(C)$.
2) Pour chaque $X, Y \in Ob(C)$, d'un ensemble $Hom_C(X,Y).$
3) Pour chaque $X, Y, Z \in Ob(C)$ une application $$Hom_C(X,Y) \times Hom_C(Y,Z) \to Hom_C(X,Z)$$ appelée "composition" et notée $(f,g) \mapsto g \circ f$.

Ces données doivent satisfaire les deux conditions suivantes

1) La composition $\circ$ doit être associative. Ainsi pour $f \in Hom_C(X,Y), g \in Hom_C(Y,Z)$ et $h \in Hom_C(Z,W)$ on doit avoir $$(h\circ g)\circ f = h \circ (g \circ f).$$
2) Pour chaque $X \in Ob(C)$, il existe un élément $id_X \in Hom_C(X,X)$ tel que $f \circ id_X = f$ et $id_X \circ g = g$ pour tout $f \in Hom_C(X,Y)$ et tout $g \in Hom_C(Y,X)$.


Dans le livre de MacLane c'est grosso modo la même chose mais on est un peu moins formel au début sur la théorie des ensembles. (Mais si tu as lu la théorie des univers de Grothendieck tu n'auras pas de soucis)

Rescassol

Bonjour,

Avec cette définition:

1) Qu'est ce que la catégorie des ensembles, puisqu'il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles ?
2) Et d'ailleurs, qu'est ce qu'un ensemble ?

Cordialement,

Rescassol

n_wg

Bonjour,

Je me base sur le polycopié suivant : http://sma.epfl.ch/~dzaganid/TP_Categories.pdf

On se place dans le cadre de la théorie des ensembles et on suppose de plus que pour tout ensemble $X$, il existe un univers de Grothendieck $\mathcal U_X$ tel que $X\in \mathcal{U_X}$.

Fixons alors un univers $\mathcal U$ tel que $\mathbb N\in\mathcal U$. On désigne par classe n'importe quel sous-ensemble de $\mathcal U$ (qui est un ensemble).

Maintenant voici la définition tant attendue (définition 2.5), cf. screenshot ci-dessous.

Pourrait-on éclaircir cette définition ? Qui est $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal {U}$ ? Est-ce que $\mathcal C$ est un ensemble ?

GaBuZoMeu

Si tu lis un texte, lis-le bien ! Juste avant la définition de catégorie, dans ce texte :

christophe c

Oui $C$ est un ensemble (par forcément un élément de $U$, ni même un sous-ensemble de $U$) et la définition est un peu maladroite, mais de procédé courant**. A la place de "comporte les éléments suivants" qui est vague, lis:

Une catégorie est un uplet $(|C|, Hom, \circ)$ tels que blabla. Dans le "blabla", il est alors affirmé que $|C|\subset U$. La notation $C(A,B)$ à la place de $Hom(A,B)$ est aussi un peu maladroite, mais courante: $Hom$ est une application de $|C|^2$ dans $U$ (dit le blabla). Etc...

** il n'est pas rare de lire "un anneau est un ensemble muni de blabla", etc. Ici c'est "comporte"

n_wg

Je l'avais bien lu, je dois donc louper quelque chose. $|\mathcal{C}|$ est bien défini, c'est une classe i.e. un sous-ensemble de $\mathcal U$. Mais je parle de $\mathcal C$, et le texte ne dit pas ce que c'est précisément : la terminologie "comporte les éléments suivants" n'est pas claire et ne dit même pas si c'est une classe ou un petit-ensemble (abrégé en ensemble) i.e. un élément de $\mathcal{U}$.

Edit : je n'avais pas lu le message de Christophe. Merci, c'est beaucoup plus clair comme ça.

[Utilisateur supprimé]

Je suis entrain d'écrire un livre sur la théorie des catégories, et je pense que pas mal de vos questions ont leur réponse dans le premier chapitre que j'ai posté ci-dessous. Je construis la théorie des catégories avec deux théories puissantes que sont la théorie des ensembles et la théorie des modèles. En gros il faut rajouter un axiome A à ZFC, A exprimera l'existence de l'univers. Ensuite il faut se fixer un modèle M de ZFC+A. Dans ce modèle de ZFC+A, on choisit un univers U. On se donne ensuite un langage du premier ordre appelé langage des catégories et on se donne ensuite une théorie qu'on appellera "théorie des catégories" et on appellera catégorie tout élément de M qui satisfait la "théorie des catégories". U sert surtout à définir la catégorie Ens et à définir les catégories possédant un foncteur Hom, on appelle ces catégories des U-catégories. Le lemme de Yoneda se limite à ces catégories là. Bon, ça devient interessant surtout lorsque l'on considère les catégories générales (non nécessairement des U-catégories). Ne sois pas très dur avec les auteurs qui passent vite sur les fondements, c'est de la logique-mathématique pure.

https://symboliclogiques.files.wordpress.com/2016/03/thc3a9orie-formelle-des-catc3a9gories-premier-chapitre.pdf

jean delcourt

Un petit livre ancien et sans doute introuvable :
le langage des catégories, de peter J. Hilton (traduit de l'anglais)
chez Cedic (une maison d'édition hélas disparue, destinée essentiellement aux enseignants); ce livre donne une bonne idée des catégories dans l'optique de l'algèbre puis de la topologie.

Toujours en français, JP Lafon "les formalismes fondamentaux de l'algèbre commutative", Hermann, ou l'excellent "algèbre et théories galoisiennes " de Régine et Adrien Douady, cedic-nathan, réédité par Cassini (avec des compléments sur les dessins d'enfants.

Sinon, le livre de MacLane, ou certains livres d'algèbre orientés catégories, comme Algebra de Cohn....
cordialement, jean delcourt

stfj

IL Y A au moins un livre en français : Introduction aux catégories et aux problèmes universels, de Paul Jaffard et de Georges Poitou, paru en 1971 chez Ediscience. Je suis en train de le lire pour m'initier à la théorie des catégories. Et vue la classe des deux auteurs, il sera difficile à quiconque de prétendre que l'introduction à la théorie des catégories n'y est pas faite "proprement". Pour ma part, c'est un vrai bonheur d'y avoir découvert le style mathématique que je trouve évidemment remarquable de Paul Jaffard et de Georges Poitou.

Quant au livre de Mac Lane, je doute qu'il s'agisse d'un livre destiné à qui veut s'initier à la théorie des catégories. Pour les amateurs de Mac Lane, je peux conseiller Algèbre de Mac Lane et Birkhoff, où les auteurs utilisent l'algèbre comme un vecteur pour introduire leurs conceptions nouvelles. Par exemple, la notion de diagramme commutatif y est présentée dès la page 6.

Jean--Louis

Bonjour. Je possède le livre de Hilton sur le langage des catégories et je m'interroge sur le fait qu'il voudrait introduire les catégories dans le Secondaire. Et que ce n'est enrichissant que si l'on peut exhiber de nombreux exemples. Donc l'élève devra connaître, les groupes, les modules, la topologie,... Je vois ça strictement infaisable en France. Alors est-ce que nos amis d'outre - Manche sont plus en avance dans leurs programmes, ou bien est-ce que Secondaire, en Grande- Bretagne, c'est Supérieur pour nous ?

Merci à ceux qui m'éclaireront.
Cordialement.
Jean-Louis.

Math Coss

Ça ne tient pas debout. Les idées farfelues de mathématiciennes de haut niveau sur ce qu'il faudrait faire dans le primaire ou le secondaire sont légion.